第一个层次：函数在某一点的导数为0

函数f(x)在x=a处导数的定义为

或者

我们可以从三个方面来诠释它的意义：

1. 几何意义

从几何的角度来讲，函数在某一点的导数就等于过这一点做函数图像的切线，其切线的斜率。

因此在一点的导数为0就相当于过这一点的切线斜率为0，斜率为0的直线就是一条水平线。因此它的图像画出来就有可能是下面这个样子

上图中可以看出c这一点导数为0，那么过一这一点的切线就是一条水平线。而这个函数在c这一点达到最高点，因此导数为0的点与最值点有密切的关系。

首先，一个人们经常容易出错的地方，认为导数为零的点就是极大值点或极小值点，实际上这是错误的。因为在一点的导数为0，还要看它左右两边的导数正负号才能确定是否是极大值或极小值，一共分为4种情况：

其中上面两幅图分别是极大值和极小值，而下面两幅图则既不是极大值也不是极小值

。一个最典型的例子就是y=x³。

反过来，一个极值点处，如果是可导的话，那么它的导数一定为0，这就是著名的费马(Fermat)定理：

2.物理意义

牛顿当初在发明微积分的时候，是在思考一个变速运动的瞬时速度如何求的问题。牛顿的办法是把某一时刻的瞬时速度看成是在这一时刻附近极短时间内的平均速度，即如果已知表示位移的函数s(t)，那么在t₀时刻的瞬时速度就是

可以看出，这个式子显然就是s(t)在t₀时的导数。因此瞬时速度就是位移的导数。所以如果说，位移函数在某一点的导数为0，意思就是在这一点物体运动的瞬时速度为0，我们可以通俗的理解成，在这一瞬间物体是静止不动的。

3.现实意义

通常情况下一个函数是表示了某种变化关系，即，x是自变量，y是因变量，x的变化引起了y的变化，y随着x的变化而变化。而函数在某一点的导数，就相当于从这一点开始的很小范围内y的变化量和x变化量的比值。也就是Δy/Δx当Δx趋近于0时的极限。注意！有人说是dy/dx中，dy是y的变化量，dx是x的变化量，这种说法是错误的！dy的正确叫法应该是y的“线性变化量”，它和y的变化量还是有着很大的区别的。

因此，一个变化关系，即一个函数在某一点的导数就是在衡量一瞬间因变量的变化与自变量变化的快慢关系，所以我们可以把一点的导数理解为“增长率”，比如我们研究经济问题时会有经济增长率，研究人口问题时会有人口增长率，在这些具体问题的研究中，我们都是把它当成是一个导数。

如果一点的导数为0，就说明在这一点处x虽然变化，但是y值不会变，也就是y的增长率为0。当然在某一点导数为零，并不意味着y一直停止增长，它只是在一瞬间停止增长而已。如果是在一个区间上，那么情况就会有所不同。