一．數學思維方法的產生與發展
（一）數學方法論的產生與發展
數學作為一門歷史悠久的基礎學科，給人類文明帶來了重大影響。人們一直都想獲得一種方法，使數學的學習和運用變得簡捷，方便和通俗。當前對數學的方法研究如果按照現代科學哲學的傳統，可以分為“證明的方法”和“發現（發明與創造）的方法”。顯然，數學自身的證明方法是與嚴密的，形式化的邏輯演繹方法聯繫在一起的，或者說數學證明的方法與公理化的方法緊密地聯繫在一起。
在數學的歷史發展中，人們從來也沒有忘記尋找數學發現（發明）的方法。數學家們也希望找到數學發現（發明）的“萬能方法”，使之可以解決一切數學問題。例如，笛卡爾就提出過一種“萬能方法”，即把任何問題轉化為數學問題。儘管笛卡爾充滿信心，但是數學的發展很快就否定了這種萬能的方法。近代的邏輯實證主義的“科學觀”則認為科學的方法論研究僅限於證明的範圍，發現的問題屬於心裡學的範圍，因此發現的問題不會在科學方法論的範圍內得到理性或邏輯的結果。這種觀點，實際上否認了作為科學方法論意義上的“發現的方法”。
然而，數學的發展，數學的學習以及數學家解決問題的方式，又使人們感覺到那種公理化證明形式之外的發現方法的某些存在。正是在這種歷史背景下，國際上開始了一種尋找數學“發現和發明的方法與規律”的研究。在這方面做出了重要貢獻的是美籍匈牙利數學家波利亞，他的重要貢獻就是對“數學啟發法”的研究。波利亞是圍繞“怎樣解題”展開自己的啟發法研究的。作為一名曾在分析數學，組合數學鄰域作出重要貢獻的數學家，波利亞數十年對數學啟發法和數學教學的研究，為數學方法論的研究奠定了堅實的基礎。
嚴格來說，國際上在20世紀80年代以前，所謂的數學方法論實際上就是波利亞的“啟發法”------問題解決的數學方法。當然這不是數學家研究活動必須遵循的準則，但它對數學教育卻有著極大的影響。數學方法論的概念和內容是中國數學家徐利治教授最先明確的以專著形式表述出來的。徐利治教授的《數學方法論選講》迅速在中國數學教育界傳播併產生強烈反響，以教材教法研究為中心的高等師範院校的數學教育課程，很快就把數學方法論作為主要內容之一。此後，數學方法論引起數學教育界的重視，許多學者開始深入的進行了研究，並有一系列的著作問世。
數學方法論的概念，內容正在不同層面發展，在數學教育的研究中，它目前已經被廣泛的運用。
（二）數學思維方法的產生與發展
波利亞的“問題解決”啟發法在西方數學教育界十分盛行。在中國的數學教育界，人們認識到數學方法論的教學，如果只注重方法的學習很可能會變成一種新的技能方法的形式化教育。為此，一些學者認為，數學方法的學習應強調數學思維的重要性，應強調數學教育中積極的思維遠遠超過記憶和掌握一種具體方法。由此，數學思維方法作為一種繼數學方法論之後的數學教育形式就逐漸形成了一種教學體系。
在西方的數學教育研究種，從20世紀80年代之後，心理學在數學教育中的應用，使西方數學教育開始重視數學思維的研究與教學。
現代的數學教育觀認為，對於所謂的問題解決者而言，問題解決的過程不可能也不應當是一個程式化的邏輯過程，而應當是從滿創造性的過程。因此，應把啟發法所運用的“問題解決”與“數學思維（主要指創造性思維）”相結合。
現代的數學教育觀，尤其是西方的數學教育觀認為，數學學習的目的，已經開始從掌握“數學知識和技能”向著“解決問題的一般方法”即“數學式地思維”的方向轉變。與其它學科中的思維相比，數學思維具有特殊性，它在數學教育中佔有重要的地位。數學思維的教學形式，對數學教師提出了更高的要求。
由於數學教育觀念關注數學思維，也由於數學方法論研究提供了數學思維的教學內容，使人們開始了數學思維教育的研究。近年來，數學教育界已開始形成相關的數學思維的教育內容。
數學思維方法研究的內容和發展，緊緊地與以下三個方面相聯繫。
