在思维方式上，雅典人擅长概括综合，亚历山大人习惯逐一击破。 ——弗洛里斯·科恩（Floris Cohen）
一、海伦与海伦公式
海伦（Heron）是一位公元62年前后活跃于亚历山大城的数学家、力学家、机械学家，也被认为是古代最伟大的实验家。发明家克特西比乌斯（Ctesibius）是他的老师。他曾经在亚历山大艺术宫（Meseum，即博物馆）传授几何、物理、气体学和机械学，上课的内容有一些是他著作的教科书，有一些是他的草稿。
海伦的著作可分成两类，一类是理论的部分，包括几何、算数、天文学和物理，另一类是则是技能指南的部分，包括物质学、建筑学、木工和生活上使用到的技巧。在这些著作中，他主要关心数值结果。
海伦工作的突出之处是把严密的数学同埃及人的近似方法和公式融合在一起。一方面他评注欧几里得著作，采用阿基米德的准确结果，并在自己的创作中证明欧氏几何的一些新定理。另一方面他关心应用几何与力学，毫无顾忌地给出各种各样近似结果。他大胆使用埃及人的公式而且他的许多几何在性质上也有埃及人的风格。
数学方面最能代表其成就的著作是《量度Metrica》，该书的原稿本1896年才被发现。全书共分为三卷，第一卷由矩形和三角形开始，讨论了平面图形和立体表面之面积。第二卷探讨立体图形，其中包括圆锥体，圆柱体，棱柱体等体积的求法。第三卷介绍了平面和立体图形按给定比例的分割，并用到了求立方根的近似公式。
海伦另一部关于测地学的著作《经纬仪Dioptra》也很有名。在这部著作中，海伦对如何在隧道之两端同时动工而能使之衔接提出说明，也解释如何测量两地的距离，包括有一地不能到达以及两地均能看见但均不能到达的情形；另外他也说明如何从已知点到不可及的一线作垂线，以及如何测知一块地的面积而不需进入这块地面上。著名的海伦公式是最后提到的观念（不进入一块地而求出其面积的依据）。这个公式出现于他的《测地术Geodesy》中并在《经纬仪》和《量度》两书中有一个证明。
海伦公式（实际是阿基米德发现的）
【秦九韶公式】
中国南宋数学家秦九韶在《数学九章》中利用三斜求积术得到的三角形面积公式与海伦公式等价，但晚了一千多年。
海伦还用迭代法计算平方根的近似值，甚至认为负数可能是拥有平方根的——这是虚数概念的原始萌芽。
海伦所提出的公式有许多并未附上证明而一部份的公式则只给岀近似值而已。例如在上述正确的三角形面积公式外，他又给出一个不精确的三角形面积公式。海伦之所以用许多埃及人的公式，可能原因之一是精确公式所涉及的平方根，立方根等不是测量人员能够运算的。事实上，纯几何与测地学或度量学还是有些不同，测地学中求面积和体积的方法并不属于高等教育的范围，它们只教给测量员、泥水匠、木匠和技术人员。毋庸置疑，海伦继承了埃及的测量科学并加以发扬光大，他的测地学著作被沿用了好几百年。
海伦在应用方面的著述有《机械学Mechanics》、《投石炮The Construction of Catapult》、《度量Measurements》、《枪炮设计The Design of Guns》、《压缩空气的理论和应用Pneumatica》以及《制造自动机的技术On the Art of Construction of Automata》。他作出了汽转球（下图，世界上第一台蒸汽机）、水钟、水凤琴、测量仪器、自动机（包括世界上第一台自动售货机）、灭火器、起重机和作战武器的设计。海伦还是第一个借助风车在陆地上驾驭风能的人。
【海伦三角形】
边长和面积都是整数的三角形被称为“海伦三角形”，而当两个海伦三角形的周长与面积都相等时，就被称为双重海伦三角形。双重海伦三角形存在着无穷多对，但只有一对是由一个直角三角形与一个等腰三角形构成，即边长为135、352、377的直角三角形与边长为132、366、366的等腰三角形，其周长均为864，面积都是23760。
【将军饮马问题】
古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营。他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？海伦用轴对称的方法巧妙的解决了这问题（下图）。
二、尼科梅德斯蚌线
