只用直尺和圓規
能解決這三個問題嗎
今天，超模君想跟大家講一下有關“古希臘三大幾何問題”的故事……
“倍立方體”問題
Question：如何只用直尺和圓規作出一個立方體，使得該立方體的體積為已知立方體的體積的兩倍。
原來這個問題源於古希臘的一次瘟疫。
傳說在公元前429年，一場不知名的瘟疫襲擊了希臘提洛島（Delos），島上四分之一的人都因為瘟疫而喪生。
面對可怕的瘟疫，島上的居民們推舉出一個代表，到神廟裡去詢問阿波羅的旨意。
太陽神阿波羅
結果阿波羅傳下旨意：想要遏止瘟疫，就把神殿前的祭壇加大一倍吧！
聽到阿波羅的旨意，人們便把祭壇的邊長都加長了一倍。但是，當新的祭壇做好時，瘟疫並沒有得到控制，反而愈加嚴重。
此時有人質疑說這樣做根本不對，阿波羅說的是把祭壇的體積變成原來的兩倍。於是人們又把祭壇的體積修改為原來的兩倍，但是祭壇的形狀變成了一個長方體，瘟疫依舊肆虐。
無奈之下，島民們只好去雅典求助智者柏拉圖。一開始柏拉圖和他的學生都認為這個問題很容易，因為他們已經知道如何只用直尺和圓規，來作出一個面積為已知正方形兩倍的正方形。
但是他們發現，這個問題遠比想象的要複雜，以至於最後柏拉圖並沒有成功地用尺規作圖來解決這個問題。
柏拉圖：這回丟臉丟大了……
於是這個問題被保留了下來，直到1837年，法國數學家萬芝爾成功證明：只用尺規作圖，根本無法解決“倍立方體”問題。
萬芝爾的大致證明過程是這樣的：
假設已知的正方體稜長為a，體積為已知正方體的正方體稜長為x，由問題的要求，列式得x^3=2a^3，解出x等於2a^3的三次方根。
由於2的三次方根是無理數，而尺規作圖能夠作出的線段長度均為有理數，所以“倍立方體”問題無法只用尺規作圖解決。
這個證明被數學界普遍認可，可如果拋開尺規作圖這個限制，那麼要解決“倍立方體”問題其實並不難。柏拉圖當時就有這麼一個解法：
“倍立方體問題”可以轉化為另一個問題：即在a與2a之間，插入x、y兩個數，使a、x、y、2a成等比數列。因為a：x=x：y=y：2a，整理後可得：x^3=axy=a（2a^2），也即x^3=2a^3，符合問題的本意。
而柏拉圖的解法為：
1. 作互相垂直的線M,線N,交點為P；
2. 在M上取 PC=a，在N上取PD=b=2a；
3. 取二曲尺，使一曲尺通過C點，且頂點在N上，另一曲尺通過D點，且頂點在M上，且二尺的另一邊互相密合，如此，便分別在M,N上產生A,B點，則四邊形ABCD中的PA（或PB）即為所求。如下圖：
後來的數學大家們，如笛卡爾、韋達、牛頓等人，都用自己的方法得到了該問題的答案。
但正如萬芝爾證明的那樣，在尺規作圖的限制內，“倍立方體”依舊是個無解的問題。
三等分角問題
Question：在只用直尺和圓規的情況下，將任意給定的一個角三等分。
關於這個問題，其實也有一個小小的故事。
公元前4世紀，在亞歷山大城城郊，有一座圓形的城堡，裡面住著一位公主。公主的居室正好建立在圓心處。城堡南北圍牆各開了一個門，城中的河上建了一座橋，橋的位置和南北門位置恰好在一條直線上。
大概就是這種感覺
國王每天賞賜的物品，從北門運進，先放到南門處的倉庫，然後公主再派人從南門取回居室。
一天，公主問侍從：“從北門到我的臥室，和從北門到橋，哪一段路更遠？”侍從不知道，趕緊去測量，結果是兩段路一樣遠的。
過了幾年，公主的妹妹小公主長大了，國王也要為她修建一座城堡。小公主提出她的城堡要修的像姐姐的城堡那樣，有河，有橋，有南北門。
國王滿口答應，小公主的城堡很快就動工了，當把南門建立好，要確定橋和北門的位置時，卻出現了一個問題：怎樣才能使得北門到臥室和北門到橋的距離一樣遠呢？
O是臥室，Q、K、P分別北門、橋和南門
工匠們畫出了設計圖（如上圖），算出只需要三等分∠KOP就能夠解決問題。但是他們不知道該怎麼用尺規作圖來三等分這個角，於是去請教阿基米德。
阿基米德：這麼簡單的問題還來問我
