張景中院士
編者注：本文選自張景中院士《數學傳奇》第27-30篇，該書出版於1982年（中國少年兒童出版社），不到100頁，深入淺出地介紹了初等數學中一些有趣的問題，通俗易懂又發人深省。自1980年代以來，張景中先生就致力於面向中小學生的數學科普，並取得了非凡的成就，除了本書，他的《數學家的眼光》也深受讀者喜愛，包括國際幾何大師陳省身在內的大數學家對此都有高度評價。前些天有讀者留言問起，是否有適合中小學生看的優秀的數學普及讀物，張景中院士的作品，就是一個很好的選擇。
猴子分桃子
這裡有一大堆桃子。這是5個猴子的公共財產。它們要平均分配。
第一隻猴子來了。它左等右等，別的猴子都不來，便動手把桃子均分成5堆，還剩了1個。它覺得自己辛苦了，當之無愧地把這1個無法分配的桃子吃掉，又拿走了5堆中的1堆。
第二隻猴子來了。它不知道剛才發生的情況，又把桃子均分成5堆，可還是多了1個。它吃了這1個，拿1堆走了。
以後，每個猴子來了，都是如此辦理。
請問：原來至少有多少桃子？最後至少剩多少桃子？
據說，這個問題是由英國物理學家、諾貝爾物理學獎得主狄拉克提出來的。1979年春天，美籍物理學家李政道，在跟中國科學技術大學少年班同學座談時，也向他們提出過這個題目。當時，誰也沒有能夠當場作出回答，可見這個題目有點難。
知難而進。你能解這個題目嗎？
動腦又動手
做數學題目，光憑腦子想，是不容易找到方法和得到結果的。
好。我們一起來動手寫寫算算吧。
設原有桃x個，最後剩下y個。那麼，每一隻猴子連吃帶拿，得到了多少桃子呢?
第一隻猴子吃了1個，又拿走了剩下的(x-1)個的1/5，一共得到
它走了，這裡留下的桃子還有
第二隻猴子連吃帶拿，得到了桃子
當第三個猴子來到時，這裡還有桃子
也就是又從原數中減1、再乘4/5。
現在，我們找到解題的思路了：每來一隻猴子，桃子的數目就來個變化——減1、再乘4/5。所以，當第五隻猴子來過後，我們已對x進行5次這樣的減1、乘4/5的操作了。
注意:在寫的時候，每減1之後，要添個括號，再乘4/5。這樣5次之後，便得到了又y。所以，我們有
這一堆符號，可真叫人眼花繚亂。要是你耐著性子，一步一步整理，應當得到
這樣的一個等式，也就是
從這個式子裡，我們不能斷定x和y是多少[就中小學生而言，情況如此，稍後我們會介紹這類方程如何求解]。不過，因為x和y都是正整數，而4的4次方與5的4次方互素，所以5的5次方整除x+4,這樣我們就可以算出x至少是
類似的，4的5次方整出y+4，所以y至少是
方法靠人找
要是你問這個五猴分桃，有沒有簡單一點的算法呢？回答是，有。
狄拉克本人，就提出過一個簡單的巧妙解法。據說數學家懷德海，也提出了一個類似的解法。[我們將在稍後介紹]
奇怪的是:狄拉克和懷德海都沒有想到，這個問題還有一個十分簡單的解法。它只用到一點算術知識，是小學生也能算出來的。
這個筒單的解法，它的思路是從前面兒子分羊（見張景中《數學傳奇》第15篇，聰明的鄰居）來的，又是先借後還！
桃子不是分不勻，總要剩下1個嗎？問題的麻煩，就是因為多了1個桃子。
好。你來扮演一個助猴為樂的角色，借給猴子4個桃，這不就可以均分成5堆了嘛。反正最後還剩一大堆，你拿得回來的。
現在，讓5只猴子再分一次。桃子雖然多了4個，可是第一個猴子並沒有從中撈到便宜。因為這時桃子正好可以均分成5堆，它拿到的1堆，恰巧等於剛才你沒有借給它們4個桃子時，它連吃帶拿的數目。
這樣，當第二隻猴子到來時，桃子的數目，還是比你沒借給它們時多了4個，又正好均分成5堆。所以，第二個猴子得到的桃子，也不多不少，和原來連吃帶拿一樣多。
第三、第四、第五隻猴子到來時，情況也是這樣。
5個猴子，每一個都恰好拿走當時桃子總數的1/5，剩下4/5；而開始的時候桃子的數目是x+4(加上了你借給它們的4個)。這樣，到了最後便剩下，
個桃子，這比剩下的y個多4個。所以得到
跟剛才的結論一樣。
同樣的結論，可是得來全不費工夫！
