【知識要點】
要點一、消元法
1.消元思想：二元一次方程組中有兩個未知數，如果消去其中一個未知數，那麼就把二元一次方程組轉化為我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先求出一個未知數，然後再求出另一個未知數. 這種將未知數由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知數由多變少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程組轉化為一元一次方程.
要點二、代入消元法
通過“代入”消去一個未知數，將方程組轉化為一元一次方程，這種解法叫做代入消元法，簡稱代入法．
要點詮釋：
(1)代入消元法的關鍵是先把係數較簡單的方程變形為：用含一個未知數的式子表示另一個未知數的形式，再代入另一個方程中達到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①當方程組中含有一個未知數表示另一個未知數的代數式時，可以直接利用代入法求解；
②若方程組中有未知數的係數為1(或-1)的方程．則選擇係數為1(或-1)的方程進行變形比較簡便；
③若方程組中所有方程裡的未知數的係數都不是1或-1，選系數絕對值較小的方程變形比較簡便．
要點三、加減消元法解二元一次方程組
兩個二元一次方程中同一未知數的係數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法．
要點詮釋：用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：
(1)方程組的兩個方程中，如果同一個未知數的係數既不互為相反數，又不相等，那麼就用適當的數乘方程的兩邊，使同一個未知數的係數互為相反數或相等；
(2)把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程；
(3)解這個一元一次方程，求得一個未知數的值；
（4)將這個求得的未知數的值代入原方程組中的任意一個方程中，求出另一個未知數的值，並把求得的兩個未知數的值用“大括號”聯立起來，就是方程組的解．
【典型例題】
類型一、用代入法解二元一次方程組
【例1】用代入法解方程組：
.
【思路點撥】直接將上面的式子代入下面的式子，化簡整理即可.
【答案與解析】
解：
將①代入②得：
③
去括號，移項，合併，係數化1得：
④
把④代入①得：
∴ 原方程組的解為：
【總結昇華】當方程組中出現一個未知量代替另一個未知量的方程時，一般用直接代入法解方程組.
舉一反三：
【變式】若方程y＝1－x的解也是方程3x＋2y＝5的解，則x＝____，y＝____.
【答案】3，﹣2.
【例2】用代入法解二元一次方程組：
【思路點撥】觀察兩個方程的係數特點，可以發現方程②中x的係數為1，所以把方程②中的x用y來表示，再代入①中即可.
【答案與解析】
解：由②得x＝5-y ③
將③代入①得5(5-y)-2y-4＝0，
解得：y＝3，把y＝3代入③，得x＝5-y＝5-3＝2
所以原方程組的解為
．
【總結昇華】代入法是解二元一次方程組的一種重要方法，也是同學們最先學習到的解二元一次方程組的方法，用代入法解二元一次方程組的步驟可概括為：一“變”、二“消”、三“解”、四“代”、五“寫”．
舉一反三：
【變式1】與方程組
有完全相同的解的是（ ）
A．x+y－2=0
B．x+2y=0
C．(x+y－2)(x+2y)=0
D．
【答案】D
【變式2】若∣x－2y＋1∣＋(x＋y－5)2＝0，則 x= ， y= .
【答案】3,2
類型二、由解確定方程組中的相關量
【例3】方程組
的解
的值相等，則
的值是 .
【思路點撥】將
代入上式，可得
的值，再代入下面的方程可得
值.
【答案】1
【解析】
解：
將
代入②得
，再代入①得
.
【總結昇華】一般地，先將k看作常數，解關於x，y的二元一次方程組再令x=m或y=m，得到關於m的方程，解方程即可．
舉一反三：
【變式】若方程組
的解x與y相等，求k.
【答案】將
代入上式得
，再代入下式得
.
【例4】若方程組
的解為
，試求
的值.
【答案與解析】
解：將
代入得
，即
，
解得
.
【總結昇華】將已知解代入原方程組得關於
的方程組，再解關於
方程組得
的值.
類型三、加減法解二元一次方程組
【例5】直接加減：(蕪湖)解方程組
【思路點撥】注意到方程組中y的係數互為相反數，可將兩個方程直接相加即可消元．
【答案與解析】
解：①+②，得6x＝18，解得x＝3．
將x＝3代入②，得4×3-3y＝11，解得
．
所以原方程組的解為
．
【總結昇華】如果兩個方程中某個未知數的係數的絕對值相等，可將兩個方程直接相加或相減，即可消去這個未知數．
【例6】先變係數後加減：
【思路點撥】注意到方程組中x的係數成2倍關係，可將方程①的兩邊同乘2，使兩個方程中x的係數相等，然後再相減消元．
【答案與解析】
解：②－①×2，得13y＝65．解得y＝5．
將y＝5代入①，得2x-5×5＝-21，解得x＝2．
所以原方程組的解為
．
【總結昇華】如果兩個方程中未知數的係數的絕對值不相等，但某一未知數的係數成整數倍，可將一個方程的係數進行變化，使這個未知數的係數的絕對值相等．
舉一反三：
【變式】解方程組：
【答案】
解： (1)×3：6x+15y=21 (3)
(2)×2：6x+4y=10 (4)
(3)－(4)：11y=11
y=1
代入(1)：2x+5=7
2x=2
x=1
∴
【例7】建立新方程組後巧加減：解方程組
【思路點撥】注意到兩個方程中兩個未知數的係數的和相等、差互為相反數，所以可將兩個方程分別相加、相減，從而得到一個較簡單的二元一次方程組．
【答案與解析】
解：①+②，得7x+7y＝7，整理得x+y＝1． ③
②－①，得3x-3y＝-15，整理得x-y＝-5． ④
解由③、④組成的方程組
得原方程組的解為
【總結昇華】解方程組時，我們應根據方程組中未知數的係數的特點，通過將兩個方程相加或相減，把原方程組轉化為更簡單的方程組來解．
【例8】先化簡再加減：解方程組
【思路點撥】方程組中未知數的係數是分數或小數，一般要先化成整數後再消元．
【答案與解析】
解：①×10，②×6，得
③×3-④，得11y＝33，解得y＝3．
將y＝3代入③，解得x＝4．
所以原方程組的解為
【總結昇華】當二元一次方程組的形式比較複雜時，通常是先通過變形(如去分母、去括號等)，將它化為形式簡單的方程組，再消元求解．
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