谌海飞
这个叫中国剩余定理或者孙子定理,出自我国南北朝时期的著名算术著作中.在大学里属于数论里同余的知识.我们可以用同余的知识解决此问题.这句话说的是有一个数,除以3余数是2,除以5余数是3,除以7余数是2,问这个数是几?
要解决这个问题,首先我们得知道同余的基本概念,设满足题目的数为X,则题目的信息可以表示为以下几个式子
上面构成的同余式叫做一元线性同余方程组,由中国剩余定理可知,因为3、5、7是互质的,则同余方程有解.其通解是由下方来构造的，首先我们看到中国剩余定理,如下
我们根据上面这个定理来解决这个同余方程.满足题意的最小整数是23.
可以看出,当我们选择不同的衍数时,就可以得到不同的数字了.当然也可以由得到的数字加或者减最小公倍数的整数倍就可以.上面可能理论性太强,看不懂.但下面是这个问题的通俗解法,可以对照着看一下.
其实,这个问题,明朝数学家程大位在里用一首歌谣概括了它的解法:
"三人同行七十稀,五树梅花二十一,七子团圆正半月,除百零五便得知."
其实它就是此问题的通俗解法.
中国剩余定理是为数不多的享誉世界的定理之一,在密码学中有非常重要的作用.我是学霸数学,欢迎关注!
学霸数学
题主小时候有没有听过一首歌谣：
“三人同行七十稀，五树梅花二十一，七子团圆正半月，除百零五便得知。”
实际上这个歌谣是一个古老数学题的解法。
韩信点兵
在数学典籍《孙子算经》中，有许多著名的数学问题。其中最有名的是“鸡兔同笼”问题。除此之外，另一个流传很广的经典问题，被后人称为“物不知数”问题：
“有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”
意思是说：有一堆物体不知道有几个。如果三个三个分组，最后会剩下2个；如果五个五个分组，最后会剩下3个；如果七个七个分组，最后会剩下2个。问这些物体一共有几个？
后来，人们为了让这个问题更具体化，就把它改编成“韩信点兵”问题。
有一次战斗后，韩信要清点士兵的人数。让士兵三人一组，就有两人没法编组；五人一组，就有三人无法编组；七人一组，就有两人无法编组。那么请问这些士兵一共有几人？
宋朝数学家秦九韶在《数书九章》中对这个问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程大位在《算法统宗》中将解法编成易于上口的《孙子歌诀》，就是文初的那首歌谣。
同余
现在我们一起来解决这个问题。首先我们来了解一下同余的概念。a和b关于c同余，意思是说a除以c和b除以c的余数相同。例如：8÷5=1余3，3÷5=0余3，所以8和3关于5同余，写作8≡3（mod 5），其中mod读作“模”。而且，由于3小于5，所以3本身就是3除以5的余数，因此8≡3（mod 5）也可以理解为8除以5的余数是3。
这样，韩信点兵问题就可以表示为数学语言了。有一个数字x，除以3余2，除以5余3，除以7余2， 那么这个数字是多少？数学写法是
对于这个问题，最基本的解法是穷举法，就是把满足每个条件的数字写出来，然后找到相同的数字。
除以3余数是2的数字有：2、5、8、11、14、17、20、23、26…
除以5余数是3 的数字有：3、8、13、18、23、28…
除以7余数是2的数字有：2、9、16、23、30…
我们发现，满足三个条件的第一个数字是23。所以23是这个问题的一个解。
但是，这个问题的解并不是唯一的。3、5、7彼此互质，它们的最小公倍数是105。也就是说，105除以3、除以5或者除以7都没有余数。如果一个数字x是满足要求的，那么在x上加上几个105都不会改变它对3、5、7的余数。比如，23是满足要求的，那么23+105=128也是满足要求的，23+210=233也是满足要求的。
所以这个问题最后的解就是23+105n，其中n=0，1，2，3…
歌谣
那么，程大位在《算法统宗》中的歌谣又是什么意思呢？其实这个口诀是一个快速的算法，那就是：
三人同行七十稀：将除以3的余数乘以70；
五树梅花二十一：将除以5的余数乘以21；
七子团圆正半月：将除以7的余数乘以15（半个月）；
除百零五便得知：将以上三个数字相加，最后减去几个105。
例如在“韩信点兵”问题中，除以3的余数是2，除以5的余数是3，除以7的余数是2，那么前三句话就是70×2+21×3+15×2=233，233减去105等于128，128减去105=23，那么23、128、233等就都是这个问题的答案。