問個為什麼
題目做出來了。你不妨再想一想：這一借一還究竟是怎麼回事呢？為什麼一下子就把問題簡化了呢？
關鍵在於，猴子每來一次，桃子的數目發生了什麼變化？
在你沒有錯給它們4個桃子的時候，那情況是:每來一隻猴子之後，桃子數就減1、再乘4/5，來5個猴子之後，就等於對x進行5次減1、乘4/5。
你看，減1乘4/5，再減1、乘4/5，再減1乘4/5，再減1、乘4/5，再減1、乘4/5，這一串運算多麻煩。
要是你先借出4個桃子，使每一個猴子來拿走1/5，然後你再把4個桃子拿回來，結果，和前面的計算結果完全一樣。這個過程，相當於對桃子數目加4、乘4/5、再減4。也就是說：減1、乘4/5，相當於加4、乘4/5、再減4。用字母表示，就是
不信，你算一算，兩邊確實是恆等的。
這樣看來，猴子每來一次，桃子數的變化有兩種計算方法:一種是減1、乘4/5，另一種是加4、乘4/5、再減4。後一種計算方法是三步，看起來好象更麻煩了。其實，多次連續進行計算就顯出它的優越性來了。你看：
加4、乘4/5、減4；加4、乘4/5、減4；加4、乘4/5、減4；加4、乘4/5、減4；加4、乘4/5、減4。
這中間有四次減4、加4，互相抵消，加4、乘4/5、減4；加4、乘4/5、減4；加4、乘4/5、減4；加4、乘4/5、減4；加4、乘4/5、減4。
總效果是：
加4、乘4/5、乘4/5、乘4/5、乘4/5、乘4/5、減4。
這是一個很好算的過程，那結果可以一下子寫出來：
像這樣把一個運算過程，變成另一個形變而值不變的運算過程，在數學上叫做等價方法。
思考題
1. 設有m個桃子，k只猴子，每個猴子來到之後，把桃子分成k堆，還剩下r個，它吃掉r個之後，又拿走了一堆。這樣k個猴子都來了之後，至少還有多少桃子？
2. 桌子上有一壺涼開水，其中放了50克糖。一個孩子跑來，把糖水倒出一半喝掉，添上30克糖，加滿水，和勻，走了。這樣來過5個孩子之後，壺裡還有多少糖？來過很多孩子之後，壺裡的糖能增加到100克嗎？
張景中院士在文中介紹了五猴分桃問題的兩個解法，我們在後面補充兩個解法，它們沒有本質的不同，但觀點有差別，側重點也有所不同，僅供讀者交流探討，相信讀者們也能給出其他不同的方法。
——林開亮
附其他兩種解法
解法一
這個解法摘譯自哈爾莫斯的一篇通俗文章（全文將發表在丘成桐教授主編的“數學與人文”叢書某一期），譯者是中國傳媒大學的陳見柯教授。
狄拉克
狄拉克的解法可以稱之為特徵向量法或不動點法，如下：
假定桃子的個數為x，考慮任一猴子處理完桃子之後，剩下的桃子數量S(x)。 這個公式相對簡單，即
我們稱整數x是一個解，如果用算子S操作5次以後的數為正整數。換言之，我們要找滿足上述條件的最小正整數解。
注意到
我們有
因此
對一切x和y都成立。這意味著如果x和y都是解，則x和y模5的5次方同餘（即，x與y的差被5的5次方整除）。反之，若x是一個解，並且y跟x模5的5次方同餘，則y也是一個解。
最容易想到的解，應該是對應於特徵方程
的特徵向量，其解為
因此最小的正整數解為
注意：不變量（不動點、特徵值、特徵向量）的概念，或許是數學基本元素之一。
解法二
回到最開始的方程，那裡要求解方程
的正整數解，這是兩個未知數x,y的一次方程。我們將它化成標準形式，即得
回想起這方程的如何來的，可以發現，實際上我們選取中間一步得到的方程
來觀察更可取。這意味著
是方程的一個特解，要得出方程的所有解，只需要考察對應的齊次方程
由於這兩個係數1024與3125互素，所以容易得到，該齊次方程的通解為
其中k為任意的整數。從而原方程的通解為：
其中k為任意的整數。特別地，為得到最小正整數解，只需要令k=1，這就得到
此題之前我們在靈機一動第14期也出過，點擊 靈機一動 | 題友解答之“五猴分桃”查看題友們的解法。
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