楓梧簫楠
人類至少在兩千多年前就已經明白圓周率和圓的面積的計算方法。通過簡單的切割和微積分思想，就能推導出圓的周長和麵積。
漢代劉徽已經通過割圓術推導計算出圓周率是157/50（3.14）。兩百年後，祖沖之使用同樣的思路進一步精確到355/133（3.1415927）而且計算出誤差，圓周率在3.1415926與3.1415927之間。
球體體積公式就是比較晚的事情了。公元前三世紀，阿基米德通過巧妙的力學槓桿原理和數學微分思想推導出了球體體積計算公式。非常讓人驚訝的是，阿基米德領先了中國人差不多700年，領先其他歐洲人1800年！阿基米德自豪地將這個公式刻在了自己的墓碑上。漢代劉徽提出了一些想法，但是他沒有能推導出球體體積公式。公元五世紀，祖沖之的兒子祖𣈶提出了通用的截面等價原理（祖𣈶原理），並且由此通過純數學推導出了圓錐、圓球等複雜的體積計算公式。我們高中數學書上的公式推導就是使用這個方法。而西方在祖𣈶之後一千年（1600年代），Cavalieri才發現了祖𣈶公式，西方稱之為Cavalieri公式，從而通過數學推理出球體公式。
RaymondIT
引言：起初，我以為題主不太懂數學，或對正比，無理數、Π，極限理解有誤，才提出這個問題。思考良久，絞盡腦汁的構思如何回答才能“證明圓的面積公式是從數學上嚴格證明”。不過，這樣一個看似簡單的隱藏在小學課本中的知識點回答起來卻並不容易，我覺得我駕馭不了。開始自我否定，決定放棄，就把寫了幾個小時的稿子刪了（我是在word下寫的），再熟練的清空回收站。
為了提高水平，今天早上特地去青雲榜學習，看到大神們專業的解答，由衷的佩服。佩服完了之後，後勁上來了，忍不住又點開悟空問答，告訴自己不能放棄啊。便又開始查找資料，重新構思。當搜到一篇文章之後，我懷疑自己掉坑了。這個問題的重點是證明“正比”，而不是證明“圓的面積公式”，側重點不同。題主想知道的答案可能更深，更專業。本著臉皮厚不放棄的精神，我只是把我個人的理解（或許已經跑題），以及查到的一些資料分享出來，不敢說回答，權當拋磚引玉，期待牛人們的精彩解答。
一、為什麼會說這是一種數學直覺呢？
如上圖所示，在小學數學教材中，將圓分解成無數等分的小扇形，當每一分足夠小時，每個小扇形可以看成一個三角形，在將這些三角形拼成近似的長方形，長方形的面積等於圓的面積。這是一種樸素的“化圓為方”的思想，把未知問題轉換成已知問題去求解。其中的近似處理也會給大家產生一種“圓的面積公式是近似公式”的嫌疑。
上述方法只是為了幫助小學生們理解公式，並不是嚴格的推導，事實上，圓的面積公式經過了一系列的演化，從4000多年前，古巴比倫、古埃及的近似公式，到古希臘亞里士多德提出並嚴格證明，以及我國古代數學家劉徽提出的割圓術，再到近現代利用極限，三角函數，微積分證明驗證，經過了一系列的過程。接下來我們將回顧圓的面積產生過程，重點研究亞里士多德對圓的面積公式貢獻。
二．圓的面積近似公式
1.公元前2000年前的古巴比倫人為了準確丈量各種形狀土地的面積，以收取賦稅，出現了對圓的面積計算的近似方法。根據泥版YBC7302上的記載，圓面積和周長之間的關係式為：
公式中C為圓的周長（下同）。
對比今天的公式，我們發現其計算出的面積比實際大約4.7%。四千多年前有公式推導已屬不易，不光需要縝密的思維，還依賴精確的測量技術，所以這麼大的誤差也可以理解。
2.古埃及的數學知識記錄在出土的兩捲紙草書書上，紙草書的年代在公元前1850～前1650年之間。紙草書給出圓面積的計算方法：將直徑減去它的1/9之後再平方。用公式可表示為：
公式中d為圓的直徑（下同）。
根據此公式計算出的圓周率約為3.1605，可見已經非常精確了。古埃及人能建造出那麼宏大的金字塔，與其數學知識及測量技術密不可分。