阿基米德看了看他們的問題，給出瞭解答：
他在直尺上做了個標記，使得標記和尺頭之間的距離等於圓的半徑r。
接著阿基米德讓標記在圓上滑動，使尺頭落在∠KOP的延長線上，並且讓直尺通過角的終邊與圓O的交點上，這樣直尺和延長線的角就是∠KOP的三等分角。
（如下圖，A為尺頭，B為標記）
所有工匠都為阿基米德的智慧所折服，但是阿基米德卻說：
“這個確定北門位置的方法固然可行，但只是權宜之計，它是有破綻的。”
因為阿基米德在直尺上做標記的做法，違反了尺規作圖的原則。那麼，如果真的只用尺規作圖，三等分角又能否做出來呢？
答案是：不能。
至於給出證明的人，還是上面提到過的法國數學家萬芝爾。
而三等分角不能用尺規作圖的理由，跟“倍立方體”問題類似，都是因為尺規作圖所能夠作出的線段長度只能夠為有理數，而三等分角問題涉及到了無理數，這是尺規作圖所不能夠達到的。
化圓為方
Question:在只使用直尺和圓規的情況下，作一個正方形，使其面積等於已知圓的面積。
這個問題的提出，跟古希臘哲學家安納薩格拉斯有關。
公元前5世紀，安納薩戈拉斯因為發現太陽其實是一個“大火球”（在那時候也確實可以這麼認為），而並非阿波羅神，被判了“褻瀆神靈”的罪名，關入監獄。
在監獄裡，安納薩戈拉斯睡不著。圓圓的月亮透過正方形的鐵窗照進牢房，他對方鐵窗和圓月亮產生了興趣。他不斷變換觀察的位置，一會兒看見圓比正方形大，一會兒看見正方形比圓大。
最後，安納薩戈拉斯想到了一個趣味數學 問題：圓月和鐵窗，它們的面積會不會是一樣大呢？
被好友保釋出獄之後，安納薩戈拉斯將自己的想法公佈了出來，引得很多人來研究這個“化圓為方”的問題，其中不乏希波克拉底、安提豐、希皮亞斯這樣著名的學者。
希波克拉底，被譽為“醫學之父”
安提豐：古希臘哲學家
但遺憾的是，儘管有如此多學者來研究，這個問題在相當長的一段時間裡依舊是個“無解之問”，直到一位文藝復興時期的天才出現。
這位天才，就是達芬奇 。
然而天才總是不拘一格的……達芬奇給出的解法，是這樣的：
用一個以已知圓為底，高度為已知圓的半徑的一半的圓柱體，在平面上滾動一週，所的出來的矩形的面積即為：S=2πr·1/2r=πr^2，然後將這個矩形化為等面積的正方形即可。（如下圖）
很顯然，這個方法很巧妙，同時……也違反了問題原本的要求。
那麼，這個問題到底有沒有真正的解法呢？
跟前面兩個問題一樣，希臘人搗鼓出來的這個“化圓為方”的問題，在尺規作圖的限制下，依舊……
無解。但是這並不能怪希臘人，因為到了1882年，德國數學家林德曼，才證明圓周率π是一個“超越數”。而同樣在19世紀，有人證明了如果設任意給定長度單位，則標尺可作的線段段長必為“代數數”。
代數數指能滿足整係數代數方程的數，而超越數則是不能滿足整係數代數方程的數。如2的平方根是代數數，因為它滿足方程x^2-2=0；而π則是超越數。
化圓為方的本質是用尺規作圖的方法做出長度為π的平方根的線段，由上面給出的信息可知，根本不可能用標尺做出長度為π的平方根的線段，所以此題無解。
看到這裡，有模友可能會說：
希臘人搗鼓的都是什麼東西啊？一個個都是根本沒有解的問題，有意義麼？
其實，即便無解，這三個問題的存在依舊很有意義。先不說為了解決倍立方問題，數學家發現了諸如蔓葉線等一系列的特殊圓錐曲線，就說最後的化圓為方問題，安提豐所提出的“窮竭法”，是近代數學重要概念極限的雛形。
蔓葉線
問題的無解並不重要，重要的是人們在解決問題的時候，會發現很多以前從來沒有見過的知識，這些知識是數學發展的動力。而作為促進發現這些知識的問題，則是數學的真正生命力所在。
可以這麼說，如果哪一天，數學不能夠再提出新的問題，那這門學科就已經走到盡頭了。當我們懷著這樣的心情來看數學界中種種不可思議的謎題時，是不是突然覺得：
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