連續複利法錯誤漫談十八篇(續四)---數學概念滯後於實際需要的一個例子
數學是研究現實世界的空間形式和數量關係的科學，數學源於生活實際，服務於生活實際。數學知識如滯後於需要，在其它領域的應用中就有可能產生一些不必要的困惑和錯誤，現試舉一例。
1 三個數學表達式
我們在中小學就會學到複利公式
A(t)= A。(1+ R)^t (1)
進而會知道，在數學計算上 ”細菌繁殖細菌”與”利生利”是同一問題，學了導數知識會知道，細菌繁殖、細胞分裂、化學反應、鐳的衰變以及不少經濟的量的變化都可用指數函數 A(t)= A。e^(rt) (2)描述, 當r=ln(1+R)時，(1)式與(2)等價，它們都可用來進行連續計算，也可用來進行離散計算，當時間變量取連續實數時，(1)和(2)式與(dA(t)/dt)/A(t)=r, A(0)=A。 (3)等價。
2 關於常數(dA(t)/dt)/A(t)=r使用中的問題
上述公式(1)(2)(3)表達了自然和社會中許多事物的變化規律，其中A。為初值，1和無理數e是常數， t為時間變量，問題的全部就由一個參數r=ln(1+R), R=e^r-1決定。
在計算資金利息方面，(1)式中的R稱為利息率，在計算人口增長、國民經濟增長、細胞繁殖、樹木增長方面，R被成為增長率，增長率是人們生活中高頻率使用的概念，也是各領域中的通用概念。
而對於(3)式中的r，有很少數學書中稱為“”連續增長率“”，有的書中在講到這一等式時稱為”比例常數”，但都沒有對(3)式中這r能做進一步解釋或說明，就是說，對(3)式中的r沒有形成比較通用的數學概念，或說(dA(t)/dt)/A(t)沒有引起數學工作者充分的注意。
但是(2)式或(3)式中的r又是一個有特別意義的參數，在不同領域都顯現出重要的應用，於是在其它領域就有了各種相應的概念，有的概念解釋不清，在應用上甚至產生錯誤，看幾個例子。
例1 連續複利率
在經濟數學、金融學、貨幣銀行學、工程經濟學、公司理財、衍生工具等課程中講所謂連續複利率來源於連續複利模型: 根據複利公式A。(1+r)^t ，將一年分成m期計算，就得A。(1+r/m)^(mt) ，再令m趨於無窮大，得連續複利公式A。e^(rt) .於是稱A。e^(rt)中的r為連續複利率。
下面《百度百科圖》為通常的解釋。
這解釋是按這種連續複利模型的應用解釋的(前面第三至八篇從六個方面分析了這種連續複利模型的錯誤)，這解釋自然也是錯誤的，下面以年利率為100%為例說明其錯誤或含糊的應用。
多數書中的錯誤應用是，根據這種連續複利模型的推導，把A。(1+100%)^t 中的100%直接拿到A。e^(rt) 中應用，成為A。e^(tx100%)=A。(1+171.28%)^t ,就是根據100%得到了171.28%，這當然是錯誤的。
少數書中的糊塗應用是，如英國人編寫的《核心金融概念：100條金融術語解讀與應用》前面講這種錯誤的連續複利推導，計算時用的是
A。(1+100%)^t=A。e^(txln(1+100%))
=A。e^(0.693t)，在某些應用中，為了和其它量應用一致，必須轉換成以無理數e為底的函數，其實際數值與A。(1+100%)^t計算結果還是一致的。就是說把年利率100%轉換成了所謂的連續複利率成0.693 .一方面這種應用用的是連續複利模型產生的概念“連續複利率”，好似用到了連續複利模型；另一方面，這種用法實際與連續複利模型無關(不講連續複利模型，這恆等式成立)，這種用法的糊塗是，前面講用不到的連續複利模型，後邊的正確計算中又否定了這種連續複利模型。
例2 連續複利收益率
