數學是我們瞭解宇宙的最有力的工具。但它是怎麼起源的以及如何發展起來的，卻至今仍是一個謎。
2017年去世的伊朗數學家瑪麗亞姆·米爾扎克哈尼，是第一位獲得數學領域最高獎——菲爾茲獎的女性。她形容研究數學 “就像是一個人迷失在叢林中，試圖用你所學到的一切，去找到一條出路”。
她雖然只活了40歲，但應該說是一位幸運兒，比大多數人在“數學叢林”裡都走得深，最後還摘取了數學上的桂冠。
越來越多的證據表明，人類似乎也是大自然的幸運兒，是唯一能穿越“數學叢林”的動物。但這種能力來自何方？為何會發展起來？發展起來是為了什麼目的？……要回答這些問題，不僅涉及到神經科學的一些熱門話題，還迫使我們不得不重新思考“什麼是數學？”“數學是發現還是發明？”等有關數學本質的問題。
上篇 數學的起源
通過“建模”與世界打交道
大自然是一個複雜多變、險象環生的處所，棲息地的變化、掠食動物的襲擊、食物的匱乏……一個有機體的生存取決於它感知周圍環境的能力。但不管是野牛估量獅群的數量和塊頭，以便做出戰鬥/逃跑的決定；還是椋鳥在空中時刻與鄰伴維持適當的距離，以便保持隊形；或者羊群循著水草豐茂的路線覓食……所有這一切活動，按倫敦大學神經學家卡爾·菲力斯頓的說法，都意味著在做數學。
“因為數學有一種簡單、節儉和對稱的性質，如果你把它當作一種語言，會比其他描述世界的方法更勝一籌。從海豚到黏菌，幾乎所有生命都能從數學上去理解這個世界，以便為自己的生存服務，” 他說。
現在不是有很多“建模”比賽嗎？為一個複雜過程，建立一個相對簡單的數學模型，然後輸入參數，看看不同情況下的運行結果。那麼，菲力斯頓的話其實意思就是：任何形式的生命都需要通過對其生存的環境進行“建模”，才能發揮作用。
菲力斯頓的這個看法可追溯到1970年代，當時控制論提出一項原則：為了提供有效的控制，一個機器人必須先對自己與環境的作用，建立一個數學模型，才能據此行動。此後的人工智能研究，差不多都遵循了這條原則。今天，人類能在人工智能領域取得這麼大的成就，也要歸功於這條原則。
既然機器人是通過“建模”與外部世界互動的，那麼一個合理的推測是：生物在某種程度上也是通過“建模”跟世界打交道的。
舉個例子。當一頭野牛注意到一頭獅子在逼近時，它就會本能地調動一個叫“逃跑/戰鬥”的決策機制，根據自己對獅子塊頭、距離遠近以及對自己力量的估計，決定是逃跑還是戰鬥。這個決策機制，從功能上說，可看作是一個數學模型，輸入“獅子塊頭”“距離”“自己的力量”等參數，輸出“逃跑”或“戰鬥”的結果。任何一項參數改變，都可能導致輸出結果不同。
發展出精確的數感為了糾正感官的偏差
既然是數學模型，當然就要對現實做些簡化，不可能面面俱到。尤其對於生命來說，當危險臨近時，迅速行動才是主要的，準確倒退居次要。譬如上述“逃跑/戰鬥”的模型中，考慮那三項因素大致就差不多了，至於“獅子毛色如何”，“天空會不會下雨”等因素，都可以不考慮。考慮因素太多，決策就慢下來，進而影響行動速度。
正是我們這種與世界打交道的方式，決定了我們的感官存在這樣那樣不盡人意的偏差。
以心理學上反映心理量和物理量之間關係的韋伯-費希納定律為例。這條定律說：我們辨別兩個感覺差別的能力，隨感覺強度的增加而減弱。比如用手提重物，你很容易區分1千克和2千克，但要辨別21千克和22千克，就不那麼容易了。對於亮度、音量等的辨別能力也同樣如此。
讓我們自豪的是，儘管人類和其他動物的感官都有著同樣的偏差，但人類已經發展出識別和糾正偏差的能力。最明顯的是，我們發明了數：這是一種符號系統，它讓我們立即判斷出（21與22）和（1與2）差距是一樣的。
與生俱來的是“數覺”還是“量覺”？
那麼，這種工具是怎麼發展起來的呢？
長期以來，一種觀點認為：我們天生就有一種對“數”的意識，就像我們天生就能意識到色彩一樣。1997年，法國心理學家德阿納提出一個假說，認為進化賦予人類和其他動物一種“數覺”，即立即覺察一堆物體數量的本能。譬如說，三顆紅色的珠子會產生數“3”的感覺，正如它們能產生“紅”的感覺。
支持這種本能觀點的證據很多。麻省理工學院的心理學家發現，6個月大的嬰兒已能在8個點和16個點的點陣之間做出區分。
還有研究顯示，人類本能上具有在空間上通過虛構一條“數字線”，來表示數的傾向。比如說，我報給你一串數，請你在紙上記下。儘管我並沒有吩咐你怎麼去記，但你還是會按小的在左，大的在右的方式寫下這些數，哪怕你是個左撇子也不例外。這是因為你在記數字時，會在紙面上不自覺地虛構一條“數字線”；在這條線上，數值從左到右要按從小到大的順序排列。這是一種本能。
