相似三角形與函數的綜合題綜合性較強，是中考壓軸題之一，解題時常運到方程思想，分類思想進行解答.
一.相似三角形與一次函數的綜合
1.如圖，在平面直角座標系中，直線y=一x+3與x軸交於點C，與直線AD交於點A(4/3，5/3)，點D的座標為(0，1).
(1)求直線AD對應的函數解析式;
(2)直線AD與x軸交於點B，若點E是直線AD上一動點(不與點B重合)，當△BOD與△BCE相似時，求點E的座標.
【分析】(1)由A，D兩點利用待定係數法可求直線AD對應的函數解析式為y=x/2+1.
(2)首先△BOD是直角三角形，要使△BCE與△BOD相似，則△BCE必是直角三角形，而∠B共用，所以可分∠BEC與∠BCE兩種情況討論，如圖
由(1)知直線AD的解析式為y=x/2+1，∴可得B點座標為(一2，0)，由於直線AC的解析式為y=一x+3，∴可得C點座標為(3，0)，∴BC=5，設E點座標為(x，x/2+1)，
①當E1C⊥BC時，△BOD∽△E1BC，此時點C和點E1橫座標相同，將x=3代入y=x/2+1，解得y=5/2，∴E1(3，5/2).
②當CE2⊥AD時，△BOD∽△BE2C，過點E2作E2F⊥x軸於點F，易知∠E2BF=∠CE2F，∴.△E2BF∽△CE2F，∴E2F/BF=CF/E2F，即E2F²=CF×BF，∴(x/2+1)²=(3一x)(x+2)，解得x1=2，x2=一2(捨去)，∴E2(2，2).
綜上所述，點E座標為(3，5/2)或(2，2)
2.如圖，在平面直角座標系中，A(0，6)，B(8，0)，動點P從A點開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P，Q移動的時間為t(s).
(1)求直線AB對應的函數解析式;
(2)當t為何值時，△APQ與△AOB相似？
【分析】(1)設出直線AB的函數解析式y=Kx+b，用待定係數法可求出，為y=一3x/4+6.
(2)由於∠BAO是△APQ和△AOB的公共角，所以AP，AQ和AO，AB，對應邊的比有兩種情況，分類求出t的值.由AO=6，BO=8，可得AB=10，則AP=t，AQ=10一2t，如圖，
①如圖①，當AP/AO=AQ/AB時，△APQ∽△AOB，∴t/6=(10一2t)/10，解得t=30/11.
②如圖②，當AP/AB=AQ/AO時，△AQP∽△AOB，∴t/10=(10一2t)/6，解得t=50/13.
綜上可得，當t=30/11或50/13時，△APQ與△AOB相似.
二.相似三角形與二次函數的綜合
3.如圖，直線y=2x+2與x軸交於點A，與y軸交於點B，把△AOB沿y軸翻折，點A落到點C，過點B的拋物線y=一x²+bx+C與直線BC交於點D(3，一4).
(1)求直線BD和拋物線對應的函數解析式.
(2)在第一象限內的拋物線上，是否存在一點M，作MN垂直於x軸，垂足為點N，使得以M，O，N為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點M的座標;若不存在，說明理由.
【分析】(1)由直線y=2x+2與y軸交於B點，可得B點座標為(0，2)，與X軸交於A點，可得A點座標為(一1，0)，又C點與A點關於y軸對稱，可得C點座標為(1，0)，又D點座標為(3，一4)∴可得直線BD的解析式為y=一2x+2，把B(0，2)，D(一3，4)代入y=一x²+bx+c，可得拋物線對應的函數解析式為y=一x²+x+2.
(2)由於M點在第一象限，且MN⊥x軸於N，∴△MON與△BOC相似有兩種情況，如圖
①如圖①，當△MON∽△BCO時，ON/OC=MN/OB，即ON/1=MN/2，∴MN=2ON，設ON=a，則MN=2a，∴M點座標為(a，2a)，代入拋物線解析式，得一a²+a+2=2a，解得a1=一2(不合題意，捨去)，a2=1，∴M(1，2).
②如圖②，當△MON∽△CBO時，ON/OB=MN/OC，即ON/2=MN/1，∴MN=ON/2，設ON=b，MN=b/2，∴M點座標為(b，b/2)，代入拋物線的解析式得，一b²+b+2=b/2，解得b1=1/4一√33/4(不合題意，捨去)，b2=1/4十√33/4，∴M(1/4十√33/4，1/8+√33/8)，所以存在這樣的點M(1，2)或(1/4+√33/4，1/8+√33/8).
