數學裡的魔法——方程cosx=x的解

說起cosx=x的解，簡直就像數學裡的魔法一樣，因為只要你在計算器上一直點cos，然後隨便輸入一個數值，例如1，就能得到這個方程的解，你可以理解成這個方程的解x=cos（cos（cos（……cos（1）……）））≈0.739085133216rad，是不是感覺不可思議，下面小編帶你探索cosx=x究竟應該如何解。

探究本質

cosx=x的解

估計許多同學看到上面的式子感覺對數學不再愛了吧，哈哈，不怕不怕，看似複雜，實際其實挺簡單的。如果僅僅是求近似解，相信大多數同學都會使用牛頓迭代法，俗稱流數法，只要假設f(x)=x-cosx，就可以利用x=x。-f(x。)/f'(x。)一直迭代得到這個方程的近似解。而對於為什麼x=cos(cos(cos(……cos(x。)……)))，這個也是迭代法呀，那為什麼是這種形式的迭代呢？其實我們不妨把x=cosx看成是xn=cosx(n-1)，然後隨便假設一個x。，哈哈是不是當n趨於無窮大的時候就是這個結果了？這種方法其實也是某種意義上的流數法。

但是數學的美畢竟不在近似解，而在於完美解，只有完美地把解的形式表達出來，才能真的稱之為數學中的魔法。cosx=x其實是一個超越方程，但是並不是所有的超越方程都有完美解，只有被上帝眷顧了的超越方程才有可能得到完美解，而cosx=x正是這樣一個幸運兒，下面我們來看應該如何求cosx=x的完美解。

深入分析

我們令x=π/2-t，代入cosx=x得sint=π/2-t，整理得t+sint=π/2，這個不就是開普勒方程嗎？可能許多同學問啥是開普勒方程呢？好的，下面開普勒方程隆重登場：

E-esinE=M

這個是開普勒用來求解天體運動的方程，它的性質非常多。至此我們知道了cosx=x其實等價於開普勒方程，只要求出這個方程的解，那cosx=x的解也就知道了，好的二話不說，我們馬上來求解開普勒方程。

開普勒方程的求解過程

於是我們得到了E-esinE=M的貝塞爾函數解：

開普勒方程的貝塞爾函數解

於是我們不難得到cosx=x的完美解：

cosx=x的完美解

總結

一切神奇的數學結果都有其嚴謹的推導過程，只要我們科學探知，那麼數學就可以成為我們探索宇宙的工具，cosx=x的解只是大自然的某一種魔法而已，還有更多的魔法有待我們去破解。