A 司馬懿PK諸葛亮：贏家是誰？
三國時期，諸葛亮親率蜀軍北征，安排馬謖鎮守戰略要衝街亭。
但是，馬謖把孔明的部署拋諸腦後、自作主張，導致街亭失守，司馬懿趁勢率15萬大軍直撲諸葛亮的大本營西城。這時，諸葛亮身邊沒有武將，只有一班文官、2500個兵卒，不足魏軍的2%，雙方實力判若天淵，怎麼辦？
孔明傳令，將旌旗盡皆隱匿；諸軍各守城鋪，如有妄行出入及高言大語者，斬之；大開四門，每一門用二十軍士，扮作百姓，灑掃街道。孔明乃披鶴氅，戴綸巾，引二小童攜琴一張，於城上敵樓前，憑欄而坐，焚香操琴。
諸葛亮決定冒險一搏。他不疾不徐地安排好一切，然後端坐在城樓上：
司馬懿前軍哨到城下，見了如此模樣，皆不敢進。懿笑而不信，遂止住三軍，自飛馬遠遠望之。果見孔明坐於城樓之上，笑容可掬，焚香操琴。左有一童子，手捧寶劍；右有一童子，手執麈尾。城門內外，有二十餘百姓，低頭灑掃，傍若無人，懿看畢大疑，便到中軍，教後軍作前軍，前軍作後軍，望北山路而退。
司馬昭認為這是孔明使詐，不足為懼，但司馬懿的看法恰恰相反：
懿曰：“亮平生謹慎，不曾弄險。今大開城門，必有埋伏。我兵若進，中其計也。汝輩豈知？宜速退。”
司馬懿認為諸葛亮一生行事嚴謹，斷斷不會在無人守城的情況下大開城門。諸葛亮對此已有預判：
孔明曰：“此人料吾生平謹慎，必不弄險；見如此模樣，疑有伏兵，所以退去。吾非行險，蓋因不得已而用之。”
為什麼司馬懿認為西城不是“空城”？ 他的分析判斷充分體現了貝葉斯思維。
▶首先，司馬懿攜街亭大勝的聲威、憑十五萬大軍的兵力，原本打算與蜀軍再決雌雄；諸葛亮在街亭失守之後，也可能採取閉門拒戰的策略，但是，撤兵棄城（出現空城）的可能性很小；
▶接著，當司馬懿來到城下，發現諸葛亮既沒有排開陣勢、準備與漢軍再戰，也沒有緊閉城門、堅壁清野，而是優哉遊哉地撫琴，城門洞開，不見一兵一卒。這種意外（現在稱為“黑天鵝”）使他不得不重新判斷情勢，對此前的樂觀估計作出大幅調整：
【情景一】如果是空城，諸葛亮在城樓上彈琴的概率有多大？
以諸葛亮的處事原則，司馬懿斷定他不會如此憑空冒險，所以這種情景的概率微乎其微。
【情景二】如果不是空城（已有埋伏），諸葛亮彈琴的概率有多大？
蜀軍在街亭戰敗，諸葛亮很難在短時間內再次集結部隊，此時選擇“以逸待勞”是上策，他很有可能在西城裡設下機關、布好陷阱，打開大門，是為了引魏軍進入埋伏圈，這種情景的概率非常高。
因此綜合來看，司馬懿得出判斷：諸葛亮行事一向穩健、謹慎，他敢於城門大開、閒坐撫琴，必定是早有準備，“西城是空城”的概率很低。
如果魏軍的統帥換做沒有如此理性的司馬昭，很可能不管三七二十一，直接率兵攻打進去，別說拿下西城，活捉彈琴的諸葛亮也完全有可能……
這麼一來，《三國演義》的後二十五回就要重寫了。
在諸葛亮與司馬懿的此番較量中，表面上是諸葛亮險勝、秉持理性的司馬懿稍遜，但應該看到的是，“空城計”是非常極端的選擇，諸葛亮賭上身家性命為之一搏，這在常態情況下是絕對不可取的。
反觀司馬懿，對情勢進行細緻的分析、對風險進行合理的評估，這種理性的思考方式，才是更值得我們學習和效仿的。
在他的判斷過程中，充分體現了一個重要的理性思維準則——貝葉斯思維。
B 什麼是貝葉斯思維
貝葉斯思維，是指按照貝葉斯定理分析問題的思維方式，主要內容是當面對不確定性的問題時，除了要根據現有條件進行分析，還需要考慮在相反的條件下、出現同樣情況的可能性（即概率），並且據此對結論進行糾偏調整，這樣才能得出更客觀、準確的判斷。
