夏仙寶
其實這樣的函數非常多，藉助狄利克雷函數，我們可以方便地構造出很多例子，首先來介紹一下狄利克雷函數：
這個函數是一個所有點都不連續的函數，這點我們可以利用連續性的定義來知道。函數在一個點x=a處連續的意思是指， 可以想象，不管a取什麼值，那麼在它的左側和右側的任何小鄰域中，都會包含無限多個有理數和無理數，而有理數處和無理數處函數取值又是不一樣的，因此左極限和右極限都不存在，所以這一點也就不可能是連續的。 狄利克雷函數是最典型的一個處處不連續的函數，也因為這一奇怪的性質，被人們稱為病態函數。利用狄利克雷函數，我們可以構造只在一點連續的函數，只需要將x為有理數時的取值改造一下便可
這樣一來，這個函數就在x=0處時是連續的，而在任何其它點都是斷開的。我們來證明一下，首先來證明在x=0處連續。
很明顯：f(0)=0，接下來來看0點的左右極限：
函數值等於極限值，因此在x=0處是連續的。
再看其它的點x=a處，因為剛才我們已經看到了狄利克雷函數，這個證明方法幾乎是一樣的。a取任何非零值的時候，在它的左右任意小的領域內都含有無數多的有理數和無理數，這就使得它左右極限不存在，因而是斷開的。
有了這個例子，我們就可以構造出很多隻在0這一點連續的函數。只要將x為有理數時的取值改成任意一個在零點時連續，並且其它點不等於常數0的函數就可以了。即
順便提一句，上面這個函數不只是只在一點連續，它甚至是隻在一點可導。
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