这个口诀的证明其实也并不难：
70这个数字是5和7的倍数，并且除以3余1，也就是说，任何一个数添加一个70之后，不会改变除以5和7的余数，但是会在除以3的余数中多1。这样如果所求的数字除以3余2，就应该包含2个70，即70×2。
21这个数字是3和7的倍数，并且除以5余1， 也就是说，任何一个数添加了一个21之后不会改变除以3和7的余数，但是会在除以5的余数中多1。这样如果所求的数字除以5余3， 就应该包含3个21，即21×3。
15这个数字是3和5的倍数，并且除以7余1， 也就是说，任何一个数添加了一个15之后不会改变除以3和5的余数，但是会在除以7的余数中多1。这样如果所求的数字除以7余2， 就应该包含2个15，即15×2。
将以上三个数字相加得到233，就可以得到一个满足条件：除以3余2，除以5余3，除以7余2的数字。
105这个数字是3、5、7的公倍数，因此一个数字加上或者减去105之后，不会改变除以3、5、7的余数，因此在刚才得到的233上添加或者减去几个105，都是问题的解。
最终，通过口诀我们还是可以得到通解：23+105n，其中n=0，1，2，3…
中国剩余定理
余数问题是一个重要的数学问题，是计算机密码学的基石之一。世界著名的数学家欧拉、高斯等人，都曾经研究过这个问题。中国古代的先贤在这方面取得了丰硕的成果。“韩信点兵”问题只是一个例子，这样的问题有更加普遍和系统化的表示方法。而这个方法，就被世界称为“中国剩余定理”，是我国为数不多的获得世界公认的古代数学成就之一。
李永乐老师
相信每个男人都有过“金戈铁马，气吞万里如虎”的想象
假如有一天，你穿越到楚汉相争时期成为韩信......
话说秦朝末年，楚汉相争。有一次，韩信带领1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是，韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更认为韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。
那么问题来了，韩信是如何知道将士的人数的呢？假如有一天，你穿越到古代成为韩信，身边只有一台装有EXCEL的电脑，你能够带领将士杀出重围吗？
我们先把问题翻译成数学语言：已知一个正整数X，1000 咋一看，用EXCEL似乎办不到呀，我们先用一个笨方法来解决，穷举！从1000验算到1100，不就100个数嘛! 1000=3*333+1，一看就不对，下一个 1001=3*333+2，诶，对了，继续，1001=5*200+1，不对...... Oh，My God，我佛真主耶稣保佑，这得算到何年何月！可这正是电脑擅长的呀，来看EXCEL是怎么算的： 我们现在A列列出1000至1100的数字，然后分别在B，C，D列对3、5、7取余数，如果余数分别等于2,3,2就恰好得到了我们的将士人数， 公式为：=MOD($A2,B$1) 验证公式为：=IF((B2=2)*(C2=3)*(D2=2),"将士总人数为："&A2,"不符要求") 这样就求出了我们的将士总人数，借用EXCEL，你也可以带兵打仗啦！ 解法一
解法二
有些同学可能会说，这样求解表格太大了，不够优雅，我们来个优雅的！在EXCEL中任意单元格输入以下公式：
="将士总人数为："&SUMPRODUCT(ROW(1000:1100),(MOD(ROW(1000:1100),3)=2)*(MOD(ROW(1000:1100),5)=3)*(MOD(ROW(1000:1100),7)=2))
是不是超级神奇？这个函数的思路和上面的思路是一致的，都是枚举法的运用，其计算过程可分为以下几步：
第一步：ROW(1000:1100)：生成1000~1100的数组
第二步：用MOD函数分别对其取余
第三步：当余数同时满足除3余2，除5余3，除7余2时，即得到将士人数
本文涉及的函数主要有：
MOD，求余函数，语法：MOD(被除数，除数)
IF，条件函数，语法：IF(逻辑条件，事件A，[事件B])，当逻辑条件为真时，返回事件A，反之，返回事件B
SUMPRODUCT，数组相乘再求和，语法：SUMPRODUCT(数组1，[数组2]......)