舉個例子，如果天上出現烏雲，下雨的概率有多大？
你可能首先想到“下雨時出現烏雲的概率”，但是，它和上面的問題是不同的兩件事，不能直接用“下雨時出現烏雲的概率”來替代“出現烏雲時下雨的概率”。
除了“下雨時出現烏雲的概率”，我們還要考慮“不下雨時出現烏雲的概率”，根據這個概率對上一步的判斷進行調整，整個過程就是貝葉斯思維。
如果歷史數據顯示，後一個概率比較高（比如在雲南大理等高海拔地區，有時出現烏雲但並不會下雨），那麼僅僅根據“天上有烏雲”的條件，就不能推斷出“下雨”，或者說，“下雨”的概率很低。
回到“空城計”的故事。根據“諸葛亮撫琴”的條件，能否作出 “西城是空城” 的判斷？
司馬懿想到了這個問題的對立面，也就是在“西城不是空城”的條件下，“諸葛亮撫琴”的可能性更大，由此，他認為“西城是空城”的概率很低，從而做出了撤軍的理性決定。
“相反條件”在概率論中稱為備擇假設，它是貝葉斯思維中的兩個重要支柱之一。
這是對貝葉斯思維的通俗解釋。貝葉斯思維來源於貝葉斯定理，它的“本尊”是什麼樣兒呢？
C 擲篩子的上帝與貝葉斯定理
在西方的統計學和概率論建立之後，人們認為這完全證明了“上帝也在擲骰子”。
不過，十八世紀的英國數學家托馬斯·貝葉斯發現了統計學中的一些缺陷，他認為人類在“擲骰子的上帝”面前也不是完全無能為力、聽天由命。
貝葉斯提出，應當在統計計算中引入主觀因素：
用客觀的新信息更新我們最初關於某個事物的信念後，我們就會得到一個新的、改進了的信念。
比如，如果一個人總是做一些好事，我們會推斷那個人是一個好人。也就是說，當你不能確定某一個事件發生的概率時，你可以通過與其相關的其它事件發生的概率，來推測該事件發生的概率。
如果用A、B代表兩個不同但相關的事件，P(A)、P(B)代表它們發生的概率。很顯然，在事件B發生的條件下、事件A發生的概率P(A/B)，以及在事件A發生的條件下、事件B發生的概率P(B/A)，是截然不同的，它們之間有什麼關係呢？
貝葉斯經過研究，把這個關係歸納成了數學等式：
P(A/B)=P(A)*P(B/A)/P(B)
它表示的是，在B發生的條件下、A發生的概率P(A/B)，不僅與A發生的概率P(A)、B發生的概率P(B)有關係，也與在A發生的條件下、B發生的概率有P(B/A)關。
這就是貝葉斯定理。
以前面“下雨”的例子來說，在“天上有烏雲”的條件下的“下雨”概率，除了要考慮“天上有烏雲”的一般概率、“下雨”的一般概率，還要反向考慮在“下雨”的條件下、“天上有烏雲”的概率，
用貝葉斯公式表達為：
用貝葉斯定理把司馬懿的分析過程表達出來，是這樣子的：
這就是說，與其他統計學方法不同，貝葉斯方法是以主觀判斷為基礎，先對目標估計一個值，然後根據其它條件或者事實不斷修正，逐步逼近正確結果。
D 五步學會貝葉斯定理
為了幫助你更順暢地理解貝葉斯定理，我總結了一個“五步法”，以基本概念為線索、層層遞進：
第一步，正向概率
以“新冠肺炎”為例，根據目前已知的數據，武漢的新冠肺炎患病率為0.36%（累計確診病例50000、總人口約1400萬），隨機選擇一個武漢人，他是新冠肺炎患者的概率有多大？答案是0.36%。
這種概率稱為正向概率，根據總體樣本的分佈情況，直接計算出單一事件發生的概率。
