一.從線性迴歸的故事說起
相信大家都聽過著名的博物學家，達爾文的大名，而今天這個故事的主人公就是他的表弟高爾頓。
高爾頓是一名生理學家，在1995年的時候，他研究了1078堆父子的身高，發現他們大致滿足一條公式，那就是
Y=0.8567+0.516*x
這條式子中的x指的是父親的身高，Y指的是兒子的身高。可以明顯看出，這就是我們中學時代學的二元一次方程，反應在平面上就是一條直線。
通過這條公式，我們或許會直觀得以為高個的父親總會有高個的兒子，矮個的父親會有矮個的兒子。但高爾頓進一步觀察後發現，並非所有的情況都是這樣的。特別高的父親的兒子會比他父親矮一些，特別矮的父親的兒子會比他父親高一些，父子不會說一直不斷得更高或更矮下去。這個現象，其實就是迴歸。趨勢不會一直持續下去，而是會回到某個中心。
通過這個故事，相信你已經明白了什麼是線性迴歸，那麼接下來我們就來說說更加詳細的內容。
二.理解線性迴歸
平面座標點
拋出問題：假設有這樣的一些點，這些都是現有的數據，我們要找到擬合這些點的線，然後預測接下來的點。那我們要怎麼找出這條線呢？
h(x)=a0 + a1 * x（a1是斜率，a0是截距）
或者說換個問法，我們要怎麼求出a_1和a_0呢？
Cost Function（代價函數）
第一次接觸線性迴歸的同學可能不知道什麼叫cost function，其實當碰到不知道的概念的時候，只要想清楚兩件事，這個概念是什麼，有什麼用。想清楚這兩點，起碼就不會犯迷糊了。
代價函數是什麼？
我們先隨便畫兩條線來擬合那些點，如圖所示，可以看到，明顯圖二更加擬合，也就是說圖二的線更接近我們理想中的線。
代價函數介紹
OK，再仔細觀察，圖二的線和圖一的線有什麼不同呢？最明顯的，就是圖一中，各個點沿y軸到那條直線的距離更遠，而圖二中各個點到線的距離更近。
各點到西線的距離
這所有點沿y軸到直線的誤差，也就是各個點的誤差，的平均值。就是代價函數。公式如下：
代價函數公式
pred(i) 就是第i個點上，直線的y值，y(i)就是第i個點，這個點的y值，加上平方主要是避免了負數的情況。這就是代價函數。
代價函數有什麼用？
代價函數有助於我們找出a0和a1的最佳可能值。前面說到，代價函數就是每個點在y軸到直線的距離的平均值。我們的目標就是最小化這個值，在普遍情況下，代價函數是凸函數，如下圖所示，
看到這個函數是不是比較熟悉？在學習導數的時候不就經常看到這樣的圖嘛，這種圖通常也是通過求導來解的。
最小化過程
從y=a0+a1*x，這條直線開始。到寫出代價函數，我們的目標一直沒變，就是要找出a0和a1，讓這條直線更貼緊那些點（就是讓代價函數最小）。當然，我們還沒說到如何讓代價函數最小化，下面我們就接著說說如何讓代價函數最小化吧。
Gradient Descent（梯度下降）
梯度下降是什麼？
梯度下降是一種不斷迭代更新a0和a1以降低代價函數的方法。 我們可以通過對代價函數求導的方式，看出應該讓a0或a1加還是減。
梯度下降公式
上面部分其實就是對代價函數的求導，通過對其求導，我們能夠知道a0和a1應該是增大還是減少。
這條公式其實就是（a0-代價函數的偏導數）。當然，其中還有一個控制速率的α(Alpha)，對代價函數的求導能知道是對a0和a1增大還是減少，那麼α就是應該增大多少，減少多少。
舉個例子，假設你現在在半山坡，你要做的是下山，代價函數的偏導數，就是告訴你應該向下還是向上。而速率α就是來控制步子要邁多大。
步子小（α小）意味著小步快跑下山，缺點是跑比較久。大步向前（α大）意味著比較快，但可能一下子邁太大，跑到對面半山腰去了。
速率α的作用
梯度下降有什麼用？
通過梯度下降，能夠讓我們找到一個局部最優解的a0和a1，為什麼是局部最優解呢？因為現實中的問題可能沒一開始的例子那麼清晰，很多時候你發現可能這條線也可以，這條線也不錯，那條好像也可以。計算機也會這樣，它可能也會覺得某條線就已經夠好了。就不去找其他的線了。
反應到我們求的問題裡面，可以說因為是最小化問題（最小化代價函數），但可能像右圖一樣，它已經在一個局部裡面是最小的了，向左向右都是升高，既然如此那就安心當鹹魚嘍。這種現象和初始的隨機選擇有關，也和訓練的速率有關。
局部最優和全局最優
當選擇了一個合適的α值，當更新迭代足夠多次之後。理論上就會到達某個底部，這時候也就意味著代價函數是某個範圍內最小的。這個時候的a0喝a1就被我們求出來了，我們就能夠得到一條擬合空間中點的直線了。
最後再說一下，剛剛介紹的都只是在二維空間中的計算，也就是隻有一個特徵。而現實中往往不止會有一個特徵，而是多個特徵，如下面的形式：
h(x)=a0 + a1 * x1 + a2 * x2 + a3 * x3 ...
不過計算方式和計算的方法都是類似的。只是數據量會變多，計算會更加複雜些。
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