在數學史上，數學大家之間的讚賞和推崇是屢見不鮮的，比如拉格朗日對泊松，比如所有人對歐拉，只是他們之間的推崇和讚賞屬於比較正常的範疇。而有一個人對阿貝爾的推崇--甚至不能簡單說是推崇，應該就是膜拜--則把自己變成了阿貝爾的腦殘粉，他就是科普君今天要說的--德國數學家--魏爾斯特拉斯。
卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾斯特拉斯
卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾斯特拉斯於1815年出生在德國的奧斯滕費爾德，他的父親是個嚴厲的海關官員。魏爾斯特拉斯14歲時進入中學，學習成績優異。他在15歲時幫助一個生意興隆的女商人當會計，他做得很成功，以至於當他中學畢業時--雖然他得了很多的第一，特別是數學---他的父親還是認為他有經商的頭腦而把他塞進了波恩大學，學習財務管理。這讓魏爾斯特拉斯很難受，因為他並不喜歡他的專業，於是他開始放縱自己的生活，比如擊劍、夜遊等。在校期間，魏爾斯特拉斯研讀過拉普拉斯的《天體力學》和雅可比的《橢圓函數新理論基礎》。前者奠定了他終生對於動力學和微分方程論感興趣的基礎，後者對他當時的數學水平稍難了些。不過，這段時間，阿貝爾是他最大的鼓舞源泉（這是他初次接觸阿貝爾）。後來，在快要畢業的時候，魏爾斯特拉斯終於放棄學業，回到了家鄉，沒有得到他父親所希望的法律博士學位，連碩士學位也沒有得到。這使他父親勃然大怒，呵斥他是一個"從軀殼到靈魂都患病的人"。不過好在有人給魏爾斯特拉斯指了一條路，讓他參加教師資格考試。魏爾斯特拉斯通過了考試，成為了一名鄉村中學的數學教師。他在參加考試期間，結識了他的數學老師克里斯托弗·古德曼，那是一位橢圓函數論專家，他的橢圓函數論給了魏爾斯特拉斯很大影響（當時古德曼開設了橢圓函數課程，第一課時有13個人來聽課，到第二課時就只剩下一個人了，那個人就是魏爾斯特拉斯。從此以後，古德曼的課堂上就只有師徒兩個人在上課），魏爾斯特拉斯為通過教師資格考試而提交的一篇論文的主題就是求橢圓函數的冪級數展開。古德曼給予了這篇論文很高的評價，然而這並沒有引起任何的重視，魏爾斯特拉斯還是去鄉村教師的崗位上走馬上任了。
雅可比橢圓函數
從26歲開始，魏爾斯特拉斯在鄉村中學教書，一直到40歲，這是一個數學家年富力強的15年，也應該是最富有創造力的15年。但是魏爾斯特拉斯卻要教授數學、物理、德文、地理甚至體育和書法課，而他的薪水微薄到連進行科學通信的郵資都付不起。即便如此，魏爾斯特拉斯還是以驚人的毅力開始數學的研究，他白天教課，晚上攻讀研究阿貝爾等人的數學著作，並寫了許多論文，包括：《關於模函數的展開》，《單復變量解析函數的表示》，《冪級數論》，《藉助代數微分方程定義的單復變量解析函數》。這些論文顯示了他建立函數論的基本思想和結構，其中有用冪級數定義複函數，橢圓函數的展開，圓環內解析函數的展開，冪級數係數的估計，一致收斂概念和解析開拓原理。
