動量梯度下降法（Gradient descent with Momentum）
還有一種算法叫做Momentum，或者叫做動量梯度下降法，運行速度幾乎總是快於標準的梯度下降算法，簡而言之，基本的想法就是計算梯度的指數加權平均數，並利用該梯度更新你的權重，在本筆記中，我們要一起拆解單句描述，看看你到底如何計算。
例如，如果你要優化成本函數，函數形狀如圖，紅點代表最小值的位置，假設你從這裡（藍色點）開始梯度下降法，如果進行梯度下降法的一次迭代，無論是batch或mini-batch下降法，也許會指向這裡，現在在橢圓的另一邊，計算下一步梯度下降，結果或許如此，然後再計算一步，再一步，計算下去，你會發現梯度下降法要很多計算步驟對吧？
慢慢擺動到最小值，這種上下波動減慢了梯度下降法的速度，你就無法使用更大的學習率，如果你要用較大的學習率（紫色箭頭），結果可能會偏離函數的範圍，為了避免擺動過大，你要用一個較小的學習率。
另一個看待問題的角度是，在縱軸上，你希望學習慢一點，因為你不想要這些擺動，但是在橫軸上，你希望加快學習 ，你希望快速從左向右移，移向最小值，移向紅點。
所以使用動量梯度下降法，你需要做的是，在每次迭代中，確切來說在第t次迭代的過程中，你會計算微分dW，db，我會省略上標[l]，你用現有的mini-batch計算dW，db。
如果你用batch梯度下降法，現在的mini-batch就是全部的batch，對於batch梯度下降法的效果是一樣的。如果現有的mini-batch就是整個訓練集，效果也不錯，你要做的是計算v_dW=βv_dW+(1-β)dW，這跟我們之前的計算相似，也就是v=βv+(1-β) θ_t，dW的移動平均數，接著同樣地計算v_db，v_db=βv_db+(1-β)db，然後重新賦值權重，W:=W-av_dW，同樣b:=b-av_db，這樣就可以減緩梯度下降的幅度。
例如，在上幾個導數中，
你會發現這些縱軸上的擺動平均值接近於零，所以在縱軸方向，你希望放慢一點，平均過程中，正負數相互抵消，所以平均值接近於零。
但在橫軸方向，所有的微分都指向橫軸方向，因此橫軸方向的平均值仍然較大，因此用算法幾次迭代後，你發現動量梯度下降法，最終縱軸方向的擺動變小了，橫軸方向運動更快，因此你的算法走了一條更加直接的路徑，在抵達最小值的路上減少了擺動。
動量梯度下降法的一個本質，這對有些人而不是所有人有效，就是如果你要最小化碗狀函數，這是碗的形狀，我畫的不太好。
它們能夠最小化碗狀函數，這些微分項，想象它們為你從山上往下滾的一個球，提供了加速度，Momentum項相當於速度。
想象你有一個碗，你拿一個球，微分項給了這個球一個加速度，此時球正向山下滾，球因為加速度越滾越快，而因為β 稍小於1，表現出一些摩擦力，所以球不會無限加速下去，所以不像梯度下降法，每一步都獨立於之前的步驟，你的球可以向下滾，獲得動量，可以從碗向下加速獲得動量。我發現這個球從碗滾下的比喻，物理能力強的人接受得比較好，但不是所有人都能接受，如果球從碗中滾下這個比喻，你理解不了，別擔心。
最後我們來看具體如何計算，算法在此。
所以你有兩個超參數，學習率a以及參數β，β控制著指數加權平均數。
β最常用的值是0.9，我們之前平均了過去十天的溫度，所以現在平均了前十次迭代的梯度。
實際上β為0.9時，效果不錯，你可以嘗試不同的值，可以做一些超參數的研究，不過0.9是很棒的魯棒數(系統穩定性)。
那麼關於偏差修正，所以你要拿v_dW和v_db除以1-β^t，實際上人們不這麼做，因為10次迭代之後，因為你的移動平均已經過了初始階段。
實際中，在使用梯度下降法或動量梯度下降法時，人們不會受到偏差修正的困擾。當然v_dW初始值是0，要注意到這是和dW擁有相同維數的零矩陣，也就是跟W擁有相同的維數，v_db的初始值也是向量零，所以和db擁有相同的維數，也就是和b是同一維數。
最後要說一點，如果你查閱了動量梯度下降法相關資料，你經常會看到一個被刪除了的專業詞彙，1-β被刪除了，最後得到的是v_dW=βv_dW+dW。
用紫色版本的結果就是，所以v_dW縮小了1-β倍，相當於乘以1/(1-β)，所以你要用梯度下降最新值的話，a要根據1/(1-β)相應變化。實際上，二者效果都不錯，只會影響到學習率a的最佳值。
我覺得這個公式用起來沒有那麼自然，因為有一個影響，如果你最後要調整超參數β，就會影響到v_dW和v_db，你也許還要修改學習率a，所以我更喜歡左邊的公式，而不是刪去了1-β的這個公式，所以我更傾向於使用左邊的公式，也就是有1-β的這個公式，但是兩個公式都將β設置為0.9，是超參數的常見選擇，只是在這兩個公式中，學習率a的調整會有所不同。
所以這就是動量梯度下降法，這個算法肯定要好於沒有Momentum的梯度下降算法，我們還可以做別的事情來加快學習算法，我們將在接下來的筆記裡探討這些問題。
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