我们说几何有"三宝”，勾股，相似和三角，勾股，主要利用直角三角形三边长列方程，公式带有平方，有时计算量大;相似与三角函数，依据边的比例关系列方程，计算相对简单，相似与三角函数本质上是一致的，只不过三角函数的计算须放在直角三角形中，相似没有这一限制条件，所以用途更广泛。三者相辅相成，在解综合题中，扮演者重要角色，同学们平时用心体会，寻找高效、简单的方法，熟练掌握这三大解题利器，下面着重介绍三角函数解学科综合题。
一.利用三角函数解与函数有关的综合题
1.如图，直线y=Kx一1与x轴，y轴分别交于B，C两点，tan∠OCB=1/2.
(1)求点B的坐标与K的值;
(2)若点A(x，y)是直线y=Kx一1上在第一象限内的一个动点，在点A的运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数解析式.
【分析】(1)由直线y=Kx一1与y轴交于C点，可得C点坐标为(0，一1)，∴OC=1，在Rt△OBC中，∵tan∠OCB=OB/OC=1/2，∴OB=1/2，∴点B的坐标为(1/2，0)，又点B在直线y=Kx一1上，∴可得K=2.
(2)由(1)知直线AB对应的解析式为y=2x一1，点A(x，y)在第一象限，∴S=y×OB/2=1/2×1/2(2x一1)=x/2一1/4(x>1/2).
2.已知二次函数y=ax²一2ax+c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP:PD=2:3.
(1)求A，B两点的坐标;
(2)若tan∠PDB=5/4，求这个二次函数的解析式.
【分析】(1)初看本题好象有两种情况，即顶点P可能在第三象限或第四象限，仔细观察发现对称轴x=一b/2a=一(一2a)/2a=1，则顶点P只能在第四象限，如图，
设对称轴与x轴交于E点，∴OE=1，易知OC∥PE∥BD，∴CP:PD=OE:EB=2:3，∴EB=3/2，(这里斜线段的比转化为水平线段之比，是一种"斜化直"策略，在有关坐标系，网格题，矩形题中常常用到，应仔细体会，后续的文章后会有这样的习题，同学们多留意一下)，则OB=OE+EB=5/2，∴B点坐标为(5/2，0)，∵A，B两点关于直线x=1对称，∴A点坐标为(一1/2，0).
(2)设直线CP与x轴交于点F，∵tan∠PDB=5/4，易知FB/BD=OF/OC=5/4，紧抓这一三角比，进行变换列方程，求出二次函数关系式中的系数a与c，则得解，如上图，二次函数与y轴交于C点，易知C点坐标为(0，c)，(c<0)，∴OC=一c，∵OF/OC=5/4，∴OF=一5c/4，∴F点的坐标为(5c/4，0)，∵直线CP过点C(c，0)，设直线CP的解析式为y=Kx+c，代入点F(5c/4，0)，得0=5/4×cK+c，由于c≠0，解得K=一4/5，∴直线CP的解析式为y=一4x/5+c，易知抛物线顶点P的坐标为(1，一a+c)，代入y=一4x/5+c得a=4/5，∴二次函数的解析式写为y=4x²/5一8x/5+c，将点A(一1/2，0)代入解得c=一1，∴二次函数的解析式为y=4x²/5一8x/5一1.
当然，本题也可这样做，如图，过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G，
这样作辅助线的好处是，可得CF=OB=5/2，从而利用tan∠PDB=CF/FD=5/4，得出FD=2，又可知C点坐标为(0，c)，P点坐标为(1，c一a)，从而得PG=a，∵PG∥BD，∴△CPG∽△CDF，∴PG/FD=CP/CD=2/5，∴PG=4/5，∴a=4/5，∴y=4x²/5一8x/5+c，把A(一1/2，0)的坐标代入y=4x²/5一8x/5+c，得c=一1，∴这个二次函数的解析式为y=4x²一8x/5一1.
上面的解法中，当得到PG=a时，可利用tan∠CPG=tan∠PDB=5/4，同样能得到a=4/5，(即CG/PG=5/4，因CG=OE=1)，省去计算FD的长，这里用三角函数与上边用相似计算a，本质上是一样的.
3.如图，反比例函数y=K/x(x>0)的图象经过线段OA的端点A，O为原点，过点A作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB=3/2.
(1)求K的值;
(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y=k/x(x>0)的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE对应的函数解析式;
(3)若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论，并说明理由.
【分析】(1)∵B点坐标为(2，0)，∴OB=2，又tan∠AOB=3/2，∴AB≈3，∴A点坐标为(2，3)，∴K=6.
(2)由于E为DC的中点，则E点纵坐标为3/2，代入y=6/x，得E点的横坐标为4，即E点的坐标为(4，3/2)，由于直线AE过A(2，3)，E(4，3/2)，易得直线AE的解析式为y=一3x/4+9/2.
(3)由于直线AE是确定的，所以N点，与M点是确定的，易得点M(6，0)，N(0，9/2)，又A，E两点确定，则AN，与ME的长度确定，如图
延长DA交y轴于点F，则AF=2，OF=3，∴NF=ON一OF=3/2，∴AN=5/2.∵CM=6一4=2，EC=3/2，∴EM=5/2，∴AN=ME.
另，如图，连接OE，延长DA交y轴于点F，如图，
则AF=2，又S△EOM=OM×EC/2=6×3/2×1/2=9/2，S△AON=ON×AF/2=9/2×2×1/2=9/2，∴S△EOM=S△AON，∵△AON中AN边上的高和△EOM中ME边上的高相等，∴AN=ME.
二.利用三角函数解与四边形有关的综合问题
4.在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F.
(1)如图①，若点E是AD的中点，求证△AEB≌△DEC.
(2)如图②，①求证BP=BF;
②当AD=25，且AE ③当BP=9时，求BE×EF的值. 【分析】(1)E是AD的中点，AE=DE，∠EAB=∠EDC=90°，AB=CD，∴△AEB≌△DEC. (2)①如图， 由题意知∠GPC=∠BPC，又PG∥BE，∠EFC=∠GPC，∴∠EFC=∠BPC，而∠EFC=∠PFB，∴∠BPC=∠PFB，∴BP=BF. ②要求cos∠PCB的值，需求∠PCB所在直角三角形的斜边与其邻直角边的长，当AD=25，且AE ③解法一:如图，连接GF. ∵BF∥PG，BF=PG，∴四边形BPGF是平行四边形，∴BP∥GF，BP=GF=9，易得△GEF∽△EAB，∴EF/GF=AB/BE，:BE×EF=AB×GF=12×9=108. 解法二，易证△EFC∽△BPC，∴EF/BP=CE/CB，又易征△AEB∽△EBC，∴AB/BE=CE/CB，∴AB/BE=EF/BP，∴BE×EF=AB×BP=12×9=108. 解法三，过点F作FH⊥BC于H，如下图 ∵S△BFC/S△BEC=BF/BE=9/BE，S△BFC/S△BEC=1/2FH×BC/1/2AB×BC=FH/12，∴9/BE=FH/12，又∠BCP=∠ECP，FH⊥BC，FE⊥CE，∴FH=EF，∴BE×EF=BE×FH=12×9=108. 【总结】从不同的角度，解决同一个问题，有助于提高同学们分析问题，解决问题的能力，同学们平时有意识地进行这方面的练习，总结归纳简捷高效的交法，在考试中才能游刃有余.
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