當我們懷著對某件事情非常強烈的期望，我們所期望的事物就會出現。——皮格馬利翁效應
埃及分數的故事
有一則現代故事，說的是一位富有的阿拉伯酋長，臨終時他宣佈把11輛豪華汽車贈送給自己的3個女兒。他要求把二分之一送給長女，四分之一送給老二，六分之一送給小女。
問題出現了，如何在不砸碎汽車的情況下，將它們嚴格按酋長的遺囑分給他的3個女兒？
最後，還是一位汽車經銷商出面幫了忙，才解決了這個難題。這位經銷商無償提供了一輛汽車，這樣一來，一共有12輛汽車，3個女兒按遺囑分別獲贈6輛、3輛和2輛汽車。當她們把自己分得的汽車開走以後，還剩下1輛，自然歸還了經銷商。也就是說，他既做了人情，又沒有任何付出。
這則典故實際上提出了這樣一個數學問題，如何把有理數
分解成3個單位分數之和。
所謂單位分數又稱埃及分數（Egyptian fraction），是指分子為1的正分數，這是古代埃及人最常用的分數，被視作“神靈的眼睛”，埃及人甚至利用它來做乘除計算。言下之意，問題變成了
埃及分數：神靈的眼睛
上述有關汽車的分配問題相當於n = 11的求解，其中n是酋長留下的汽車數量。答案是（x，y，z）=（2，4，6）。
一般的埃及分數問題是指，如何將一個有理數表示為若干單位分數之和。也就是說，給定互素的正整數m，n，求解
結論是肯定的，也就是說，任給互素的m和n，這樣的k和xi一定存在。一些未解決的著名問題在於指定的特殊值上。
例如，取m = 4, k = 3。1948年，匈牙利數學家愛多士和德國出生的美國數學家、愛因斯坦的助手斯特勞斯猜測，對於任何n>1，方程
恆有解。
美國出生的英國數學家莫德爾證明了，當n-1不是24的倍數時，猜想成立。1982年，一位楊姓（Xunqiang Yang）的中國數論學者證明——如果n、n+1、n+4或4n+1之一含有模4餘3的因子，猜想便成立。由此易知，這個猜想對幾乎所有的n成立。迄今為止，人們已驗證當n≤1014時猜想正確。
又若取 m = 5，k = 3。1956年，波蘭數學家席賓斯基猜測，對於任何 n>1，方程
恆有解。
1966年，斯圖爾特驗證了n≤109時猜想正確。同時他還證明了，當n-1不是278468的倍數時，猜想成立。可是，我們仍不知是否對所有的n或幾乎所有的n猜想成立。
上述兩個猜想至今未獲得證明或否定，包括菲爾茲獎得主、華裔澳大利亞數學家陶哲軒在內的名家都研究過這個問題，依然無法解決。
狄多女王的水牛皮
與埃及同處地中海南岸的突尼斯是古代迦太基人的居住地。迦太基與地中海東岸的腓尼基（今黎巴嫩）是介於四大文明古國與希臘之間興起的兩大文明，她的建國者叫狄多（Dido）女王。
16世紀的英國劇作家馬洛為她寫過一齣戲《狄多的悲劇》，1792年，倫敦上演了依據古羅馬詩人維吉爾的史詩《埃涅阿斯紀》改編的三幕歌劇《迦太基女王》。甚至，一位1971年出生的英國流行音樂天后也給自己取名狄多，她曾多次獲得英國年度最佳女歌手稱號。
有趣的是，有一個數學分支的起源與狄多女王有關。根據希臘傳說，初到迦太基的狄多女王得到了一張水牛皮，原住民只給她與牛皮一樣大小的立足之地。
