初中數學方法技巧訓練：菱形性質與判定的靈活運用

菱形具有一般平行四邊形的所有性質，同時又具有一些特性，可以歸納為以下三個方面：

（1）從邊看：對邊平行，四邊相等；

（2）從角看：對角相等，鄰角互補；

（3）從對角線看：對角線互相垂直平分，並且每一條對角線平分一組對角。

判定一個四邊形是菱形，可以先判定這個四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等或對角線互相垂直，也可以直接證明四邊相等。

今天，我們將給大家介紹菱形性質與判定的靈活運用的幾種題型。

類型一：利用菱形的判定證明菱形

例1：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分別為AC，AB的中點，BF∥CE交DE的延長線於點

（1）求證：四邊形ECBF是平行四邊形；

（2）當∠A＝30°時，求證：四邊形ECBF是菱形．

【分析】（1）利用平行四邊形的判定證明即可；

（2）利用菱形的判定證明即可．

【解答】證明：（1）∵D，E分別為邊AC，AB的中點，

∴DE∥BC，即EF∥BC．

又∵BF∥CE，

∴四邊形ECBF是平行四邊形．

【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定與性質，利用平行四邊形的判定以及菱形的判定是解題關鍵．

類型二：利用菱形的性質與判定證明線段的位置關係

例2：如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC．

（1）求證：AD＝BC；

（2）若E、F、G、H分別是AB、CD

【分析】（1）由平行四邊形的性質易得AC＝BM＝BD

（2）連接EH，HF，FG，GE，E，F，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，易得四邊形HFGE為平行四邊形，由平行四邊形的性質及（1）結論得▱HFGE為菱形，易得EF與GH互相垂直平分．

【解答】證明：（1）過點B作BM∥AC交DC的延長線於點M，如圖1，

∵AB∥CD

∴四邊形ABMC為平行四邊形，

∴AC＝BM＝BD，∠BDC＝∠M＝∠ACD，

（2）連接EH，HF，FG，GE，如圖2，

∵E，F，G，

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質及判定，全等三角形的性質與判定，菱形的判定及性質，綜合運用平行四邊形的性質及判定，全等三角形的性質與判定是解答此題的關鍵．

類型三：利用菱形的性質與判定求線段的長

例3：如圖，在四邊形ABCF中，∠ACB＝90°，點E是AB的中點，點F恰是點E關於AC所在直線的對稱點．

（1）證明：四邊形AECF為菱形；

（2）連接EF交AC於點O，若BC＝16，求線段OF的長．

【點評】本題考查的是菱形的判定和性質、軸對稱的性質，掌握四條邊相等的四邊形是菱形、菱形的對角線垂直且互相平分是解題的關鍵．

類型四：利用菱形的性質與判定解決相關問題

【分析】根據已知先判斷△ABC≌△EFA，則∠AEF＝∠BAC，得出EF⊥AC，由等邊三角形的性質得出∠BDF＝30°，從而證得△DBF≌△EFA，則AE＝DF，再由FE＝AB，得出四邊形ADFE為平行四邊形而不是菱形，根據平行四邊形的性質得出AD＝4AG，從而得到答案．

【解答】解：∵△ACE是等邊三角形，

∴∠EAC

∵∠BAC＝30°，

∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，

∵F為AB的中點，

∴AB＝2AF，

∴BC＝AF，

∴△ABC≌△EFA，

∴FE＝AB，

∴∠AEF＝∠BAC＝30°，

∴EF⊥AC，故①正確，

∵AD＝BD，

∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，

∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，

∴∠DFB＝∠EAF，

∵EF⊥AC，

∴∠AEF＝30°，

∴∠BDF＝∠AEF，

∴△DBF≌△EFA（AAS），

∴AE＝DF，

∵FE＝AB，

∴四邊形ADFE為平行四邊形，

∵AE≠EF，

∴四邊形ADFE不是菱形；

故②說法不正確；

【點評】本題考查了菱形的判定和性質，以及全等三角形的判定和性質，解決本題需先根據已知條件先判斷出一對全等三角形，然後按排除法來進行選擇．

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關鍵字: 菱形 線段 BD