第二步，條件概率
接下來，我們把這個問題倒過來，從後向前看，上面的問題就變成：
隨機選擇一個武漢人，如果他有發燒、咳嗽等症狀，他是新冠肺炎患者的概率有多大？
這就是上面講到的條件概率，即根據一定的信息（即條件），逆向推測相關事件發生的可能性。
第三步，聯合概率
聯合概率是指事件A與事件B同時發生的概率，記作P(A,B），很顯然，P(A,B)＝P(B,A)。
利用條件概率，把等式兩邊的聯合概率分別展開：
P(A,B)=P(A)* P(B/A)——事件A發生的概率、乘以在A發生的條件下B發生的概率
P(B,A)=P(B)* P(A/B)——事件B發生的概率、乘以在B發生的條件下A發生的概率
兩個等式都表示“事件A與事件B同時發生”的聯合概率：
P(A)* P(B/A)= P(B)* P(A/B)
經過數學變形，就得到了條件概率的求解公式：
P(A/B)= P(A)* P(B/A)/ P(B) ………（1）
這是貝葉斯定理的基本形式。應用到上述的例子中：
P(患病/有症狀)= P(患病)* P(有症狀/患病)/ P(有症狀)
第四步，全概率
在上面的等式中，P(B)稱作全概率，可以展開成：
P(B)=P(A)* P(B/A)+P(~A)* P(B/~A) ………（2）
其中，P(~A)表示與A相反情況發生的概率。
全概率的計算是關鍵一步。很多時候我們會忽略“未患病者中的有症狀者”（即備擇假設），導致對概率的錯誤估算。
在我們的例子中，P(有症狀)就是全概率：
P(有症狀)=P(患病)* P(有症狀/患病)+ P(未患病)* P(有症狀/未患病)
第五步，貝葉斯定理
把全概率等式（2）代入等式（1）的分母中：
P(A/B)= P(A)* P(B/A)/ [P(A)* P(B/A)+P(~A)* P(B/~A)]
這是貝葉斯定理的完整形式。
等式右邊的P（A）稱為“先驗概率”，表示在沒有考慮條件B的情況下、A發生的概率；左邊P（A/B）稱為“後驗概率”，表示在根據條件B進行修正後的A發生的概率。
在上面的例子中，已知患病者的比例是0.36%，假設在“正常人”、“患者”兩部分人中，“有症狀”的比例分別為0.1%、85%：
在後面的G部分，我們會從另一個角度審視這個例子。
E 貝葉斯思維的應用實例
接下來我們用一些實例詳細說明如何運用貝葉斯定理。
特別請你注意的是，數字只是為了幫助我們準確理解這個定理，重點在於計算過程、方法和邏輯，計算結果並不重要。在實際應用中，我們有時缺乏具體有效的數據（比如下面的例二），但仍可以按照以往經驗、或者參照相近的類別進行粗略估計，不會影響最終的判斷。
■ 應用一：漢密爾頓？麥迪遜？
在美國著名政治文獻《聯邦黨人文集》中，有12篇文章的作者一直存有爭議，無法確定究竟是漢密爾頓還是麥迪遜。
1787年，哈佛大學統計學家通過研究發現，在已經確定作者的73篇文章中，漢密爾頓寫了9.4萬字，麥迪遜寫了11.4萬字。
根據他們各自的用詞偏好、即12篇文章中的相關詞彙出現頻率（詞頻），利用貝葉斯公式，學者們就能推測出這些文章的作者歸屬：
■ 應用二：孩子撒謊了嗎？
孩子今天放學回來說老師沒佈置作業，你有些不放心，因為在這件事上，孩子以前撒過謊。
你打電話給他的同學明明，明明也說今天沒留作業。現在你需要判斷P(孩子說真話/明明說真話)。