聰明的女王命隨從把它切成一根根細長的皮條，圈出最大的面積，結果得到半個圓。如果是在內陸平原，這個結論當然是錯誤的，因為用同樣長度來畫一個圓，圈定的面積一定要比半圓要大許多。關於這一點，讀者只要計算圓面積和周長，便可予以證明。
這便是變分法的起源故事，這個故事的另一個版本是這樣說的，地中海塞浦路斯島（如今一個國家，兩個地區分治）的島主狄多女王在丈夫被她的哥哥皮格瑪利翁殺死後，帶著隨從向西逃亡到了非洲海岸，從當地一位酋長手中購買了一塊土地，在那裡建立起迦太基城。這塊土地是這樣劃定的，一個人在一天內犁出的溝能圈起多大的面積，這個城就可以建多大。
我曾實地踏訪，在遊歷了包括開羅金字塔、斯芬克斯和亞歷山大圖書館遺址等在內的古埃及文明以後，也來到了鄰近的突尼斯，發現迦太基古城建在地中海濱，那裡離開現在的首都突尼斯城有一段距離。從博物館內所繪的地形圖來看，古城的形狀的確接近於半圓。
迦太基古城
自從牛頓和萊布尼茲發明了微積分以後，自身不斷髮展、嚴格、完善，並向多元演變，在函數概念深化的同時，又被迅速而廣泛地應用到其他領域，形成了一些新的數學分支，甚至滲透到人文和社會科學。
這其中的一個顯著現象是，數學與力學的關係比以往任何時候都要密切，那個時期的數學家也大多是力學家，正如古代東西方有許多數學家也是天文學家一樣。
這些新興的數學分支有常微分方程、偏微分方程、變分法，以及微分幾何和代數方程論等。在眾多數學家的共同努力下，通過這些諸分支的建立，加上微積分學這個主體，形成了被稱為“分析學”的數學領域，它與代數學、幾何學並列成為近代數學的三大學科，其繁榮程度甚至後來居上。
相比其他數學分支，變分法不僅誕生更富戲劇性，且譯名聽起來不像是一門分支學科，它的原意是“變量的微積分”。變分法是研究函數的變量的數學，而普通微積分是處理數的變量的。
如今它的應用範圍極廣，從肥皂泡膜到相對論，從測地線到極小曲面，以及等周問題，後者也包括狄多女王的極大面積問題。
除了狄多女王的圈地問題以外，最速降線問題也非常有趣，即求出既不在同一平面也不在同一垂線的兩點之間的曲線，使質點僅在重力作用之下最快速地從一點滑到另一點。這個問題最初是由意大利物理學家伽利略於1630年提出來的，他錯誤地認為答案是圓弧。
1696年，瑞士數學家約翰·貝努利再度提出並公開徵答，吸引了全歐洲的大數學家，包括牛頓、萊布尼茨和約翰的哥哥雅各布都來參與。
最速降線可以歸結為求一類特殊函數的極值問題，正確答案是擺線，又稱旋輪線。它是這樣定義的：一個圓沿一條直線滾動，圓上某一固定點所經過的軌跡稱為擺線。它的外形有點像圓弧或拋物線的一部分，難怪伽利略這樣的大家也會犯錯。
托爾斯泰的小說
狄多女王和皮格馬利翁這對姐弟各自的愛情故事曲折動人，被羅馬詩人維吉爾和奧維德先後寫進他們的詩歌中。在維吉爾的史詩裡，狄多在迦太基遇見並愛上了特洛伊王子、羅馬城的創建者埃涅阿斯紀。
女巫姐妹為了破壞他們的愛情，欺騙他離開迦太基去完成一項使命，結果狄多誤以為自己被情人背叛，自刎而死。1689年，英國作曲家普賽爾曾寫過一出歌劇《狄多與埃涅阿斯紀》。
梵蒂岡藏畫《迪多之死》
依照希臘神話，皮格馬利翁是鍾情於愛神阿芙洛狄忒雕像的塞浦路斯國王。他因此不喜歡凡間女子，決定永不結婚。而在奧維德的《變形記》裡，皮格馬利翁卻成為一個雕刻家，他以神奇的技藝用象牙雕刻了一尊美麗無比的少女像，在夜以繼日的工作中，他把自己全部的精力、熱情和愛戀都賦予了這尊雕像。
