官兒迷
（應邀）
推導三角函數的和差角公式的方法很多，我們先不妨回顧一下用向量推導三角函數和差角公式：
用向量推導
令：
a = (cos α, sin α), b = (cos β, sin β)
則，
|a|= |b| = 1
∠ab = α - β
根據，向量內積公式：
有：
cos α cos β + sin α sin β = a⋅b = |a||b|cos ∠ab = 1⋅1⋅cos(α - β) = cos(α - β)
即，
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
令，β = - β 帶入上式，並利用誘導公式：
cos(-x) = cos x
sin(-x) = sin x
得到：
cos(α + β) = cos α cos(-β) + sin α sin(-β) = cos α cos β - sin α sin β
即，
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
令，β = π/2 - β 帶入上式，並利用誘導公式：
cos(π/2 ± x) = ∓ sin x
sin(π/2 ± x) = cos x
得到：
- sin(α - β) = cos(π/2 + α - β) = cos(α + π/2 - β) = cos α cos(π/2 - β) - sin α sin(π/2 - β) = cos α sin β - sin α cos β
即，
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
令，β = - β 帶入上式，得到：
sin(α + β) = sin α cos(-β) - cos α sin(-β) = sin α cos β + cos α sin β
即，
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
這個推導過程中，只有餘弦差角公式： cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β 是利用 向量推導出來的，剩下的 三個和差角公式，是基於這個公式，利用誘導公式推導得到的。後續三個公式的推導 是可逆的，這說明：只需要推導出 四個和差角公式的一個就很容易推導出其他和差角公式。
接著，我們來看看除了用向量以外的其它推導方法：
用矩形圖推導
繪製如下矩形圖：
由矩形左右對邊長度相當得到：
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
由矩形上下對邊長度相當得到：
cos α cos β = cos(α + β) + sin α sin β
即，
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
當然，也可以繪製如下矩形圖：
得到聯立方程：
sin α = sin(α - β) cos β + cos(α - β) sin β ①
cos(α - β) cos β = cos α + sin(α - β) sin β ②
①式兩邊 乘以 cos β ， ②式兩邊 乘以 sin β，然後結果相加，有：
sin α cos β + cos(α - β) cos β sin β = sin(α - β) cos² β + cos(α - β) sin β cos β + cos α sin β + sin(α - β) sin² β
sin α cos β = sin(α - β) (cos² β + sin² β) + cos α sin β
sin α cos β = sin(α - β) + cos α sin β
即，
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
類似的，①式兩邊 乘以 sin β ， ②式兩邊 乘以 cos β，然後結果相減，化簡後，可以得到：
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin(α + β) = sin(α + β - β) cos β + cos (α + β - β) sin β = sin α cos β + cos α sin β
cos α cos β = cos(α + β - β) cos β = cos(α + β) + sin(α + β - β) sin β = cos(α + β) + sin α sin β
即，得到：
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
用歐拉公式推導
根據，歐拉公式：
可以，設：
將上面等式相乘，有：
而：
於是，有：
比較等式兩邊，實部=實部，虛部=虛部，於是得到：
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
當然，也可以 令，x = -x 帶入 歐拉公式得到：
然後將 歐拉公式 與 上式 相加，化簡得到：
令，x = α + β，帶入上式，有：
類似的，令，x = α - β，帶入等式 (2)，化簡，可以得到：
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
另外， 將 歐拉公式 與 式(1) 相減，可得到：
然後，用上面的方法，可以得到剩下的兩個 和差角公式。
用行列式性質推導
設， 邊長為 1 平行四邊形 AOBC，如下圖：
其中，A = (cos α, sin α), B = (cos β, sin β)，根據線性代數的知識，我們知道行列式：
就是 平行四邊形 AOBC 的面積，即，
另外，由 平行四邊形 面積公式，有：
故，得到： sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
用半圓圖推導
繪製如下半圓圖：
有：
即，
sin(α + β) sin β = cos α - cos(α + β) cos β
令，α = α - β 帶入上式 得到：
sin(α - β + β) sin β = cos(α - β) - cos(α - β + β) cos β
sin α sin β = cos(α - β) - cos α cos β
即，
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
類似的，利用 |BD| = |BE| + |DE|，也可得到同樣的結果。
用平面幾何知識推導
過原點的，任意兩條射線 OA 和 OB，夾角 ∠AOB = β，OB 於 OX 軸的 夾角 ∠BOX = α，OA 與單位圓 相交於 A 點，過 A 點 分別 做 OX 和 OB 的垂線 OC 與 KD，過 D點 左 OX 的垂線 DE，過 A 點 作 DE 的垂線 AF，繪製圖形如下：
首先， ABCD 顯然為矩形，於是有 |AF| = |EC| 並且 AF // EC。
然後，由 ∠ OAD = π/2 - β， ∠ OAC = π/2 - ∠ AOC = π/2 - (α - β)，得到：
∠ CAK = π - (∠ OAD + ∠ OAC) = π - (π/2 - β + π/2 - (α - β)) = α
故，
∠ OKA = π/2 - α
再 由 AF // EC，知：
∠ DAF = ∠ OKA = π/2 - α
接著，有：
|OC| = |OE| + |EC| = |OE| + |AF|
其中，
|OC| = cos(α - β)；
|OE| = |OF|cos α = cos β cos α = cos α cos β
|AF| = |AD| cos(π/2 - α) = sin β sin α = sin α sin β
於是，得到：
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
（利用 平面幾何知識推導 差角公式的方法 不止這一種，還有很多很多！）
思考思考的動物
- 三角函數的和差公式，是高考的重點內容，出題靈活。我記得，我在高中時候，對三角函數的這些公式就很膽怯，原因就是太長，太多。
- 今天看到這個問題，我就來給大家開闊一下思路。如果不用向量推導，有沒有其他方法推出公式呢，答案是有的，而且比較簡單，就是利用歐拉公式。
- 上面就是著名的歐拉公式，當θ＝90°時候，就是著名的公式：e＝1+iπ。
- 再來看看三角函數的和差公式，我們以正弦為例：
- 如何通過上面的歐拉公式來推導三角函數的和差公式，推導過程如下：
步驟很多，其實很簡單，希望大家喜歡。
海客談科學
個人以為，既然三角函數是從圓周運動這個地方生髮出來的，那麼，就應該可以用圓周的數形結合，硬推！
圓類問題，核心輔助線就是作垂直，角度的疊加可以看作是一根半徑在已經旋轉α角度以後，繼續旋轉β角度，那麼，做垂直理論上是可以表示α+β角的。
