我們在解答相似的習題時，往往會遇到要證的問題與相似三角形聯繫不上或者說圖中根本不存在相似三角形的情況，這時"作平行線構造相似三角形”是解決這類幾何證明題的一種重要的方法.常見的情況有:(1)由比例式作平行線;(2)有中點時，作中位線;(3)根據比例式，構造相似三角形.
技巧一.巧連線段的中點構造相似三角形
1.如圖，在△ABC中，E，F是邊BC的兩個三等分點，D是AC的中點，BD分別交AE，AF於點P，Q.求BP:PQ:QD.
【分析】條件，D是AC的中點，E、F是邊BC的兩個三等分點，所以連接D，F兩點，一方面，DF是△AEC的中位線，另一方面，得到△APQ∽△FDQ，所以DF這條輔助線很重要，同時我們看到PE是△BFD的中位線，則DF=2PE，AE=2DF，線段PE，AE在同一條線上，又通過DF聯繫起來，則AE=4PE，或設PE=K，則DF=2K，則AE=4K，AP=3K，∴AP/DF=PQ/QD=3K:2K=3:2，而PE是△BFD的中位線，∴BP=PQ+QD，∴BP:PQ:QD=5:3:2.如圖.
另外，由於E，F為邊BC的三等分點，想到平行線分線段成比例，所以過E，F分別作EM∥BD，交DC於M，FN∥BD，交DC於N，則BD∥EM∥FN，如圖
則，DM:MN:NC=1:1:1，由於D為AC的中點，∴QD:FN=AD:AN=3:5，PD:EM=AD:AM=3:4，而FN是△CME的中位線，EM=2FN，設FN=m，EM=2m，則QD=3m/5，則PD=3m/2，PQ=PD一QD=3m/2一3m/5=9m/10，而BD:FN=DC:NC=3，則BD=3m，∴BP=BD一PD=3m一3m/2=3m/2，∴BP:PQ:QD=(3m/2):(9m/10):(3m/5)=5:3:2.
技巧二.過頂點作平行線構造相似三角形
2.如圖，在△ABC中，AC=BC，F為底邊AB上一點，BF:AF=3:2，取CF的中點D，連接AD並延長交BC於點E，求BE/CE的值
【分析】BF:AF=3:2，與要求的BE/CE連不上關係，那麼在不拆BE和CE的條件下，利用平行線進行比的轉換，由於D為CF的中點，則過點C作CM∥AB交AE的延長線於M，如圖
則可證△ADF≌△MDC，∴AF=CM，由於CM∥AB，∴BE/CE=AB/CM=AB/AF，∵BF:AF=3:2，所以AB:AF=5:2，∴BE/CE=5:2=5/2.
另，過F作FM∥BC，交AD於M，則可證△ADE≌△FDM，∴CE=MF，又BE/MF=AB/AF=5:2，∴BE:CE=5:2=5/2.
另，過B點作BM∥AE，交DF的延長線於M，如圖
則BE/CE=MD/CD，而MF/DF=FB/AF=3/2，∴MF=3DF/2，設DF=CD=m，則MF=3m/2，∴MD=MF+DF=3m/2+m=5m/2，∴BE/CE=MD/CD=5m/2:m=5/2.
另，過A作AM∥BC，交DF的延長線於M，如圖
則AM/CB=MD/CD，AM/CB=AF/FB=2/3=MF/CF，設MF=2m，則CF=3m，則CD=DF=1.5m，∴CB/CE=(MD×CF)/(CD×MF)=(DF+MF)×CF/CD×MF=(1.5m+2m)×3m/1.5m×2m=7/2，∴(CB一CE)/CE=(7一2)/2=5/2.
另，並不是BE線段不可拆，過點F作FM∥AE，交BC於M，如圖
則FB/AF=MB/EM=3/2，(MB+EM)/EM=(3+2)/2=5/2，由於D是CF的中點，∴CE=EM，而MB+EM=BE，∴BE/CE=5/2.
技巧三.過一邊上的點作平行線構造相似三角形
3.如圖，在△ABC中，AB>AC，在邊AB上取一點D，在AC上取一點E，使AD=AE，直線DE和BC的延長線交於點P，求證:BP/CP=BD/EC.
【分析】由於要證BP/CP=?，一般不破壞線段的情況下，可過C點作與BP鄰邊的平行線，再充分利用AD=AE這一條件，看能否證出.過C作CM∥AB交DP於M，如圖
則△BPD∽△CPM，∴BP/CP=BD/CM，而CM∥AB，∠1=∠2，又∠3=∠4，由於AD=AE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠4，∴EC=CM，∴BP/CP=BD/EC.同樣過C點作CM∥DP交AB於M，也可證出如圖，同學們自己證一下.
技巧四.過一點作平行線構造相似三角形
4.如圖，在△ABC中，M為AC的中點，點E為AB上一點，且AE=AB/4，連接EM並延長交BC的線長線於D，求證BC=2CD.
【分析】欲證BC=2CD，也即CD/BC=1/2，過C點作CF∥BE交ED於F，則△DCF∽△DEB，如圖
∴CD/BD=CF/BE，∵M為AC的中點，易證△AEM≌△CFM，∴CF=AE=AB/4，∴CF=AE=BE/3，∴CD/BD=CF/BE=1/3，∴CD/BC=1/2，即BC=2CD.
另，過C點作CF∥DE交AB於F，如圖
【分析】由CF∥DE，可得BC/BD=BF/BE，而M為AC的中點，則可得AE=EF，又AE=AB/4，∴BC/BD=BF/BE=2/3，∴BC/(BD一BC)=2/(3一2)，即BC/CD=2，∴BC=2CD.
另，過E作EF∥BD交AC於F，如圖
【分析】由於EF∥BD，則可得EF/BC=AF/AC=AE/AB=1/4，而M為AC的中點，AF=FM，∴EF/CD=FM/CM=1/2，即EF=CD/2，由EF/BC=1/4，可得BC=2CD.
另，過A作AF∥BD交DE的延長線於F，如圖
【分析】
∵AE=AB/4，∴AE/BE=1/3，由AF∥BD，可得AF/BD=AE/BE=1/3，而M是AC的中點，可證△AMF≌△CMD，∴AF=CD，∴CD/BD=1/3，則CD/BC=1/2，∴BC=2CD.
另，過A點作AF∥ED，交BD的延長線F，
【分析】由於M為AC的中點，∴D為CF的中點，即CD=DF，又BE/AB=BD/BF=3/4，∴BD/(BF一BD)=3/(4一3)，即BD/DF=3，也就是BD/CD=3，則BC=2CD.
【總結】作平行線構造相似三角形，是常用的方法，通過一題多解，體會輔助線的好處，以及怎樣作輔助線解題更簡潔，同時體會有些比例關係不明朗時，可設未知數表示線段，使比例關係明朗，清晰.
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