今天給大家分享的是2020年河南中考數學預測卷第19題，主要考查圓的綜合，對這部分內容掌握不太好的同學可以試一試。
【例題】
19.如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，CD為不過圓心且垂直於AB的弦，CD交AB於點E，連接CO並延長交⊙O於點F，連接CB和DF並延長交於點G．
（1）求證：CF＝GF；
（2）填空：①若AB＝4，則△COE面積的最大值是 ；
②當∠BGF 時，四邊形BODF為菱形．
圖1
【涉及考點】圓的綜合題．
【解題分析】
（1）根據圓周角定理證明BF垂直平分線段CG，即可證明CF＝GF；
（2）由（1）可知，OE是三角形CDF中位線，所以S△COE＝1/4S△CDF，當點H與點O重合時，高DH最大，此時DH＝DO＝1/2AB＝1/2*4=2，S△CDF的最大值為1/2*4*2=4，則△COE面積的最大值是1/4*4=1．
（3）由四邊形BODF為菱形得OD＝DF＝BF＝OB＝OF，所以△BOF、△DOF為等邊三角形，∠OFD＝∠OFB＝60°，∠BFG＝60°，即求出∠FBG＝∠FB∠BGF＝90﹣60°＝30°．
【詳細解答過程】
解：（1）連接BF．
圖2
∵CF為直徑，
∴∠CBF＝90°，∠CDF＝90°，
∵CD⊥AB，AB為直徑，
∴∠CEB＝90°，CE＝DE，
∴∠CEB＝∠CDF，
∴AB∥DF，
∴CB＝BG，
∴BF垂直平分線段CG，
∴CF＝GF；
（2）過點D作DH⊥CF於H．
圖3
由（1）可知，OE是三角形CDF中位線，
∴S△COE＝1/4S△CDF，
當點H與點O重合時，高DH最大，此時DH＝DO＝1/2AB＝1/2*4＝2，
S△CDF的最大值為1/2*4*2=4，
∴則△COE面積的最大值是1/4*4=1．
所以答案為1．
（3）連接OD、BF．
圖4
∵四邊形BODF為菱形．
∴OD＝DF＝BF＝OB＝OF，
∴△BOF、△DOF為等邊三角形，
∴∠OFD＝∠OFB＝60°，
∴∠BFG＝60°，
∵∠FBG＝∠FBC＝90°，
∴∠BGF＝90﹣60°＝30°．
故答案為30°．
【總結】這道題主要考查了圓綜合知識，熟練運用垂徑定理、菱形的性質是解題的關鍵．
圖5
