三集合容斥問題
我們先看一個題，瞭解下什麼是三集合容斥問題問題。
【例1】某專業有學生50人，現開設有甲、乙、丙三門必修課。有40人選修甲課程，36人選修乙課程，30人選修丙課程，兼選甲、乙兩門課程的有28人，兼選甲、丙兩門課程的有26人，兼選乙、丙兩門課程的有24人，甲、乙、丙三門課程均選的有20人，問三門課程均未選的有多少人？（ ）
A.1人 B.2人 C.3人 D.4人
本例中，學生學三門課，學這三門課的學生之間存在交叉的情況，這是一個典型的三集合容斥問題。
三集合容斥問題公式：
（1）A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=總數-三者都不滿足的個數
解釋：把ABC想象成三個圓形紙片，ABC疊加在一起的面積等於ABC面積之和減去兩兩重疊的部分，但是中間三者重疊的部分減去了三次，相當於被挖空了，所以還得加上它。
（2）A+B+C-只滿足兩個條件的個數-2倍滿足三個條件的個數=總數-三者都不滿足的個數
解釋：把ABC想象成三個圓形紙片，ABC疊加在一起的面積等於ABC面積之和減去重疊兩層的面積，再減去重疊三層的面積的兩倍。重疊2層，只用減去1層，重疊3層，得減掉2層。
（3）只滿足一個條件的個數+只滿足兩個條件的個數+滿足三個條件的個數=總數-三者都不滿足的個數。
解釋：把ABC想象成三個圓形紙片，ABC疊加在一起的面積等於只有一層的面積+重疊兩層的面積+重疊三層的面積。
我們再來看例1：
【解析】例1符合公式（1）的情況，設什麼課都沒選的人數是x，則根據公式（1）：40+36+30-28-26-24+20=50-x，得x=2。所以什麼課都沒選的同學有2人。
【例2】某鄉鎮舉行運動會，共有長跑、跳遠和短跑三個項目。參加長跑的有49人，參加跳遠的有36人，參加短跑的有28人，只參加其中兩個項目的有13人，參加全部項目的有9人。那麼參加該次運動會的總人數為？（）
A.75 B.82 C.88 D.95
【解析】本題滿足公式（2）的應用條件，所以49+36+28-13-2*9=總人數=82
【例3】某企業調查用戶從網絡獲取信息的習慣，問卷回收率為90%。調查對象中有179人使用搜索引擎獲取信息，146人從官方網站獲取信息，246人從社交網站獲取信息，同時使用這三種方式的有115人，使用其中兩種的有24人，另有52人這三種方式都不使用，問這次調查共發出了多少份問卷？
A.310 B. 360 C. 390 D. 410
【解析】本題符合公式（2）的應用條件，所以179+146+246-24-2*115=90%總問卷數-52，得總問卷數=410。
【例4】聯歡會上，有24人吃冰激凌、30人吃蛋糕、38人吃水果，其中既吃冰激凌又吃蛋糕的有12人，既吃冰激凌又吃水果的有16人，既吃蛋糕又吃水果的有18人，三樣都吃的則有6人。假設所有人都吃了東西，那麼只吃一樣東西的人數是多少?
A.12 B.18 C.24 D.32
【解析】總人數=24+30+38-12-16-18+6=52
總人數=只吃一樣的人數+只吃兩樣的人數+吃三樣的人數
只吃兩樣的人數=12+16+18-3*6=28
故52=只吃一樣的人數+只吃兩樣的人數28+三樣全吃的人數6，得只吃一樣東西的人數為18
【例5】在一項課題研究中，數據蒐集方式有問卷調研、當面訪談與電話訪談三種。參加問卷調研的有27人，參加電話訪談的有21人。參加了三種數據蒐集方式的有5人，既參加問卷調研又參加當面訪談的有9人，既參加問卷調研又參加電話訪談的有12人，既參加當面訪談又參加電話訪談的有7人。已知只參加當面訪談的人數佔數據蒐集人員總數的20%，則數據蒐集人員共有多少人？
A.45 B. 50 C. 55 D. 60 E. 65 F. 70 G. 75 H. 80
【解析】設參加數據蒐集人員共有x人，則只參加當面訪談的人事0.2x。那麼參加當面訪談的所有人數是多少呢？應該是0.2x+9+7-5=0.2x+11（加問卷調研又參加當面訪談的9人與參加當面訪談又參加電話訪談的7人中有5人是重合的，就是那5個三種蒐集方式都參加的人，所以要減去5）。於是：0.2x+11+27+21-9-12-7+5=x，得x=45。故答案選A。本題是17年4.22聯考陝西卷，8個選項。