這一名詞構成是基於錯誤的連續複利模型，其解釋很自然地就陷入這種連續複利思維中去了，僅就本人見到的，其定義又分兩種:
《百度百科》上用的是數學恆等式A。(1+ R)^t (1)=A。e^(rt)， (r=ln(1+R))，解釋中用的是連續複利模型的思維，見下面截圖中綠線劃出的一句。
有的書定義連續複利收益率為
ln(A(1)/A(0))(也稱對數差分收益率)。這兩種定義方式等價，實際有一個共同點是，連續複利收益率這兩種定義方式只用到事物的初值與終值，不考慮其它時刻的瞬時變化，這兩種定義方式都與連續複利模型構成無關。
例3 利息力，又稱利息強度
金融數學、利息理論中用dA(t)/dt)/A(t)=r定義利息力。見下面《百度百科》上的截圖
這裡存在問題，一是解釋為“是衡量在某個確切時點上利率水平的指標”，“是時刻t時瞬時獲取利息的能力“，這解釋近乎沒有解釋；連續複利計算本身是錯誤的，這樣越解釋越糊塗；二是，《百度百科》中用數學式子解釋利息力，截圖中綠線劃出的兩個式子是多餘的，前邊一個是錯誤的；三是，有些書，例如Kellison,S.G.著作《利息理論》解釋說，”它還可在實際中被用作那種轉換非常頻繁(例如按日計)的利息的近似”，這還是錯誤的連續複利模型的思維。
整體反映的是，解釋者沒有搞懂利息力的確切含義。
例4 瞬時增長率
生物學中有瞬時增長率概念，見下面截圖。
瞬時增長率的構成是“瞬時”+“增長率”，這解釋還是“瞬時”+“增長率”。人們熟知的增長率是時間段上的概念，“瞬時”是時刻概念，這兩個概念組成一個新概念，而且沒有進一步新的解釋就讓人很不好理解。
年增長率為100%時，月增長率就為
(1+100)^(1/12)-1=5.95%，日增長率為
(1+100)^(1/365)-1=0.19%，可以推證，時間段越小，其增長率越小，其極限值是0，就是說，瞬時增長率的構成是“瞬時”+“增長率”，但這“增長率”還不是通常的增長率含義，又沒有其它說明，這就讓讀者很不好理解了，乃至2006年有專篇文章《瞬時增長率的概念及應用》解釋這一概念，實際還是沒有解釋明白，根源當是沒有相應的數學概念支持。
例5 連續增長率
有的數學教材在從數學角度上稱(dA(t)/dt)/A(t)=r為連續增長率，就是“連續”+“增長率”，這“連續”二字好理解，這裡用到了導數。這“增長率”二字就不好理解了，如前面所說，在一時刻點函數的增長量是0，增長率也就是0。對於“連續增長率”沒有進一步的解釋，“連續增長率”也還是處於與利息力、瞬時增長率同樣的模糊理解上。
3 單位變化率及其應用
由前面兩段可以看到(dA(t)/dt)/A(t)是個很重要的式子，(dA(t)/dt)/A(t)=r為常數時反映了自然和社會中許多量的變化規律。
函數A(t)的導數也稱為函數的變化率，函數的導數dA(t)/dt除以這個函數(dA(t)/dt)/A(t)就是數量1的變化率，可稱為單位變化率(見《連續複利法的辨證與應用》)，(dA(t)/dt)/A(t)=r為任意時刻數量1的變化率(變化速度)。
有這一數學解釋，就很容易理解如上的各概念。
單位變化率用於瞬時意義，“連續複利率”、“利息力”就是任意時刻t時任意1單位資金的增值速度，“瞬時增長率”表達的是任意時刻t任意1單位生物的生長或繁殖速度。
關於連續複利收益率上邊已經說明，本人見到的兩種定義都與連續複利模型無關，但這定義前面卻用了“連續複利”作限定詞，這就很容易給人形成錯誤的認識。
總之，在其它領域的應用中形成了一些錯誤和模糊概念，並形成一些錯誤計算，原因是作為工具的數學概念滯後於其它領域的實際需要，應用單位變化率解釋其它領域中相應的這幾個概念，問題就清楚多了，而且不易產生計算方法上的錯誤。