你不僅要考慮“孩子說真話”的基礎概率，即P(孩子說真話)，還要考慮“當孩子說假話時、明明說真話”的概率，即貝葉斯定理中的備擇假設，以此來驗證基礎概率。
你知道明明是孩子的好朋友，兩個人常常會“串通口供”，那麼，“當孩子說假話時、明明說真話”的概率很低。這時，如果你能確定明明說的是真話，則“孩子說真話”的概率就會被向上修正，也就是說，你應該認為孩子說的是真話。
換個角度來看，如果明明是個誠實的孩子，很少說謊話，不論孩子說的是否是真話，明明都不會撒謊，這種情況下“孩子說真話”的概率不會變化，也就是說，根據“明明說真話”的條件不會影響原有的判斷。
■ 應用三：該買進股票嗎？
你發現某個股票已經基本跌到位了，後面觸底反彈的可能性很高，概率為80%，但你覺得信心不足，花錢找了一位投資高人給你諮詢，他的判斷和你一樣。根據你的瞭解，他以往判斷正確的概率是65%，判斷錯誤的概率是35%，你該怎麼做決定呢？
把這個問題“翻譯”成貝葉斯公式：
經過修正後的概率比此前有一些提升，但幅度不大，原因是他的準確率並不高。如果他的判斷準確性達到95%，最後的結果會提高到96%，你可以更有把握地買進了。
品嚐了幾道“開胃小菜”之後，下面為你送上“主菜”，我們運用貝葉斯思維，對冷戰時期的重大事件“古巴導彈危機”做一深度剖析。
F 古巴導彈危機
1962年，是 “冷戰”時期最危險的時刻，美蘇兩國的激烈對抗，險些將全世界拖入核大戰的深淵。
事件的起因，源於此前美國與古巴關係的惡化。
1961年，美國宣佈中斷與古巴的外交關係，並對古巴實施經濟制裁。三個月之後，美國策劃了入侵古巴“豬灣事件”，加劇了兩國之間的對立態勢。迫於美國強大的壓力，古巴轉向蘇聯尋求援助。
蘇聯面對的形勢是，以兩國軍事力量對比而言，美國不僅常規武器處於絕對優勢，從50年代大力擴充核武庫之後，在核競賽中也處於領先地位，並且在意大利和土耳其境內部署了中程彈道導彈等戰略武器，將蘇聯的重要城市和工業中心納入有效射程之內。蘇聯感受到了前所未有的威脅。
此時古巴向蘇聯求援，正是蘇聯扭轉不利局面的時機，遂決定向古巴部署武器。到1962年9月，蘇聯完成了42枚導彈的運輸和部署，每一枚導彈都攜帶一個威力比廣島原子彈大20至30倍的核彈頭。
蘇聯的行動被美國發現後，招致肯尼迪政府的強烈反彈。美國政府向蘇聯發出警告，要求撤回部署古巴武器，但蘇聯予以了“堅決拒絕”，並表示將對美國的威脅“作出最激烈的回擊”。
肯尼迪立刻下令採取軍事行動。
10月24日，在68個空軍中隊和8艘航空母艦護衛下，由90艘軍艦組成的美國艦隊出動，在從佛羅里達到波多黎各的幾千英里海域上，布成了一個嚴密的弧形，完全封鎖了古巴海域。同時，美國導彈部隊全部處於“高度戒備”狀態，導彈在發射臺上聽候指令。
局勢危在旦夕，任何一方稍有不慎，就會引爆足以摧毀世界的核戰爭。蘇聯需要作出判斷，如果不從古巴撤出導彈，美國發動軍事進攻的可能性有多大？
我們用貝葉斯定理做一分析：
▶蘇美的全球軍備競賽不斷加劇，但沒有發生過正面的直接衝突。在美國沒有封鎖古巴之前，蘇聯不確定“美國發動核戰”的可能性有多大，假設概率是50%；
▶如果“美國發動核戰”，必定會率先攻擊蘇聯已部署在古巴境內的軍事設施，在這種極端情況下，“封鎖古巴”的概率會大幅上升，P(封鎖古巴/美國發動核戰)設定為80%；
