讀者們也許注意到了， 我們前面各節所介紹的有關零點分佈的解析結果沿襲著一條共同的思路， 那就是儘可能地 “抓捕” 位於臨界線上的零點。
從波爾-蘭道定理確立臨界線是零點分佈的匯聚中心， 到哈代定理確立臨界線上有無窮多個零點， 到哈代-李特爾伍德定理確定該 “無窮多” 最起碼的增長方式， 到各種臨界線定理確定臨界線上零點比例的下界， 到有關單零點的類似結果， 再到 ξ(s) 及各階導數在臨界線上零點比例的下界…… 所有這些努力， 都是在試圖 “抓捕” 臨界線上的非平凡零點， 或與之有關的性質。
（玻爾（左）與普朗克在一起。圖片來自網絡）
這樣的思路當然是非常合理的， 因為 Riemann 猜想所 “猜想” 的正是所有的非平凡零點都位於臨界線上。 如果我們能在臨界線上把所有的零點一一 “抓捕歸案”， 自然也就證明了 黎曼猜想。
但是， 正如我們在這個漫長系列中所看到的， “抓捕” 零點是一件極其困難的事情， 這麼多年來， 經過這麼多數學家的持續努力， 我們在臨界線上 “抓捕” 到的零點數目還不到總數的一半。 在這種情況下， 我們不妨換一個角度來思考問題： 既然我們還無法證明所有的零點都位於臨界線上， 那何不先試著排除掉某些區域呢？ 排除掉的區域越多， 零點可以遁形的地方也就越少， 這就好比是偵探在尋找罪犯時把無關的人員排除得越乾淨， 就越有利於鎖定罪犯。
如果我們可以把臨界線以外的所有區域——即 Re(s)<1/2 與 Re(s)>1/2——全部排除掉， 也同樣就證明了 Riemann 猜想。
遺憾的是， 數學家們在這方面所獲得的進展比直接捕捉零點還要少得多， 簡直可以說是少得可憐。 從排除區域的角度上講， 最先被排除掉的是 Re(s)<0 及 Re(s)>1， 這是非常簡單的結果。 接著被排除掉的是 Re(s)=0 及 Re(s)=1， 這是非常困難的結果， 它直接導致了素數定理的證明， 臨界帶的概念也由此產生。
這些結果距今都已經超過一百年了， 那麼在時隔一百多年之後， 我們是否有能力把這類結果再推進一點， 比方說把臨界帶的右側邊界由 Re(s)=1 向左平移為 Re(s)=1-ε (ε>0)， 從而把 Re(s)≥1-ε 的區域排除掉呢？
不幸的是， 我們迄今還沒有這個能力。 無論把 ε 取得多小， 一百多年來也始終沒有人能夠把 Re(s)≥1-ε 的區域排除掉。 迄今為止， 數學家們所能證明的只有諸如臨界帶之內曲線 Re(s)=1-c/ln[|Im(s)|+2] (c>0) 右側的區域內沒有非平凡零點之類的結果。 由於曲線 Re(s)=1-c/ln[|Im(s)|+2] 在 Im(s)→∞ 時無限逼近於 Re(s)=1， 因此我們無法利用這一結果將臨界帶的右側邊界向左平移哪怕最細微的一丁點。
（摘自《黎曼猜想漫談：一場攀登數學高峰的天才盛宴》，作者：盧昌海）
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