第一個層次：函數在某一點的導數為0

函數f(x)在x=a處導數的定義為

或者

我們可以從三個方面來詮釋它的意義：

1. 幾何意義

從幾何的角度來講，函數在某一點的導數就等於過這一點做函數圖像的切線，其切線的斜率。

因此在一點的導數為0就相當於過這一點的切線斜率為0，斜率為0的直線就是一條水平線。因此它的圖像畫出來就有可能是下面這個樣子

上圖中可以看出c這一點導數為0，那麼過一這一點的切線就是一條水平線。而這個函數在c這一點達到最高點，因此導數為0的點與最值點有密切的關係。

首先，一個人們經常容易出錯的地方，認為導數為零的點就是極大值點或極小值點，實際上這是錯誤的。因為在一點的導數為0，還要看它左右兩邊的導數正負號才能確定是否是極大值或極小值，一共分為4種情況：

其中上面兩幅圖分別是極大值和極小值，而下面兩幅圖則既不是極大值也不是極小值

。一個最典型的例子就是y=x³。

反過來，一個極值點處，如果是可導的話，那麼它的導數一定為0，這就是著名的費馬(Fermat)定理：

2.物理意義

牛頓當初在發明微積分的時候，是在思考一個變速運動的瞬時速度如何求的問題。牛頓的辦法是把某一時刻的瞬時速度看成是在這一時刻附近極短時間內的平均速度，即如果已知表示位移的函數s(t)，那麼在t₀時刻的瞬時速度就是

可以看出，這個式子顯然就是s(t)在t₀時的導數。因此瞬時速度就是位移的導數。所以如果說，位移函數在某一點的導數為0，意思就是在這一點物體運動的瞬時速度為0，我們可以通俗的理解成，在這一瞬間物體是靜止不動的。

3.現實意義

通常情況下一個函數是表示了某種變化關係，即，x是自變量，y是因變量，x的變化引起了y的變化，y隨著x的變化而變化。而函數在某一點的導數，就相當於從這一點開始的很小範圍內y的變化量和x變化量的比值。也就是Δy/Δx當Δx趨近於0時的極限。注意！有人說是dy/dx中，dy是y的變化量，dx是x的變化量，這種說法是錯誤的！dy的正確叫法應該是y的“線性變化量”，它和y的變化量還是有著很大的區別的。

因此，一個變化關係，即一個函數在某一點的導數就是在衡量一瞬間因變量的變化與自變量變化的快慢關係，所以我們可以把一點的導數理解為“增長率”，比如我們研究經濟問題時會有經濟增長率，研究人口問題時會有人口增長率，在這些具體問題的研究中，我們都是把它當成是一個導數。

如果一點的導數為0，就說明在這一點處x雖然變化，但是y值不會變，也就是y的增長率為0。當然在某一點導數為零，並不意味著y一直停止增長，它只是在一瞬間停止增長而已。如果是在一個區間上，那麼情況就會有所不同。