古典时期希腊数学家虽也引进并研究过一些不常见的曲线如割圆曲线，但几何上只许研究用尺规所能作的图形这一禁令把那些曲线打入冷宫。亚历山大时期的数学家则比较能够冲破这种限制，所以阿基米德可以毫无顾虑地引入螺线。
尼科梅德斯（Nicomedes，公元前200年左右）以他所定义的蚌线出名，研究这种蚌线是为了解决怎样三等分一个任意角的问题。
有一条定直线m，直线外一个定点O。定点与定直线的距离为a。过定点O作一条直线n与定直线m交于点P。在直线n上点P的两侧分别取到点P的距离为b的点Q和点Q'。当点P在直线m上运动时，点Q和Q'的运动轨迹合在一起即尼科梅德斯蚌线（形状如蚌）。该曲线的极坐标方程是r=a+bsecθ。
尼科梅德斯蚌线分三种可能的情况：b
尼科梅德斯蚌线法解决三等分角问题至少有两种方案：
【方案A】
1.把要三等分的∠AOB的OA边置于水平方向朝右，点B在水平线上方。
2.在OB上取一定点C，设OC长度为b。过点C作直线m平行于OA。设m到点O的距离为a。
3.以O为定点、m为定直线、b为定长，作出尼科梅德斯蚌线，如图中红线所示。
4.过点C作半径为b的圆（图中绿色）。圆必过点O。设圆与夹在角AOB内的蚌线部分交于点D（点D的确定是问题的关键）。连接OD并延长，与直线m交于点E。由尼科梅德斯蚌线的定义知DE=b 。连接CD，显然，CD=b 。当然，OC=b 。
5.三角形OCD和三角形CDE都是等腰三角形。所以有：∠5=∠4=∠3=2∠2=2∠1
6.所以，OE为∠AOB的三等分线之一。另一条三等分线为∠BOE的角平分线，尺规作图很容易作出。
【方案B】
1.让已知角的一边OA的顶点为点O，方向指向蚌线定直线m且与它垂直，垂足为C。
2.设角的另一边OB与定直线交于点D，过点D作与OA平行的直线DE。
3.以点O为定点，以m为定直线，以OD的长度的两倍2OD为定长，作尼科梅德斯蚌线（图中红色曲线）。曲线不过点O的一支与直线DE相交于点S。连接OS，OS与CD相交于点F。取FS的中点M。
4.根据蚌线的作图，可知FS=2OD。所以，FM=MS=OD。而△FDS是直角三角形，所以，DM=FM=MS，△ODM和△DMS都是等腰三角形。从而有∠2=∠3=∠4+∠5=2∠5=2∠1，即∠2=2∠1，所以OS为角AOB的三等分线。
三、狄奥克莱斯与蔓叶线
狄奥克莱斯（Diocles）是来自希腊阿卡迪亚（Arkadia）的数学家，他在公元前180年《论点火玻璃On Burning-glasses》一书中引用所谓蔓叶线（Cisoide）解决了倍立方问题。
设AB及CD是圆的互相垂直的直径，EB及BZ是相等的弧段。作ZH垂直于CD，再作ED。ZH与ED的交点便给出蔓叶线上一点P。狄奥克莱斯把BC弧上所有的E及BD弧上所有的Z所定出的一切点P的轨迹叫做蔓叶线。可以证明CH：HZ=HZ：HD=HD：HP，所以HZ和HD是CH和HP之间的两个比例中项。这就解决了倍立方问题。
若取O为原点，a为半径，OD及OA为坐标轴，则蔓叶线的直角坐标方程是y² (a + x) = (a - x)³。
另一个与狄奥克莱斯有关的数学问题是抛物线的焦点，这是阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线》中未提及的。在古希腊时代，数学家们常常独处一隅埋头搞研究，只是通过信件和旅行来相互交流。狄奥克莱斯在他的著作《论凸透镜》中解释道：“当天文学家芝诺多罗斯（Zenodorus）来到阿卡迪亚并被介绍给我们时，他问我们如何找到这样一个镜面即当它面对太阳时，镜面上所反射出的光线能汇集到一个焦点从而引起燃烧。”作为解答，狄奥克莱斯证明用抛物面反光镜可以将平行的光束聚集到一个焦平面上。当然，凸透镜在当时已被广泛使用，但是大多数凸透镜都是球面形的，即一个球体剖面的反射凹形面。狄奥克莱斯证明，用球面形镜子聚集光束，聚到轴心的平行光束被反射的位置相互离得很近，但并不完全聚集在一个焦平面上，从而导致了球面光行差。因此，球形体并不是凸透镜的最有效的形状。
下一节讲三角术的诞生。
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