1848年秋魏爾斯特拉斯轉至東普魯士不倫斯堡的皇家天主教文科中學，在該校年鑑上發表了《獻給阿貝爾積分的理論》（看看人家的粉絲是怎麼對自己的idol的）。這是一篇劃時代的論文，然而當時的人們不會從一本中學的雜誌上去尋找劃時代的論文的，魏爾斯特拉斯依然籍籍無名。到了1853年，魏爾斯特拉斯研究阿貝爾和雅可比留下的難題，並精心寫作關於阿貝爾函數的論文。該論文於1854年發表於克列爾（還記得這個克列爾嗎？在阿貝爾最困難的時候曾經幫助過他，看來克列爾跟阿貝爾真是一輩子都糾纏到一起了）的《雜誌》，引起數學界矚目。克列爾說它表明作者已列入阿貝爾和雅可比的最出色的後繼者的行列。劉維爾稱它"科學中劃時代工作之一"，並立即譯成法文發表在他所創辦的《純粹與應用數學雜誌》上。終於，魏爾斯特拉斯開始聲名鵲起了，這時候他40歲。
1856年，魏爾斯特拉斯成為柏林大學的副教授，他立即著手系統建立數學分析（包括複分析）的基礎，並進一步研究橢圓函數與阿貝爾函數。魏爾斯特拉斯的名氣開始越來越大，他所教授的班級開始變得越來越龐大，然而聽眾的質量卻並沒有隨著數量的增加而有所提升。不過魏爾斯特拉斯還是以桃李滿天下而著稱的，他的學生中包括著名的女數學家柯瓦列夫斯卡婭、施瓦茨、富克斯、米塔·列夫勒、朔特基、柯尼希貝格等人。
柯瓦列夫斯卡婭
魏爾斯特拉斯在數學上的貢獻是十分巨大的，在解析函數方面他用冪級數來定義解析函數，並建立了一整套解析函數理論，與柯西、黎曼一起被稱為函數論的奠基人。從已知的一個在限定區域內定義一個函數的冪級數出發，根據冪級數的有關定理，推導出在其它區域中定義同一函數的另一些冪級數，這是他的一項重要發現。他把整函數定義為在全平面上都能表示為收斂的冪級數的和的函數；它的還斷定，若整函數不是多項式，則在無窮遠點有一個本性奇點。魏爾斯特拉斯關於解析函數的研究成果，組成了現今大學數學專業中複變函數論的主要內容。
複變函數（看到這個封面的時候，後背上涼嗎？）
在橢圓函數方面。魏爾斯特拉斯繼阿貝爾、雅克比之後，在這方面作出了巨大貢獻。他將橢圓函數分別化成含有一個三次多項式的平方根的3個不同形式，把通過"反演"的第一個積分所得的橢圓函數作為基本的橢圓函數，還證明了這是最簡單的雙週期函數。他證明了每個橢圓函數均可用這個基本橢圓函數和它的導函數簡單地表示出來。總之，魏爾斯特拉斯把橢圓函數論的研究推到了一個新的水平，進一步完備了、改寫了、並且美化了其理論體系。
在代數領域，他對同時化兩個二次型成平方和給出了一般方法，並證明了若二次型之一是正定的，即使某些特徵值相等，這個化簡也是可能的。後來又完成了二次型的理論體系，並將這些結果推廣到了雙線性型。
在數學分析方面，魏爾斯特拉斯關於分析嚴格化的貢獻使他獲得了"現代分析之父"的稱號。他是把嚴格的論證引進分析學的一位大師，為分析嚴密化作出了不可磨滅的貢獻，是分析算術化運動的開創者之一。這種嚴格化的突出表現是創造了一套語言，用以重建分析體系。他批評柯西等前人採用的"無限地趨近"等說法具有明顯的運動學含義，代之以更嚴密的 表述，用這種方式重新定義了極限、連續、導數等分析基本概念，特別是通過引進以往被忽視的一致收斂性而消除了微積分中不斷出現的各種異議和混亂。可以說，數學分析達到今天所具有的嚴密形式，本質上歸功於魏爾斯特拉斯的工作。其中最著名的應該就是他的那個"處處連續處處不可導函數"的"魏爾斯特拉斯方程"了。
魏爾斯特拉斯方程
魏爾斯特拉斯方程的局部圖（實際上這個圖是畫不出來的）
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