在數學學習中，我們都知道，切線是因圓而產生的，它與圓形有著剪不斷的情結，而對於相交且垂直的兩條切線，它們交點的軌跡卻是美侖美奐的一一蒙日圓，你知道嗎？
在學習蒙日圓之前，我們先來認識一下，來自法國的大數學家蒙日(1746-1818)，他曾與拿破崙有過一段不錯的交情。拿破崙具有豐富的軍事才能的同時，還是非常喜歡數學的，他曾與數學家蒙日結成了忘年之交。
蒙日圓是19世紀法國的數學家加斯帕爾·蒙日發現的，蒙日的《畫法幾何學》，曾被高斯稱讚為"智慧的滋補品"。
什麼是蒙日圓呢？
在橢圓(雙曲線)中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等於長、短半軸的平方和(差)的幾何平方根，這個圓就叫蒙日圓。
常見的三種類型的蒙日圓如下:
①橢圓的蒙日圓
與橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是x^2+y^2=a^2+b^2。
②雙曲線的蒙日圓
與雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是
x^2十y^2=a^2-b^2。
③拋物線的蒙日圓
與拋物線y^2=2px(p>0)相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是x=-p/2(可以看作是無窮大的圓)。
特殊的，圓的蒙日圓是個同心圓，其半徑為圓半徑的√2倍。
與圓x^2+y^2=r^2的相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是x^2十y^2=2·r^2。即蒙日圓為該圓的同心圓，其半徑是圓半徑的√2倍。
下面看一下圓的蒙日圓的軌跡方程的證明方法:
已知，點P是圓O:x^2+y^2=r^2外任一點，PA、PB是圓的兩條互相垂直的切線，A、B分別為切點，求證，p點的軌跡方程是x^2+y^2=2·r^2。
證明:連OA、OB，OP，由OA=OB=r，LPAO=LPBO(圓的切線的定義)，OP為公用邊，所以▽PAO≌▽PBO，故PA=PB。
又由PA垂直PB，知LBPA是直角，即有LBPA十LPAO+LPBO=270，故LAOB也是直角。因此四邊形PAOB是正四邊形，即PA=PB=r，這樣由勾股定理，知OP=√(r^2+r^2)=√2·r。
再根據P的任意性，可知P的軌跡是以O為圓心，以OP為半徑的圓，其軌跡方程為x^2+y^2=2·r^2。
最後，我們重點來看下，橢圓的蒙日圓的證明過程吧，請大家注意，用代數證明法的運算量比較大，但思路清晰易懂，值得推薦。
在判別式=0的化簡過程中，一定要細心認真，合併同類項時，注意要抓位K的一次項和二次項，不要混淆。
當然，若有興趣的話，你還可以仿照此法，來證明雙曲線的蒙日圓的軌跡方程的。
下面，歡迎大家來挑戰一道數學高考試題吧，看當年學霸的你還能不能繼續紅旗飄飄！
怎麼樣，蒙日圓沒蒙你吧?好啦，來欣賞一下美圖再壓壓驚吧！
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