卡塔兰猜想
有关整数的一些规律常常是有趣而迷人的. 即使是小学水平的初等计算背后也可能隐藏着惊人的奥秘。我们做了一个数字游戏：将 n^m , n,m = 2,3,4,5,6按从小到大的顺序排列起来：
4, 8, 9 16, 25, 27, 36, 49, 64, 81, 100, ······
容易发现除了 2^3 = 8 和 3^2 = 9 之间的差距为 1 之外，再也没有差距为 1 的了。作为一个小数学游戏，我们用计算机测试了 1000000 以内的数字，也没有遇到差距为 1 的情况。
对于 2^3 = 8 以及 3^2 = 9, 大家都司空见惯习以为常了, 然而就是在这个习以为常的两个数字背后，竟然暗藏着一个惊人的奥秘！在 1844 年, 比利时数学家卡塔兰 (Eugène Charles Catalan) 却据此作出了一个大胆的猜想: 除了上述的 8 和9 分别为正整数的方幂外, 再也没有其它两个连续的数也分别都是正整数的方幂了. 当然, 这里所指的方幂均大于 1. 这就是著名的卡塔兰猜想或者称为卡塔兰问题. 如果使用方程的语言, 则卡塔兰猜想相当于
卡塔兰方程可以分为下面三种情况：
在卡塔兰猜想公布六年之后，数学家 V.A. Lebesgue 就证明了第一种情况。不过这里的 V.A. Lebesgue 可不是 20 世纪初发展测度论和积分的 H.Lebesgue, (1875-1941)，而是一个名气稍小的一个数学家。第二种情况要难得多，直到 1962 年, 才被我国著名数学家柯召 (1910.4.12-2002.11.8) 证明. 更确切地说，柯召证明了第二种情况只有一组解 x = 3,y = 2,n = 3，而第一种情况没有正整数解, 从而解决了在两个正整数方幂中有一个是平方数时的卡塔兰猜想. 柯召在数论、代数、组合论等领域有突出成就，其研究不定方程卡特兰问题的结果与方法，被称为“柯氏定理”与“柯氏方法”。
柯召院士
柯召（1910 年 4 月 12 日～ 2002 年 11 月 8 日），著名数学家，中国科学院学部委员（院士），原四川大学校长。柯召是英国曼彻斯特大学著名数学家莫德尔的博士。第一次见面时，莫德尔就问了柯召三个问题：读过些什么数论方面的书？研究过什么问题，有何结果？学过哪些外国语言？柯召一一作答，并把在清华期间的毕业论文拿给莫德尔看，莫德尔看后非常高兴，亲自带着柯召去办理注册入学手续。入学后，莫德尔给柯召的第一个课题是“闵可夫斯基猜想”。为了避免先入为主，他并没有谈自己的意见，只是要求柯召独立思考，两周后再去见他。两周后，柯召按约定拜见莫德尔时，内心充满不安。莫德尔问柯召有没有进展，柯召老实回答“毫无办法”。“这个问题我搞了三年都还没有解决呢。”莫德尔笑笑，“年轻人思想活跃，有时可能有意想不到的收获。”听到这些，柯召内心的不安感顿时消失，他明白：“老师这些话很有道理，虽然我没有解决这个难题，但是有了攻克难题的信心。”谈话最后，莫德尔对柯召说，“你回去自己找个题目做做”。
两个月后，柯召完成题为《关于表二次型为线性型平方和的问题》的论文。莫德尔评价甚高，特意安排柯召参加伦敦数学会并作报告。之前，还没有一个中国人登上伦敦数学会的讲台，年轻的柯召一亮相，就得到了广泛的关注。著名数学家哈代听完他的报告后跑上台去和柯召握手，对他说：“在我们的报告会上宣读论文的外国学者中，你是最年轻的一位。讲得好，祝贺你！”
柯召曾经说过：“我最大的愿望，就是造就更多精通数学的人才，希望有更多的人能掌握数学这把打开科学大门的钥匙。”作为一名学者，他找到了这把钥匙；作为一名教育家，他付出毕生努力，指导学生寻找这把钥匙。他曾经引用一首小诗来总结自己做学问的心得：“终日寻春不见春，芒鞋踏破岭头云。归来偶把梅花嗅，春在枝头已十分。”
柯召曾将荀子《劝学篇》中的名言“无冥冥之志者，无昭昭之明。无惛惛之事者，无赫赫之功”作为自己的座右铭。坚定不移的志向，加上执著专一的努力，点滴积累，方有大成。正是源于对数学的浓厚兴趣以及不懈追求，柯召才得以获得了那把科学大门的钥匙。
卡塔兰猜想的结局
卡塔兰猜想第三种情形直到 1976 年才被荷兰数学家提德曼 (Tijdeman)“基本”解决。这得益于英国数学家贝克 (Alan Baker, 1939- ) 创立的求解不定方程的一套“有效的方法”。具体来讲, 提德曼证明了存在一个绝对常数 c, 使得比 c 大的任何两个正整数幂都不会是连续整数. 这样, 为了完全证明卡塔兰猜想, 剩下的任务便是对任意两个小于 c 的正整数幂去逐一验证它们的差是否会等于 1。尽管这在理论上是可以做到的，然而不幸的是这个绝对常数 c 非常大, 大约有 500多位, 已经远远超出了计算机所能验算的范围。卡塔兰猜想的完全解决归功于罗马尼亚裔数学家米哈伊内斯库，他使用了分圆域和伽罗瓦模的理论。据说正是因为他证明了卡塔兰猜想，米哈伊内斯库才被聘到哥廷根大学当教授。
另外, 卡塔兰猜想涉及到关于两个连续的数, 作为推广, 人们自然会问: 是否也不存在三个连续的数它们分别都是正整数的方幂? 这个问题称为弱卡塔兰猜想. 显然, 如果卡塔兰猜想得以证明, 则弱卡塔兰猜想的正确性也随之成立. 上世纪 60 年代初, 柯召和卡塞尔斯 (Cassels) 分别独立地解决了弱卡塔兰猜想, 即他们证明了不存在三个连续的数使得它们分别都是正整数的方幂.
除了弱卡塔兰猜想之外，卡塔兰猜想还有许多形形色色的推广。例如把卡塔兰猜想一般化的皮莱 (Pillai) 猜想：正整数的幂之间的差趋向无限大；换句话说，对任何正整数，仅有限多对正整数的幂的差是这个数。这猜想现在仍未解决。 目前这些猜想大多都难以证明, 尚未发现解决这一类问题的有效方法和技巧.
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