05.16 基本图形分析法：等腰三角形（二）

当几何问题中出现了两条具有公共端点且不在一直线上的相等线段时，无论它们是在条件中出现还是在结论中出现，就应萌发应用等腰三角形的基本图形进行证明的意识。然后就应将这两条具有公共端点的相等线段组成等腰三角形，如果图形中尚未出底边的，就应将底边添上。接下来就应应用等腰三角形中两条边相等和相对应的两个角相等之间的等价关系，将要证明的结论转化为要证明它的等价性质，或者由条件直接推得它的等价性质成立。若图形中出现了等腰三角形顶角的外角时，则应将两内角之间的相等关系转化为等价的外角与不相邻的内角之间的倍半关系来进行证明。

例1 如图3-5，已知：△ABC内接于⊙O ，过A、C、O三点作⊙O′交BC于D，求证：DA=DB。

图3-5

分析：本题要证明的结论DA=DB，是两条线段公共端点D的相等线段，所以就可以组成一个等腰三角形的基本图形，问题也就成为一个等腰三角形的判定问题。由于条件中还出现B、D、C成一直线，出现了∠ADC是这个要证明的等腰三角形的顶角的外角，所以要证明DA=DB，就可以转化为要证它的等价性质∠ADC=2∠B。

在这里出现了∠B的两倍角关系，而∠B在⊙O 中是一个圆周角，所以就出现了圆周角的两倍问题。而根据圆周角的性质可知圆周角的两倍角应等于它所对的弧所对的圆心角，但现在∠B所对的弧AC所对的圆心角在图形中尚未出现，所以应将它添上，这样就可以根据圆心角的定义联结AO、CO（如图3-6），于是就有∠AOC=2∠B，接下来的问题当然就是要证明∠AOC=∠ADC。由于这两个角都是⊙O′的圆周角，所以可应用圆周角的基本图形的性质进行证明，也就是由A、O、D、C四点共圆即可证明∠AOC=∠ADC，从而完成分析（如图3-7）。

图3-6

图3-7

例2 如图3-8，已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD是角平分线，求证AC=AB+BD。

图3-8

分析：本题要证明的结论AC=AB+BD是一条线段等于两条线段的和的问题，所以可根据线段和的定义将AB和BD这两条线段接起来，证明所得到的线段与AC相等。将AB和BD这两条线段接起来有两种可能，一种是将AB接到BD上，另一种是将BD接到AB上，所以接下来可对这两种可能情况分别进行讨论：

若考虑将AB接到BD上，则延长DB到E使BE=BA（如图3-9）。这样就出现BE、BA是两条具有公共端点的相等线段，所以它们可以组成一个等腰三角形，由于这个等腰三角形还只出现两条腰而没有底边，所以应将底边添上，也就是联结AE（如图3-10），那么∠E就等于∠BAE，又因为E、B、C成一直线，出现了这个等腰三角形的顶角的外角，所以应用等腰三角形的基本图形性质可得∠ABC=2∠E，而已知∠B=2∠C，从而就可推得∠E=∠C，于是△AEC也是一个等腰三角形，AE=AC。由于在将AB接到BD上后，有ED=EB+BD=AB+BD，所以问题是要证明AC=ED。而我们已经证明了AE=AC，这样问题又成为要证ED=EA。这又是两条具有公共端点E的相等线段，它们又可以组成一个等腰三角形，又成为一个等腰三角形的判定问题，所以要证明ED=EA，就可以转而证明它的等价性质∠EDA=∠EAD。由于∠EAD可以看作是∠EAB和∠BAD的和，又由E、D、C成一直线，又可得∠EDA可以看作是△ADC的一个外角，所以∠EDA=∠C+∠DAC，而由条件∠BAD和∠DAC是相等的，所以现在只需证明∠EAB=∠C，但由于这两个角都与∠E相等，所以这两个角自然就相等，从而完成分析（如图3-11）。

图3-9

图3-10

图3-11

若考虑将BD接到AB上，则延长AB到E使BE=BD（如图3-12），这样就出现了BE、BD是两条具有公共端点的相等线段，所以它们也可以组成一个等腰三角形，现在这个等腰三角形也是只有两条腰而没有底边，所以应将底边添上，也就是连接ED（如图3-13），又因为A、B、E成一直线，出现了这个等腰三角形的顶角的外角，所以应用等要三角形的基本图形的性质可得∠ABD=2∠E。由于条件中给出了∠B=2∠C，所以可得∠E=∠C。

图3-12

图3-13

现在我们将BD接到AB上以后，要证的结论就可转化成AC=AB+BE=AE。由条件AD是角平分线，所以AE和AC这两条要证明相等的线段就是关于AD成轴对称的，从而就可应用一次轴对称型全等三角形进行证明，由于AE和AC可以看作是△AED和△ACD的一组对应边，而在这两个三角形中已经出现了∠EAD=∠CAD、∠E=∠C和AD=AD的条件，这两个三角形必定全等，所以分析就可以完成。

由于本题要证明的结论中出现的是两条线段的和的问题，所以也可以根据线段和差的逆运算关系，将结论转化为线段差的形式，再根据线段差的定义来进行分析。于是首先将结论转化成AB=AC-BD。从而就可以在AC上截取AE，使AE=AB（如图3-14），那么问题就是要证留下来的线段CE与BD相等。而在作了两条相等线段是关于角平分线AD成轴对称的，所以就可添加一对轴对称型全等三角形进行证明，但在这两个全等三角形中有一个尚未出现，于是就应先将这个三角形添出，也就是连接DE（如图3-15），这样即可证明△ADB≌△ADE，BD=ED，这样问题就转化为要证CE=ED。由于这是两条具有公共端点的要证明的相等线段，它们就可以组成一个等腰三角形，从而就成为一个等腰三角形的判定问题，又因为C、E、A成一直线，出现了要判定的这个等腰三角形的顶角的外角，所以要证明CE=ED，就可转化成应证它的等价性质∠AED=2∠C，而已知∠B=2∠C，所以问题归结到需要∠B=∠AED成立，而这两个角是前述已经证明的一对全等三角形的对应角，当然相等，所以分析就可以完成。（如图3-16）

图3-14

图3-15

图3-16