數學：多次相遇問題

相遇問題

第一次相遇兩人一起行完一個全程。第二次及以後每次相遇必須各自行完第一次的二倍路程，一起完成兩個全

程。因為第一次見面後是反向而行的，各自到達對面（完成第二個全程）再返回（相向而行完成第三個全程）才能再見面。

例：甲、乙二人從A、B兩地相向而行。在離A地60千米處第一次相遇，而後繼續往前走，各自到達A、B兩地後立即返回，第二次在距B地30千米處相遇。問A、B兩地相距多少千米？第三次、第四次再相遇應該在什麼位置？

解：

第二次相遇時，甲從A地出發一共行了60×3=180千米

全程：

180-30=150 （過B點,）

180+30=210（未到B）

乙從B地出發一共行了（150-60）×3=270千米

（210-60）×3=450千米

驗算：兩種全程

（1）第二次相遇過B點：

（60×3）+（150-60）×3

=180+270

=450千米（三倍單程）

450÷3=150千米（單程）

（2）第二次相遇未過B：

（60×3）+（210-60）×3

=180+450

=630千米（三倍單程）

630÷3=210（單程）

第三次、弟四次相遇分別在（按第二次相遇時甲已過B點30千米計算）：

第三次相遇：

甲：60×2+30=150千米

（正好在A點）

乙：90×2-30=150千米

（正好在A點）

第四次相遇：

甲距A地：

60×2=120千米處

距B地150-120=30千米處

乙離開A地：

90×2=180千米

超過B地：

距B地180-150=30千米處

特別提示：

多次相遇及位置可用公式：

（相遇次數×2-1）×甲或乙第一次相遇時的距離÷全程距離。商為奇數過終點，商為偶數過起點，餘數為過點後的距離。商為整數，奇在

終點、偶在起點。

以上公式以甲或乙首次相遇時的數據為基數均適合。

以上題為例：

第三次相遇為：

3×2-1=5

甲：5×60÷150=2

（商為偶數，無餘數）

應在A處相遇

乙：5×90÷150=3

（商為奇數，無餘數）

應在對面A處相遇。

第四次相遇：

4×2-1=7

甲：7×60÷150=2....120

在過A點120、距B點30千米處相遇。

乙：7×90÷150=4....30

在過B點30、距A點120千米處相遇。

假如是第100次相遇：

100×2-1=199

甲：199×60÷150=79...90

在過B點90、距A點60千米處相遇。

乙：199×90÷150=119..60

在過A點60、距B點90千米處相遇。

同時還應明確兩點：

（1）以上相遇問題的答案不是唯一的，應該都會有兩個：通過第一次相遇時某一方的行程數字和第二次相遇時與某一邊的距離計算出來的單程（A、B之間的距離）總長度應該會有兩個不同的數

字。因為第二次相遇時與離A或B點的距離x，有差（少）x 和（超）多x兩種情況。少x就應加x=單程數字（長度）多x就應減x=單程數字（長度）。如果沒有特別提示，只求出一種情況，一般是按超過前方的A或B點來計算。這樣計算出來的單程距離會少一些。

（2）如果把上述題型改為在長方形、正方形或圓形等封閉路上相遇，第一次相遇只會是甲乙共行全程的1/2，第二次及以後的相遇都是甲、乙共同行完一個全程。其餘計算方法應該與上面的線段類形相同。