橢圓中，從O點發出的兩條互相垂直的射線，交橢圓於P，Q兩點，則斜線PQ永遠切於以O為圓心的定圓。

正焦半徑斜切定圓的橢圓情況

換言之，圓心到直線PQ的的距離恆為定值！

下面給出此結論的證明，並求出這個半徑，讓我們意外的是，還有其他附加產品！

此時觀察到兩個式子有共同的分子，所以我們需要給他們取個倒數。並相加

得：

至此，我們得到三個條件，所以對於以下四個條件要知道他們是互相等價的

小試身手：

分析：第一問可以設出各個點座標，通過點到直線距離公式得出a與b關係；

第二問符合結論，但要注意在第一問中已經得到a和b的關係，在第二問中需要統一用字母b表示。

前兩道題算式小試牛刀，這道題利用結論才可以大顯身手。

（1）根據平行四邊形的面積，可求a，b，a^2=4,b^2=3

（2）首先，分析向量AP和PB向量的數量積是1，再已知OP=1，利用射影定理，將此題翻譯成OA⊥OB的問題。這還不算結束，因為一般的存在性問題題目，學生們的思維定式是直線一定會存在，如果遇到不存在的問題，第一時間是懷疑自己做錯了！而這道題中，我們可以先利用結論，準確的判斷出直線是否存在，即若OA⊥OB，利用結論先求出OP的長度，然而此題OP=1，所以直線必不存在，直接下來的證明就比較容易了，只需要判斷方程無解即可。

到此，我們瞭解了OP⊥OQ的一般結論，但橢圓的美卻還未綻放完全，對於更一般的情況。

證明方法建議使用橢圓的參數方程，簡單優美，不詳細贅述！

其實對於平分平面的n（n≥3）個有向線段，與橢圓有n個交點，都有：

這個結論完全是高中階段的擴展結論，目前並未在高考題中出現，並且今後也不會出現。

接下來我們在說回OP與OQ的問題：

問題引入：

分析：

（1）略

（2）距離d是定值的問題很好解決，那麼|PQ|的最小值，甚至取值範圍又如何確定？這個問題相對比較容易，需要上文的結論藉助函數的思想便可以求出，注意的是如果題中只問最值問題，均值不等式是一個很好的選擇，今天我們為了導出更強大的結論，把此題看做求取值範圍處理。

（OP=OQ時左取等，OP，OQ位於座標軸時，右取等）

因為PQ長度的範圍已經求出，對於△POQ的面積，高是固定的，所以它的面積範圍也很容易求得：

至此，我們又得出兩個結論：

對於OP⊥OQ，

練習題:

分析：在有上面結論的前提下，此題變得異常容易。需要同學們模仿結論的推導過程，對此題進行過程上的書寫。如若能自行推導相應結論，則同樣題型的題目都會輕而易舉。

分析：此題做完圖形後發現，△AMB的面積是兩個△AOM的面積，故此題需要求出常規結論中的面積，再×2.

分析：此題通過圖形，可以看出四邊形ABCD的面積是△AOB面積的4倍，由於是小題，可以直接套用結論即可，別忘了最後×4.

橢圓的優美結論暫時放下，聽見有的同學問：“老師，雙曲線呢？”

眾所周知，橢圓的方程和雙曲線方程長的那麼像，簡直就是雙胞胎，雙曲線一定也有相對應的結論的，而且雙曲線的結論更好記。

觀察橢圓和雙曲線的標準方程，我們可以把橢圓中的b^2，偷偷的換成-b^2，那麼就神不知鬼不覺的換成了雙曲線的方程，同時把結論中帶b的項通通換掉。由於出現了減法，為了確保軌跡的存在，需要特別指出a

則有：

關於弦長PQ和△POQ的面積問題，和橢圓的方法完全一致，同學們可以自行推導。由於高考中不考雙曲線的大題，這裡不在列舉例題！

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