上面兩種情況都將圓的面積表示為已知正方形面積的一部分，即“化圓為方”。
三. 圓的面積精確公式
1.阿基米德與圓
公元前約225年，阿基米德發表了一篇論文《圓的測定》，其中第一個命題就對圓的面積做了透徹的分析和嚴格的證明。《圓的測定》開篇斷言：任意圓的面積，與兩條直角邊長分別為該圓半徑和周長的直角三角形的面積相等。
圖1，阿基米德關於圓面積和定義三角形面積對應關係
*下文提到的定義三角形即為上圖中的直角三角形。
2.阿基米德所處時代背景：
古希臘人並沒有代數學，也沒有實數的感念，也不存在π，所以圓的面積只能用與其面積相同的三角形的面積來表示。
歐幾里得的《幾何原本》已經為幾何證明做好了鋪墊。《幾何原本》開創了古典數論的研究，在一系列公理、定義、公設的基礎上，創立了歐幾里得幾何學體系，成為用公理化方法建立起來的數學演繹體系的最早典範。
阿基米德的算法是在古希臘通用的笨拙的系統中完成的，其中分數源自古埃及奇怪的表示和處理方法：
當時的幾何家已知，不論圓的大小如何，圓的周長與直徑的比為常數（顯然這個常數就是後來的π）。
《幾何原本》已經證明了圓的面積正比於半徑的平方。即存在常數k，使得對任意圓都有：
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但他們都沒有發現k與π的（相等）關係。
3、阿基米德證明用到的斷言（容易證明或不證自明，部分出自《幾何原本》，部分為阿基米德的傑出創新）
斷言一：任意圓內接正多邊形的面積小於圓的面積。
設 δn=S圓- Sn>0
Sn為圓內接正n邊形的面積，δn為圓與其內接正多邊形面積之差，即圖中陰影部分的面積。
斷言二：δ2n
如上圖，以圓內接正四邊形為例，藍色部分的面積小於陰影部分的面積，推廣到整個圖形，對於所有的圓內接正多邊形都有δ2n
斷言三：任意圓內接正多邊形的面積小於前面定義的三角形面積，即Sn
如上圖，證明基於以下兩個事實。
OA 斷言四：給定一個已知圓，做圓的內接正多邊形，正多邊形的邊數越多，正多變形的面積更接近圓的面積。如正八邊形的面積比正方形更接近圓的面積，正十六邊形又比正八邊形更接近圓的面積，這一過程可以無限繼續，則正多邊形的面積無限逼近圓的面積。(跟我國魏晉期間劉徽的割圓術類似，都用到了窮竭法) 顯然，圓內接正多邊形的面積永遠小於圓的面積。但是，如果預先給定任一面積，不論其多小，我們都能做出一個內接正多邊形，而使圓面積與其內接正多邊形的面積之差小於這一預先給定的面積。（是不是有熟悉的感覺，這恰是高等數學中極限的定義，這也是阿基米德證明圓的面積的關鍵。） 斷言五：任意圓外切正多邊形的面積大於圓的面積。
設 δN=SN-S圓>0
SN為圓外切正N邊形的面積，δN為圓外切正N邊形面積與圓面積之差，即圖中陰影部分的面積。
參考斷言二易知 δ2N
斷言六：定義三角形的面積小於圓外切正N邊形的面積。（參考斷言三）
斷言七：圓外切正多邊形的面積永遠大於圓的面積。但是，如果預先給定任一面積，不論其多小，我們都能做出一個外切正多邊形，而使圓面積與其外切正多邊形的面積之差小於這一預先給定的面積。
阿基米德採用的邏輯方法——雙重歸謬法（反證法）
在阿基米德之前，人們往往採用直接證明的方法，而阿基米德則採用間接方法。
比如我們要證明A=B，當直接證明比較困難的時候，可以採用排除法。A與B的關係只有3種情況，A>B，A
阿基米德採的方法：排除S圓>S△和S圓
4.阿基米德的證明
求證：任意圓的面積，與兩條直角邊長分別為該圓半徑和周長的直角三角形的面積相等，即S圓=S△。
第一步，證圓的面積不大於定義三角形。
證明：
假設 S圓>S△
令 ε'=S圓-S△>0 (預先給定的面積)
根據斷言四
當取充分大的n，使得 δn