甚至有證據表明，數覺在動物中也存在（見拓展閱讀“動物有數學本能嗎？”）。
所以，按本能論的觀點，我們天生具有“數覺”，隨後以此作為“種子”，經過幾千年文明的發揚光大，才有今天這麼龐大複雜的數學體系。
但不久，一些研究者對這些證據提出懷疑。例如他們說，嬰兒能把兩列點陣區別開來，也許依靠的不是它們在數量上的差別，而是基於其他屬性，比如點陣的空間位置分佈或覆蓋的面積等。這些線索涉及的是量，不是數；雖然量也跟數相關，但精確度上要差一些，不過因為比數更直觀，似乎更有可能被嬰兒利用。譬如兩堆球，判斷哪堆多哪堆少，總比說出每一堆的具體數目要更直觀，也更容易一些。
由此，出現了一個不同的假說：我們與生俱來的不是“數覺”，而是“量覺”，即感知事物的量（如大小、強度等）的能力。
對兒童更精確的測試似乎也傾向於支持這種觀點。例如，小於4歲的孩子不能理解5個橘子和5只西瓜有什麼共同點——都是5。對他們而言，5只西瓜僅僅意味著比5個橘子在“量”上更多。
此外，即使教幼兒數數的動作，也不能立即傳達數的意義，必須通過“量”的比較，他們才能掌握“數”的概念。這就怪不得幼兒園的老師教孩子數數，或者做加減運算，要輔以小木棍、小球之類的道具。
精確的數量感是文明發展的產物
如果我們接受後一種觀點，那麼，我們後來能產生精確的數量感，發明出數來精確地表示量，只能說是文明的產物了。
文化對數的認知影響之大，超乎我們的想象。以巴布亞新幾內亞的Yupno人為例。他們的語言雖然並不原始，卻連表示“一個比另一個大或小”的說法都沒有。Yupno並不是唯一擁有不強調數的語言的人。一項對189種澳大利亞原住民語言的研究，發現其中四分之三的語言中沒有表示大於3或4的數的詞彙。
這暗示，今天我們大多數人所擁有的精確的數量感，是文明發展到一定度的產物，當諸如農業和貿易等需要時，它才會出現。
甚至在我們自己當中，對數的認知也深受職業、教育等這類文化因素的影響。2016年，研究人員對15名專業數學家和15名非數學家學者的大腦進行了掃描。他們發現了一個涉及數學思維的腦區；當數學家思考代數、幾何和拓撲學問題時，這個腦區會被激活；但是當他們思考非數學問題時，這個腦區就不會活躍起來。而在其他學者中，不論思考數學問題還是非數學問題，這個腦區都不活躍。
這個結果表明，教育和職業所養成的習慣，已經深深改變了數學家們思考數學時的思維方式。文化的影響之巨，由此可見一斑。
文化是什麼時候把我們曾經的模糊本能（“量覺”）塑造成能精確識別數的能力（“精確的數量感”）的呢？確切時間目前還不清楚。人類處理數的最早證據來自南非萊邦博山脈的博德山洞。在那裡，考古學家們發現了年齡為4.4萬的有缺口的骨頭，其中包括狒狒的腓骨，上面刻有29個痕跡。人類學家認為，這些痕跡表明，這塊骨頭類似原始人的“賬目棒”，是用來輔助計數的。說明那個時候人類就已經學會有意識地用符號表達和操縱數目了。
公元前4千年左右，在底格里斯-幼發拉底河谷（現在伊拉克的一個地區），出現了美索不達米亞文明。在這種文明中，計數和測量達到了新的高度。這同樣跟文明的發展需要分不開。美索不達米亞人需要記錄天文曆法，丈量土地面積，衡量穀物收成，甚至記錄重量。然後隨著人類走向海洋，或者研究天空，我們開始發展導航和天文觀測所需要的數學。甚至到了現代，商業的需要也仍在推動數學的發展。譬如，一些最複雜的數學正是為華爾街的股票和債券交易而開發的。
拓展閱讀:動物有數學本能嗎？
關於人類是否天生具有“數覺”的爭論，讓持肯定意見的人經常轉向從動物方面尋求支持。如果我們的遠親能表現出一定的數學能力，那這就意味著我們自己對數的感覺也必定先於文化的發展。
一些動物個體被證明表現出非凡的數覺天賦。亞歷克斯，一隻經過訓練的非洲灰鸚鵡，在80%的時間裡能正確識別出2到6個物體的集合。Ai，日本靈長類動物學家訓練出來的一隻黑猩猩，能做同樣的事情。
但也有人爭辯說，這些動物並沒有掌握數的象徵意義。相反，它們只是在經過上千次的訓練之後，能通過聯想來學習數。這和我們訓練動物去做它們在野外做不到的事情沒什麼不同。比如在自然狀態下，讓大象戴著滑稽帽子一條腿站在凳上是不可想象的，而經過訓練再做這類事情，就沒什麼可稀奇的了。