4.如圖所示，已知點A(一2，4)和點B(1，0)都在拋物線y=mx²+2mx+n上.
(1)求m，n;
(2)向右平移拋物線，記平移後點A的對應點為A'，點B的對應點為B'，若四邊形AA'B'B為菱形，求平移後拋物線的表達式;
(3)記平移後拋物線的對稱軸與直線AB'的交點為C，試在x軸上找一D，使得以點B'、C、D為頂點的三角形與△ABC相似.
【分析】(1)將A(一2，4)和B(1，0)代入拋物線解析式y=mx²+2mx+n，得出m=一4/3，n=4.
(2)由於四邊形AA'B'B是菱形，則AA'=BB'=AB=5，由拋物線解析式y=一4x²/3一8/3x+4=一4/3(x+1)²+16/3，∴向右平移5個單位的拋物線解析式為y'=一4/3(x一4)²+16/3.
(3)設D(x，0)，依題意得，C(4，1)，AB=5，AC=3√5，BC=√10，B'C=√5，∵∠A=∠BB'A，所以分兩種情況，如圖，
①△ABC∽△B'CD時，記D為D1，∠ABC=∠B'CD1，B'D=6一x，由AB/B'C=AC/B'D，得5/√5=3√5/(6一x)，解得x=3，∴D1(3，0).
②△ABC∽△B'DC時，記D為D2，AB/B'D=AC/B'C，5/(6一x)=3√5/√5，解得x=13/3，∴D2(13/3，0).
綜上所知，D點座標為(3，0)或(13/3，0).
三.相似三角形與反比例函數的綜合
5.如圖，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸上，點B的座標為(2，3)，雙曲線y=K/x(x>0)經過BC的中點D，且與AB交於點E，連接DE.
(1)求K的值及點E的座標;
(2)若點F是OC邊上一點，且△FBC∽△DEB，求直線FB對應的函數解析式.
【分析】(1)由B點座標(2，3)可知D點座標為(1，3)，∴K=1×3=3，則雙曲線解析式為y=3/x，∵E在AB上，∴其橫座標為2，又E在雙曲線上，∴可得縱標為3/2，∴E點座標為(2，3/2).
(2)由於D是BC的中點，可知BD=1，又可知BE=AB一AE=3一3/2=3/2，CB=2，∵△FBC∽△DEB，∴BD/CF=BE/CB，∴CF=4/3，∴OF=5/3，∴F點座標為(0，5/3)，則可求FB的解析式為y=2x/3+5/3.
6.如圖，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分別以OA，OC所在直線為x軸，y軸建立平面直角座標系，D是BC上的一個動點(不與C，B重合)，反比例函數y=K/x(K>0)的圖象經過點D，且與邊BA交於點E，連接DE.
(1)連接OE，若△EOA的面積是2，則K的值是多少？
(2)連接CA，DE與CA是否平行？說明理由.
(3)是否存在點D，使得點B關於DE的對稱點在OC上？若存在，求出點D的座標;若不存在，說明理由.
【分析】(1)由△EOA的面積為2，∴|K|/2=2，∴K=±4，又∵K>0，∴K=4.
(2)如圖，要分析DE是否與CA平行，從條件看，用相似合理，況且由於D，E兩點都在雙曲線上，K相等，從圖看，CD×AB=OA(或BC)×AE=|K|，即CD:BC=AE/AB，為相似提供了條件(這一點同學們一定要牢記).
設D點座標為(K/5，5)，E點座標為(3，K/3)，則CD:CB=K/5:3=K:15，AE:AB=K/3:5=K:15，∴CD:CB=AE:AB，∴BD:CB=BE:AB，又∠DBE=∠CBA，∴△BDE∽△BCA，∴∠BDE=∠BCA，∴DE∥AC.
(3)假設存在點D，使得點B關於DE的對稱點F在OC上，過E點作EG⊥OC於G，如圖
出現了K型圖，易知△CDF∽△GFE，此時FD=BD，EF=BE，設D點座標為(K/5，5)，E點座標為(3，K/3)，由(2)知，CA∥DE，BD:CD=BE:AE，∴BD:BE=CD:AE=3:5，設CD=3t，AE=5t，而△CDF∽∴GFE，∴CD:GF=DF:EF=CF:GE=BD:BE=3:5，∴可得GF=5CD/3=15t/3，CF=3GE/5=9/5，∴GF+CF+OG=15t/3+9/5+5t=5，解得t=8/25，∴CD=3t=24/25，這樣通過建立方程求出CD，說明存在符合條件的D點，D點座標為(24/25，5).
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