有 Sn
這表明 ε=S圓-S△
即 ε
與n的選取矛盾，則假設S圓>S△不成立。
第二步，證定義三角形的面積不大於圓。
證明：
假設 S△>S圓
令 ε’=S△-S圓>0 (預先給定的面積)
根據斷言七
當取充分大的N，使得 δN
有 S圓
這表明 ε'=S△-S圓<sn-s>
即 ε'
與N的選取矛盾，則假設S△>S圓不成立。
綜上第一步第二步證明，可知 S△=S圓。
用阿基米德的語言描述為：“由於圓的面積既不大於、也不小於（三角形面積），因此，圓的面積等於三角形面積。”
4.思考
從阿基米德的證明過程可以看出其嚴謹的思維，奇特的方法。在他的時代，這種反證法是一種繞圈子式的論證，在他之前，圓的面積是包括歐幾里得都沒能解決的問題，可見其困難和複雜的程度。
- 就像建一座房子，阿基米德每一塊石頭都需要自己親手鑿，用最原始的方式建了一棟房子，而這房子屹立千年，現在依然完好。
- 遺憾的是，阿基米德的證明最終只是用三角形的面積表示，並沒有發現π的存在。但阿基米德隨後在《圓的測定》第三個命題中，推導出了π的範圍約為3.14。（知道存在這樣一個常數，沒有把周長中的常數與面積中的常數聯繫起來。）
- 圓的面積證明只是阿基米德數學遺產的一部分，其其他著作中論述的問題已經屬於今天的微積分領域了。
- 由於所處的時代限制，沒有簡明的代數符號，阿基米德只能依靠陳述，猶如戴著鐐銬跳舞。
- 阿基米德是被羅馬士兵殺死的。
四、其他圓的面積公式的證明
1.劉徽的割圓術
漢《九章算術》已經提出了圓的面積公式：“術曰：半周半徑相乘得積步。”設圓的周長是L，半徑為r，那麼圓的面積為：
中國古代從先秦時期開始，一直是取“周三徑一”（周長：直徑=3:1）的數值來進行有關圓的計算。即將π用3代替，顯然誤差很大。
我國魏晉時期數學家劉徽於公元263年撰寫《九章算術注》，創造了著名的割圓術，使圓周率精確度大大提升。“割圓術”，則是以“圓內接正多邊形的面積”，來無限逼近“圓面積”。劉徽形容他的“割圓術”說：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓合體，而無所失矣。
最終劉徽求得了圓周率的近似值3.1416，南北朝時期的祖沖之又將圓周率精確到小數點後第七位，這一結果一直領跑世界一千一百年。
中國古代的數學雖然也有閃光點，割圓術中明顯含有極限過程及無窮小的思想，但不像古希臘建立起了嚴密的演繹體系，這些缺乏嚴格的推理證明。這也與古代中國重應用而輕理論有關，就拿著名的《九章算術》而言，其中收集了246個與生產、生活實踐有聯繫的應用問題，其中每道題有問（題目）、答（答案）、術（解題的步驟，但沒有證明），有的是一題一術，有的是多題一術或一題多術。更多的是講方法，為了實踐服務的。
2.定積分求圓的面積
在平面直角座標系中，圓的面積方程為：
用定積分即可計算出其面積：
3.其他求圓面積的方法
也可在直角座標系下用參數方程積分，二重積分等方法求圓的面積，這裡不一一列舉。
但是個人認為這些方法稱之為計算或驗證或許更準確一些，畢竟有了微積分這個大殺器，圓的面積不再是困擾人們數千年的數學難題了。但是在幾千年來對圓的關注和求解中誕生的靈感火花也照亮了微積分出現的道路。
五、圓的面積S與半徑的平方R² 成正比的證明
前面引言提到，我上面所有的論述都跑偏了。我後來發現，其實這個式子才是題主真正想問的，但還是堅持做了關於圓的面積公式的由來，只是為了回顧先賢們所作出的努力，瞻仰他們超凡的思想境界。我們今天科技取得的任何一個小小的成果都是來之不易，往後看容易，往前看難，而先賢們就是那些目光深邃指引這人類走向未來的火把。