第一，數學思維方法研究緊緊跟隨和運用數學方法論地內容。數學方法論提供地類似“問題解決”的數學方法，為數學思維方法研究的展開提供了素材和發展空間。同時，數學思維方法研究也促進了數學方法論的進一步發展。
第二，數學思維方法的教學，不僅強調數學方法具有的方法論意義，而且強調說明在這些數學方法中，數學思維活動的積極意義。現代的研究表明，在數學課堂裡學到的一般解決問題的技能和能力，尤其是思維的能力，會在某些情況下遷移和運用到解決其他問題的場合。從這種意義上來說，數學思維的教學遠遠重於程式化方法的教學。
第三，數學思維方法的教育內容，更應當與非邏輯思維，創造性思維相聯繫。非邏輯的聯想，類比，猜測即是數學的一種思維方式，還是創造性思維的基礎。數學思維方法應當與思維的創造性相聯繫，而不是把數學思維方法作為一種新的程式化教學來要求。
數學思維方法與非邏輯思維，創造性思維的聯繫，對數學教師的教學研究提出了新的要求。
二．數學思維方法的層次性
數學思維方法是對數學思維形式，方法的思考與研究，按照數學思維的應用，可以把數學思維分為哲學，一般方法論，數學某分支和初等數學四個層次給予討論。
（一）哲學意義上思辨的數學思維方法
對數學的認識，理解與思考的不同，形成數學的思維方式就不同。這些不同的思維方法就構成了具有哲學意義的數學思維方法即基本的或重大的數學思維方法。
例如，古希臘的數學家認為幾何圖形是構造世界的基本形式，於是就演繹形成了以歐幾里得《幾何原本》為代表的數學思維方法。解析幾何的創始人笛卡爾提出的用代數方法解決幾何問題的思想，不僅創造瞭解析幾何的思維方法，更為重要的是它形成了一種全新的思維方式。還有如無窮小量的思想最終形成的微積分方法，希爾伯特按形式化的要求形成的有關幾何基礎研究的思維方法，概率統計的思維方法，抽象集合論的思維方法等等，都是涉及對整個數學認識和理解層面的數學思維方法。這些思維方法所形成的數學思維形式，具有哲學意義，構成了數學思維最高層面的方法論形式。
（二）一般科學方法或稱之為屬於一般科學方法論形式的數學思維方法
這樣的數學思維方法是指與一般科學方法相同的一些數學思維方法。嚴格來說，發源於古希臘的西方現代科學，許多科學思維方法吸收和運用了數學的思維方法。但是在現代科學方法論中，許多學科的思維方法已經超越或脫離了數學的鄰域。如類比，聯想，猜想，試錯，分析綜合，歸納演繹等都廣泛的應用於不同的科學鄰域。尤其是非邏輯思維，創造性思維往往在其他科學領域中取得巨大的成就。這些科學方法論中共同的思維方法，有些也在數學中廣泛的應用，但在數學鄰域中運用的這些思維方法卻很少構成對數學本質的認識和理解，因此它應當屬於第二層面的數學思維方法。
（三）具有獨特數學特徵的思維方法
所謂具有獨特數學特徵的思維方法，是指僅僅在數學某個分支中應用的思維方法，或具有獨特的數學表現形式，或為某些數學家群體，數學家個人獨具的思維方法。如群論中運用的獨特思維方法，函數論中應用的獨特思維方法，拓撲學中運用的獨特思維方法等都屬於這一層面的思維方法。當然，這類的思維方法應用範圍不如前兩個層面的思維方法範圍廣，因此屬於第三個層面。
（四）初等數學中的思維方法
這一層面的數學思維方法涉及的內容都是數學的基礎內容，相對比較規範，規律比較明確。作為數學的基礎教學研究，多年來取得了一系列的研究成果。在初等數學的教學中，各種解題思維方法的內容相當豐富，類型於變化都相當廣泛。作為數學思維方法，初等數學往往與高等數學的各個分支密切相聯。中小學數學中的思維方法，相對於前面的三個層面還是屬於相對比較簡明，範圍明確的基本的數學思維方式。
應當看到，數學思維方法研究還是一個並不十分成熟的學科，還有許多內容有待發展，尤其是在基礎數學的教學中，如何運用思維方法來組織中小學的數學教學活動，還是一個很值得深入討論和研究的內容。
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