▶如果“美國不發動核戰”，即使雙方擦槍走火，很可能僅僅維持在常規戰爭層面，那麼“封鎖古巴”的可能性儘管存在，但是會大幅度下降，P(封鎖古巴/美國不發動核戰)可設定為10%，
由此可以計算出，美國在封鎖古巴的前提下，進一步發動核戰的概率驟升至88%：
由於蘇聯判斷在“美國不發動核戰”的情況下，“封鎖古巴”的概率很小，反過來印證了此前的預判，美國發動核戰的概率將大幅度提升。
俗話說，膽兒大的怕不要命的。
美國子彈上膛，發出了“不惜一戰”的信號。肯尼迪的堅決、果斷，大大出乎赫魯曉夫的預料。
26日，赫魯曉夫致信肯尼迪，充分表達了“和解”的意願，很快得到美國的正面回應。截至11月11日，蘇聯從古巴撤回全部核導彈和轟炸機，美國隨後取消了對古巴的海上封鎖。
如果這場危機演變成熱核戰爭，對於肯尼迪與赫魯曉夫、對於美國蘇聯和全世界，都是“不能承受之重”。
事實上，肯尼迪下令封鎖古巴，是極為冒險的舉動，大有“破釜沉舟”之勢。正如諸葛亮在城樓撫琴一樣，雖然概率很小，但是一旦發生，就會給對方的判斷造成很大壓力；但同時，也是封死了所有退路，把自己逼上了梁山。
在這個意義上，肯尼迪和諸葛亮的選擇都是 “不理性”的。
G 作為壓艙石的“基礎概率”
以上對貝葉斯定理的解釋中，我們把重點放在了“備擇假設”上面，這是貝葉斯定理的支柱之一。在實際應用中，除了忽視“備擇假設”以外，還有另一種情況，也會造成判斷錯誤，這就是貝葉斯定理的另一個支柱——基礎概率。
例如，在D部分的例子中，考慮到“在患者中85%有症狀”，這個比例比較高，如果由此判斷“有症狀者患病”的概率，就會出現高估的偏差。
你應該注意到，整體“患病率”即基礎概率只有0.36%，說明在人群中此病的發病例很低，計算結果顯示“有症狀者患病”的概率只有75%，顯著低於85%，這正是基礎概率的作用。
由於人們的思維習慣，通常會過於關注發生在眼前的具體事件，而忽視潛藏著的、作為基本情況存在的基礎概率，導致出現誇大證據的誤判。
實際上，在臨床診斷、法庭審判、商業分析等很多現實生活領域中，經常發生這類理性謬誤。
H 貝葉斯思維比定理更重要
學習理性思維、學習貝葉斯定理，重點不在於要按照公式詳細計算，而是學會這種思維方式、形成貝葉斯思維的直覺。
在文章的最後，我們簡要總結一下貝葉斯思維的三個關鍵要點：
第一，基礎概率。從唯物哲學的角度看，基礎概率是“矛盾的主要方面”。如果某種情況的發生概率就很低，哪怕證據再確鑿，通常也應該否定這種情況出現的可能性。
以上面的肺炎感染為例，考慮到疾病發生率比較低這個基礎概率，大致能判斷出來很多人出現症狀，與肺炎病毒並沒有關係，而是其他病症引起的，因此需要再做進一步篩查、檢測。
第二，備擇假設。由於思維慣性的原因，我們往往被眼前的證據吸引、迅速做出判斷，卻忽視了在相反情況下的概率。備擇假設促使我們更全面地、完整地思考問題。
第三，證據選擇。在依據證據進行判斷時，需要注意證據的科可靠性、準確性。比如，不能聽信某些來源不明的消息，不能由於一件事情就輕易對別人進行評判。越是重要的事情，越需要儘量充分、詳細的調查；而當證據、條件充分時，就要及時調整先前形成的判斷，靈活應對。
貝葉斯思維是一種應用廣泛的理性思考方式。掌握了這個“利器”，你會在看問題的深度和廣度上都勝人一籌，形成更有見地、更有效的判斷和決策。
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