圓的面積S與半徑的平方R² 成正比，在歐幾里得的《幾何原本》已經給出了證明。我在找資料的過程中也搜到了知乎大神“普通的穗乃果普通地搖”解答，我也不在贅述，畢竟自己能力有限，前面這些已經花了我三天時間了。這裡就借花獻佛，一起學習一下吧（有興趣的同學可以直接去知乎，提問的標題都一樣，所以我懷疑...）。
以下知乎大神“普通的穗乃果普通地搖”的解答：
（1）
首先我們要用這個引理：相似多邊形的面積之比等於相似比的平方。
引理的證明，只要對相似三角形證明，然後把相似多邊形切成對應的相似三角形即可。
然後我們考慮圓。和大家想象中一樣，我們用圓內接正多邊形的面積來估計圓的面積。但是和籠統地說“邊數變成無窮，正多邊形就變成了圓”不同，我們嚴格地考慮這麼做的誤差。記圓面積為S，它的內接正n邊形面積Sn（顯然不依賴於它的位置，而且小於圓的面積）。那麼當內接正多邊形邊數變成2n時，我們有：
院子三尺三
圓的面積公式是用幾何方法推導獲得的。先將圓的面積平均分成面積相等的100個頂角為3.6度的等腰黃金三角形，再將這100個黃金三角形顛倒拼成一個長方形(見下圖)，長方形的寬，就是圓的半徑R(黃金三角形的腰長)，長為圓周長的二分之一，即長為πR。因此，長方形面積S=πR•R=πR^2，長方形面積是組成圓面積的100個黃金三角形面積的和，即知圓面積就是S=πR^2。過去人們對圓的周長由100條等長直線構成不了解，也不知道3.6度圓心角所對的弧是直線，只有明白以上科學事實，才不會懷疑黃金三角形底邊直線組成了圓周。
長眉1958
圓面積半徑與周長隨增大呈倍數不同增長，半徑增大呈奇數增長，使各半徑值呈規律倍數。半徑扭曲旋狀運動所產生面積值在動量旋渦面積卻不一樣，就存在動量半徑與固定值的不同，固定點面輻射半徑與動量渦旋半徑面積輻射，我覺得自然物理量同規律物理量應有變化。隨機宇宙運動難用模式規律恆定。但應也有推演隨機運行方式計算。
簡如空來
可以通過物理方式證明嗎？
1、先說明正方底的長方形立方體的公式是正確的。據此設置一個正方底的長方體，高度大於1米。
2、取直徑和正方底邊長相同的圓柱體，高為標準1米。
3、圓柱體中灌滿液體，長方體中灌入相同數量液體。計算它們的高度比
4、通過不斷改變底邊長和直徑計算高度比，看看是否是常量，是否是π。
5、所有數學的基礎是物理，數學理論最後還是要物理證明。
6、因工作量大，可以採用AⅠ計算
CTNWEIQI1
數學問題跟語文、物理等其他問題一樣，是人類對社會認識的反映。
圓面積的計算古往今來的人們已經解決了千遍不需要一一重複。
我只說一點，數學也是人類對事物的描述。比如：一片樹葉。文學有幾多出色描述的句子，像“停車坐愛楓林晚，霜葉紅於二月花”。而物理學的描述就是：葉子重量、受到引力等。生物學用葉子細胞、葉子光合作用等來表達。而數學呢，是用點、線、面說明，多邊形或三角形等。
回到圓面積上。人類經過幾代人的努力，逐漸統一了對圓面積的認識：與半徑、圓周率有關。怎麼用數學語言表達呢？也是經過了無數的爭論和推理證明才有了今天的結果。以後還會不會是這樣呢，很難說。
科學就是不斷探索的過程。也是人類認識深化的過程。
杏葉蓁蓁
凡是學過微積分的人都不會問出這種問題。用積分算，取圓心在原點的圓曲線在第一象限部分積分再乘以四就得到圓面積。
邪貓博士
整個平面幾何就幾個公理（不需要證明），比如平行線永遠不會相交，平行線同位角相等之類，其他都是推導嚴格證明的，堪稱奇蹟。
Oo行者無疆oO
直觀上可由三角形的性質推出，由相似三角形可推出圓周長同半徑成正比，再把半徑類比於三角形高，從而推出圓面積與半徑平方成正比
OutMan9641
瀉藥。
積分算出四分之一園面積
∫（r＾2-x＾2）1/2dx=1/4πr＾2
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