但越來越多的證據表明，動物在自然狀態下也能表現出接近“數覺”的能力。20世紀90年代早期，有觀察證明，獅子能區分一頭獅子和三頭獅子的吼聲。在2017年2月的一次會議上，研究人員還報告說，一些青蛙在擇偶過程中，當聽到與之競爭的青蛙的叫聲時，會在叫聲數量上與競爭者一爭高低。
這些發現表明，動物確實有一種接近“數覺”的本能。換句話說，這種本能為人類和許多其他動物共同擁有。
下篇 數學的本質
“數學是大自然的語言”
目今，人類已經建立了一座巨大的數學金字塔。在過去5千年左右的時間裡，數學已經擴張到更加抽象的領域，似乎進一步脫離了周圍的現實世界和普通人的理解範圍。
然而，我們對宇宙的秘密瞭解越多，數學上的新發明就越能描述這些秘密。例如，當大衛·希爾伯特發展了一種高度抽象的代數來處理無窮多個維度而不是熟悉的空間三維時，沒有人能預見到這種代數能在量子力學中得到應用。但不久之後證明，希爾伯特的這套數學——即所謂的“希爾伯特空間”——是我們理解詭秘的量子世界的關鍵。
數學和物理之間這種普遍存在的聯繫，使我們想起幾個世紀前伽利略說過的一句話“數學是大自然的語言”。對今天從事自然科學研究的人來說，數學幾乎是一門必備的工具。甚至長期抵制數學的生物學，也在慢慢地屈服：人們已經見證了數學在基因組學或神經科學中的廣泛應用。比如，DNA雙螺旋結構的發現就與一個叫“傅里葉分析”的數學工具分不開。神經生物學則越來越依賴拓撲學、圖論等數學學科。
數學自身取得的輝煌成就以及它在現實中無所不在的應用，讓一些人產生一種“狂妄”的看法：數學是一切，一切皆數學；宇宙是一個數學結構，它只有數學性質。這種看法與古希臘畢達哥拉斯學派“一切皆數，數是萬物的本源”的神秘思想遙相呼應。
數學是發現還是發明？
歷史上，人們曾為“數學是發明還是發現？”發生過激烈的爭論。按“數學是一切”的觀點，數學顯然是“發現”而不是“發明”，因為它早已存在那兒，我們所做的只是發現而已。
但事情也許沒那麼簡單：當問及“數學是被髮明的還是被發現的？”的時候，人們往往有一種先入為主的前提，好像兩者是相互排斥的。如果你發明了它，你就不會是發現了它，如此等等。但這不是一個非此即彼的命題。
想想古希臘數學家歐幾里德編纂的《幾何原本》，它蒐集了古希臘所有的數學知識，並編纂了一條條几何定律。歐幾里德把他的工作建立在一系列公理之上。這些公理既不能證明，也不能證偽，我們只能說它們是“被髮明的”。其中最著名的一條就是“平行線公理”：兩條平行線永不相交。隨著時間的推移，從這些公理中衍生出很多的規則和關係，並被後人證明為定理。從某種意義上說，他們是“發現”了歐幾里德幾何學的景觀。
但是幾千年後，有數學家另起爐灶，決定採用新公理去發現新的幾何王國。這些新公理與歐幾里得的公理是矛盾的。例如，因德國數學家黎曼而得名的黎曼幾何，明確依賴於“平行線可以相交”這一思想。這個非正統的出發點把我們引向了一個廣闊的數學世界，愛因斯坦用其來闡述他的廣義相對論。
數學能否解釋自己的起源？
但是，不管我們從哪一套公理出發，數學可能不像我們所以為的那樣是一套完整的思想體系。對於這一點，我們要歸功於奧地利邏輯學家哥德爾的不完備性定理所提供的洞見。哥德爾證明，在任何形式的公理和定理體系裡，有一些既不能證明對，也不能證明錯的陳述。換句話說，有些問題數學可以問，但它永遠無法回答。像歐幾里得幾何中的“平行線永不相交”就是一例，歐幾里得幾何體系自身無法提供證明。我們只能說：“暫且假設它是對的，來看看會推出什麼結果……”
在這種情況下，我們說數學是普遍真理，或許還為時尚早。因為真理嘛，對的就是對的，不能說“假設它是對的”（比如上帝存在就說存在，不存在就說不存在，不能說“假設他存在”）。再者，人類迄今所建立的數學體系，也許不過是“數學叢林”的一個小角落，誰敢保證它就代表了宇宙整體呢？
當前，能不能完全用數學來描述意識，是數學面臨的一個非常大的挑戰。我們知道，數學本身就是人類意識的產物，現在反過來要用它去解釋意識，那就意味著要數學去解釋自己的起源。它能勝任嗎？ 如果能解釋，也就算了；如果不能，那麻煩就大了。因為既然連“大自然的語言”數學都解釋不了意識，那意識還能用什麼來解釋呢？或者反過來，迫使我們追問“難道數學真是大自然的語言嗎？”
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