卡塔蘭猜想
有關整數的一些規律常常是有趣而迷人的. 即使是小學水平的初等計算背後也可能隱藏著驚人的奧秘。我們做了一個數字遊戲：將 n^m , n,m = 2,3,4,5,6按從小到大的順序排列起來：
4, 8, 9 16, 25, 27, 36, 49, 64, 81, 100, ······
容易發現除了 2^3 = 8 和 3^2 = 9 之間的差距為 1 之外，再也沒有差距為 1 的了。作為一個小數學遊戲，我們用計算機測試了 1000000 以內的數字，也沒有遇到差距為 1 的情況。
對於 2^3 = 8 以及 3^2 = 9, 大家都司空見慣習以為常了, 然而就是在這個習以為常的兩個數字背後，竟然暗藏著一個驚人的奧秘！在 1844 年, 比利時數學家卡塔蘭 (Eugène Charles Catalan) 卻據此作出了一個大膽的猜想: 除了上述的 8 和9 分別為正整數的方冪外, 再也沒有其它兩個連續的數也分別都是正整數的方冪了. 當然, 這裡所指的方冪均大於 1. 這就是著名的卡塔蘭猜想或者稱為卡塔蘭問題. 如果使用方程的語言, 則卡塔蘭猜想相當於
卡塔蘭方程可以分為下面三種情況：
在卡塔蘭猜想公佈六年之後，數學家 V.A. Lebesgue 就證明了第一種情況。不過這裡的 V.A. Lebesgue 可不是 20 世紀初發展測度論和積分的 H.Lebesgue, (1875-1941)，而是一個名氣稍小的一個數學家。第二種情況要難得多，直到 1962 年, 才被我國著名數學家柯召 (1910.4.12-2002.11.8) 證明. 更確切地說，柯召證明了第二種情況只有一組解 x = 3,y = 2,n = 3，而第一種情況沒有正整數解, 從而解決了在兩個正整數方冪中有一個是平方數時的卡塔蘭猜想. 柯召在數論、代數、組合論等領域有突出成就，其研究不定方程卡特蘭問題的結果與方法，被稱為“柯氏定理”與“柯氏方法”。
柯召院士
柯召（1910 年 4 月 12 日～ 2002 年 11 月 8 日），著名數學家，中國科學院學部委員（院士），原四川大學校長。柯召是英國曼徹斯特大學著名數學家莫德爾的博士。第一次見面時，莫德爾就問了柯召三個問題：讀過些什麼數論方面的書？研究過什麼問題，有何結果？學過哪些外國語言？柯召一一作答，並把在清華期間的畢業論文拿給莫德爾看，莫德爾看後非常高興，親自帶著柯召去辦理註冊入學手續。入學後，莫德爾給柯召的第一個課題是“閔可夫斯基猜想”。為了避免先入為主，他並沒有談自己的意見，只是要求柯召獨立思考，兩週後再去見他。兩週後，柯召按約定拜見莫德爾時，內心充滿不安。莫德爾問柯召有沒有進展，柯召老實回答“毫無辦法”。“這個問題我搞了三年都還沒有解決呢。”莫德爾笑笑，“年輕人思想活躍，有時可能有意想不到的收穫。”聽到這些，柯召內心的不安感頓時消失，他明白：“老師這些話很有道理，雖然我沒有解決這個難題，但是有了攻克難題的信心。”談話最後，莫德爾對柯召說，“你回去自己找個題目做做”。
兩個月後，柯召完成題為《關於表二次型為線性型平方和的問題》的論文。莫德爾評價甚高，特意安排柯召參加倫敦數學會並作報告。之前，還沒有一箇中國人登上倫敦數學會的講臺，年輕的柯召一亮相，就得到了廣泛的關注。著名數學家哈代聽完他的報告後跑上臺去和柯召握手，對他說：“在我們的報告會上宣讀論文的外國學者中，你是最年輕的一位。講得好，祝賀你！”
柯召曾經說過：“我最大的願望，就是造就更多精通數學的人才，希望有更多的人能掌握數學這把打開科學大門的鑰匙。”作為一名學者，他找到了這把鑰匙；作為一名教育家，他付出畢生努力，指導學生尋找這把鑰匙。他曾經引用一首小詩來總結自己做學問的心得：“終日尋春不見春，芒鞋踏破嶺頭雲。歸來偶把梅花嗅，春在枝頭已十分。”
柯召曾將荀子《勸學篇》中的名言“無冥冥之志者，無昭昭之明。無惛惛之事者，無赫赫之功”作為自己的座右銘。堅定不移的志向，加上執著專一的努力，點滴積累，方有大成。正是源於對數學的濃厚興趣以及不懈追求，柯召才得以獲得了那把科學大門的鑰匙。
卡塔蘭猜想的結局
卡塔蘭猜想第三種情形直到 1976 年才被荷蘭數學家提德曼 (Tijdeman)“基本”解決。這得益於英國數學家貝克 (Alan Baker, 1939- ) 創立的求解不定方程的一套“有效的方法”。具體來講, 提德曼證明了存在一個絕對常數 c, 使得比 c 大的任何兩個正整數冪都不會是連續整數. 這樣, 為了完全證明卡塔蘭猜想, 剩下的任務便是對任意兩個小於 c 的正整數冪去逐一驗證它們的差是否會等於 1。儘管這在理論上是可以做到的，然而不幸的是這個絕對常數 c 非常大, 大約有 500多位, 已經遠遠超出了計算機所能驗算的範圍。卡塔蘭猜想的完全解決歸功於羅馬尼亞裔數學家米哈伊內斯庫，他使用了分圓域和伽羅瓦模的理論。據說正是因為他證明了卡塔蘭猜想，米哈伊內斯庫才被聘到哥廷根大學當教授。
另外, 卡塔蘭猜想涉及到關於兩個連續的數, 作為推廣, 人們自然會問: 是否也不存在三個連續的數它們分別都是正整數的方冪? 這個問題稱為弱卡塔蘭猜想. 顯然, 如果卡塔蘭猜想得以證明, 則弱卡塔蘭猜想的正確性也隨之成立. 上世紀 60 年代初, 柯召和卡塞爾斯 (Cassels) 分別獨立地解決了弱卡塔蘭猜想, 即他們證明了不存在三個連續的數使得它們分別都是正整數的方冪.
除了弱卡塔蘭猜想之外，卡塔蘭猜想還有許多形形色色的推廣。例如把卡塔蘭猜想一般化的皮萊 (Pillai) 猜想：正整數的冪之間的差趨向無限大；換句話說，對任何正整數，僅有限多對正整數的冪的差是這個數。這猜想現在仍未解決。 目前這些猜想大多都難以證明, 尚未發現解決這一類問題的有效方法和技巧.
閱讀更多 數學與控制論學習筆記 的文章
