1900年，德国数学家希尔伯特在巴黎举行的国际数学家大会上提出了23个数学问题，认为这些是人类在20世纪里应该努力去解决的问题。这23个数学难题中，既包括“两个等底等高的四面体体积相等”这样一经提出便获证明的命题，也包括“哥德巴赫猜想”这样至今未获完全证明的难题。
哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想是我们大多数人都听说过的一个数学难题。
1742年6月7日，哥德巴赫在给欧拉的信中提出了以下猜想：任何大于1的奇数都是三个质数之和（当时1被人们定义为质数）；欧拉则在回信中提出了“哥德巴赫猜想”如今常见的表述：任何大于2的偶数都可写成两个质数之和。
近两百年过去，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。1937年苏联数学家维诺格拉多夫，用他创造的“三角和”方法，证明了“任何大奇数都可表示为三个质数之和”。不过，维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇，与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远。
直接证明哥德巴赫猜想不行，人们采取了“迂回战术”，就是先考虑把偶数表为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。如果把命题“每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和”记作“a+b”，那么哥氏猜想就是要证明"1+1"成立。
最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1+2 ”的形式。
近代数学史上，除哥德巴赫猜想之外，还有两大猜想非常著名。如今，它们都已经是定理了。
费马大定理
皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家。虽然他的主业是一名律师，但他在数学上的成就丝毫不比那些职业数学家逊色。在数论领域中，费马的巨大成果主要是费马大定理和费马小定理。其中以费马大定理最为著名。
1637年左右，费马在阅读丢番图《算术》的拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（不知道你有没有兴趣将这句话用在数学试卷上，当然我猜想老师是不会给你分的。）
这就是著名的费马大定理：当整数n>2时，关于x，y，z的方程没有正整数解。
费马究竟有没有证明费马大定理，至今是人们津津乐道的话题。费马大定理被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，才于1995年由英国数学家怀尔斯证明，且其证明的过程相当艰深。
历史上，关于费马大定理的故事相当之多。比如：德国实业家沃尔夫斯凯尔，年轻时曾为情所困决意在午夜自杀，但在临自杀前，他读到库默尔论述柯西和拉梅证明费马大定理错误的文章，于是情不自禁地计算到天明。
设定的自杀时间过了，他也放不下问题的证明，于是放弃了自杀的想法。后来数学让他重生并成为大富豪。
四色定理
“四色猜想”于1852年被提出，其通俗的说法是：每个平面地图都可以只用四种颜色来着色，而且没有两个相邻的区域颜色相同。
1976年6月，在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿个判断，结果没有一张地图是需要五色的，最终证明了四色定理，轰动了世界。
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