ROW,返回单元格的行号，语法：ROW（单元格引用）
本文涉及的函数都是基础函数，结合起来却有妙用，函数是基础，算法思维才是根本，理解背后的逻辑，解题易如反掌！
问题延伸
“韩信点兵”问题又被称为“中国剩余定理”、“大衍求一术”、“鬼谷算”等，和《九章算术》中的“物不知数”问题为同类问题，属于现代数论中求解一次同余式方程组问题，
秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶不仅为中国赢得无上荣誉，也为世界数学作出了杰出贡献。若您有兴趣，可作进一步了解！
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Excel精选技巧
首先可设： A＝3×5×7＝105，B＝3×5＝15，C＝3×7＝21，D＝5×7＝35。
15为3、5整除而为7除余1，故配以系数2，2B＝30为7除余2；
21为3、7整除而为5除余1，故配以系数3，3C＝63为5除余3；
35为5、7整除而为3除余2。
从而：2B＋3C＋D＝128 必是为3除余2，为5除余3，为7除余2的数。
但这不是满足要求的最小自然数。
容易得知：128－A＝128－105＝23也必然是满足要求的自然数，并且是其中最小的。
事实上，所有自然数x＝23＋105k都满足要求。
以上就是根据中国剩余定理的标准解法；属于初等数论里的内容。真正能理解的人会发觉非常妙。这是数学里最优美的一个基础定理，不在于其公式的形式而在于思想。若用公式化表述是很繁琐的，这里就不赘述了。
化用中国剩余定理的基本精神，具体到这道题，还可以有如下的简便算法：
三三数之剩二的最小自然数是5；
令5加上一个最小的3倍数直至为5除剩3，于是得8；
令8再加上一个最小15倍数直至为7除剩2，于是得23。
这个解法才是正确打开的小学算术解，也是绝大多数大人也掌握不好的小学算法。
建章看世界
这个数是21（5m+1）+2，m为自然数，即这个数最小为23。
虽然没学过孙子定理和中国剩余定理，但是用我那微薄的数学基础也能解呀。
解题思路：
根据题意：三三余二，五五余三，七七余二，
说明这个数减去2后是3、7的倍数，即21的倍数，设这个数为x，则：
x=21n+2，式中n≥1
又因为这个数除以5余3，所以这个数的尾数为3或8
也就是说21n+2的尾数为3或8；
当n为1、11、21、31……可表示为10m+1（m为自然数），尾数为3，满足条件；
当n为6、16、26、36……可表示为10m+6即5m+1（m为自然数），尾数为8，也满足条件
综上，n为5m+1（m为自然数）时，满足尾数为3或8的条件。
即这个数为21（5m+1）+2，m为自然数。
小黑小黑Luo
感谢邀请，头条君怎么知道我喜欢数学呢？就凭我零星的碎片化记忆试着解答下：
t=3x+2=5y+3=7z+2
则3x=7z=t-2
也就是说这个t-2是21的倍数，我们就可以假设t-2为21 42 63 84 105 126等，
而且这个t-2还要是5的倍数+1，所以呢t-2=21，126......21的5n+1倍都是合适的数值。
那么这个t-2=21(5n+1)
则t=21(5n+1)+2
生活中有你更美
我也不知道怎么回事，可以通过列举法得出第一个数23，然后3/5/7的最小公倍数是105，可以把105看成公差（我也不知道咋回事），所以通项公式是y＝105x＋23，具体我也不知道怎么回事，你可以问问老师。
小潘随手拍
这个是韩信暗点兵的算法。相传韩信布兵打仗，回来后兵卒报剩余人数就是用数三余几，数五余几，数七余几汇报。这是有口诀的。口诀如下：
数三剩一念七十，五马分尸二十一，夫妻团圆整半月，加减百五是正时。意思是说，当三三数余一时，这个数计作七十。当五五数余一时，这个数计作二十一，当七七数余一时，这个数计作十五。然后用各自的计数乘以各自的余数得到的积相加的总和数，减去一百零五便是正数了。解释起来麻烦。以上题为例：三三剩二，即70X2＝140，五五剩三，即21x3＝63。七七剩二，即15X2＝30。140十63十30一105一105＝23。23便是上题的答案。为什么要减两次105呢？是因为求的最小值😊😊。
夜数繁星
太简单，三的余数乘5*725的积乘2加5的余数乘3与7的积21加7的余数成3和5的积15的和减去3.5.的积105的倍数，为什么不乘35呢？因为35除三得70除3余1...21除5余1.15除7余1正好是本系数的整数倍，可以推广到其他三个互质数。讲得不明白请原谅。
135aaa
题：除3余2，除5余3，除7余2。
除3或7都余2，且3和7的最小公倍数为21，所以此数等于21a+2（a为自然数），除5余3，则此数也等于5b+3。所以21a+2=5b+3☞☞a=5(b-4a)+1☞☞令k=b-4a则a=5k+1☞☞n(此题所求数之值)=105k+23☞☞b=21k+4
最终答案：n=105k+23（k为任意自然数）
最小数为23。