皮格馬利翁像對待愛人和妻子那樣撫愛她，裝扮她，為她起名加拉泰亞，並向神乞求讓她成為自己的妻子。阿芙洛狄忒得知以後，被他的真誠打動，賜予雕像生命，並讓他們結為夫妻。
英國畫家透納畫過《狄多建設迦太基》，法國雕塑家羅丹、愛爾蘭劇作家蕭伯納等都塑造過皮格馬利翁，電影《窈窕淑女》則表達了所謂的“皮格馬利翁效應”主題，即當我們懷著對某件事情非常強烈的期望，我們所期望的事物就會出現。
油畫《皮格馬利翁》
皮格馬利翁效應在學校教育中表現得非常明顯。受老師喜愛或關注的學生，一段時間內學習成績或其他方面都會有很大進步，而受老師漠視甚至歧視的學生則有可能從此一蹶不振。
在企業管理方面，一些精明的管理者也懂得利用“皮格馬利翁效應”激發員工的鬥志，從而創造出更大的經濟效益。這方面，通用電氣CEO韋爾奇、鋼鐵大王卡內基、有著“經營之神”美譽的松下幸之助均有成功的實例。
而狄多女王圈地的故事，也曾激發俄國大文豪列夫·托爾斯泰的靈感，他是一位數學愛好者，喜歡將數學問題融入文學創作。他寫過一篇題為《一個人需要很多土地嗎？》的小說，托爾斯泰巧妙地運用數學知識，對貪婪的主人公進行了絕妙的諷刺。讀到最後，還能感受到一絲悲劇的氛圍。
小說的主人公叫巴河姆，他遇到一個奇特的賣地者：不論是誰，只要交1000盧布，就可以在草原上，從日出出發，走到太陽落山，只要在天黑之前回到出發點，那麼他走過路線所圍住的土地，就都屬於他；而如果沒回到出發點，那麼他一點土地也得不到，1000盧布就算打了水漂。
巴河姆交了1000盧布以後，天一亮就開始大步行走。他先沿一條直線走了10俄裡，然後左拐彎90度，又走了相當一段距離，再次向左拐彎90度，走了2俄裡。這時他發現天色已不早，於是向著出發點狂奔起來，跑了15俄裡之後，他終於趕在日落時分踩上了出發點。這時候，只見巴河姆雙腿一軟，栽倒在地，口吐鮮血，一命嗚呼了。
小說實際上出了一道並不難的幾何題：巴河姆走的路線構成了一個上底為2、下底為10、斜腰為15（單位均為俄裡）的直角梯形，這個梯形的周長是多少？面積又是多大呢？
學過勾股定理的讀者應該會算梯形的高和麵積。結果呢：如果巴河姆活著，他可以得到約86.72平方公里（約合13萬畝）的土地！這就是貪婪者的下場。
有趣的是，如果我們計算一下這個直角梯形的周長，會得到39.7俄裡的結果，而按照俄裡與公里的換算比率，這個距離恰好是42.195公里！這正是一個馬拉松的距離！
當年那個希臘士兵在他們戰勝波斯帝國的軍隊以後，從馬拉松跑回雅典報捷，結果喊了一聲“我們勝利了！”然後就倒地累死了，現在巴河姆也是跑了這樣一個距離後累死。
看來托爾斯泰不僅巧妙構思，且數學修養不賴。如果巴河姆不跑直角梯形，而是用別的什麼路線，應該可以少走很多路而得到同樣大小的土地。這就是狄多女王面臨的變分法問題，答案是圓。
類似的還有，用什麼形狀的容器可以容納儘可能多的液體或氣體？答案是球。還有，如果巴河姆當初走的是一個圓，那麼圈住13萬畝土地只需要走33公里左右，那樣的話他可能就不會累死。
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