上次我們做了這樣一道題：
一位商人有一個40磅的砝碼，由於跌落在地而碎成4塊。後來，稱得每塊碎片的重量都是整磅數，而且可以用這4塊來稱從1至40磅之間的任意整數磅的重物。
問：這4塊砝碼碎片各重多少？
最後，我們求出來是1、3、9、27。
並且用編程做了驗證，看似這道題已經完美解決了，但其實不然。
大家有沒有發現：1=3º，3=3¹，9=3²，27=3³
都是3的次方，這一切都是巧合嗎？肯定不是！
現在想一下，4個正數a、b、c、d，互相之間可以＋可以－，一共可以表示多少個正數？
這個題我們用2種方法解決。
方法一：
①4個正數中任取1個，有 種，1個數字有0個空格，只能+不能－，×1
②4個正數中任取2個，有 種，2個數字有1個空格，可以+可以－，×2
③4個正數中任取3個，有 種，3個數字有2個空格，可以+可以－，×2×2
④4個正數中任取4個，有 種，4個數字有3個空格，可以+可以－，×2×2×2
⑤那麼，4個正數一共可以表示：
º¹²³ =40個正數（不管重複情況）
方法二：
①a、b、c、d任一數字都對應三種情況：要麼+，要麼－，要麼無。
②0×a+0×b+0×c+0×d=0，這種情況不需要，去掉。
③結果有正、有負，呈現對稱性，因此÷2，只取正。
= = =40
OK，根據方法一和方法二可以得到公式：
根據這個公式我們還可以推出更多的公式：
這裡就不繼續了，現在迴歸正題，發現了嗎？
①這正好是等比數列求和公式：
②以下的2對應了+和－兩種運算，說明了這道題為什麼和3有關。
③推理一下，2的n次方之和可以寫成下面這種形式，以下的1對應了+
因此，只用+，用1、2、4、8四個數字可以表示15以內的任何數字。
大家可以用二進制試一下。
0001 1
0010 2
0011 3
0100 4
0101 5
0110 6
0111 7
1000 8
1001 9
1010 10
1011 11
1100 12
1101 13
1110 14
1111 15
其中：
1→1
10→2
100→4
1000→8
1111→1+2+4+8=15
④在三進制中：
1→1
10→3
100→9
1000→27
1+3+9+27=40，而1+10+100+1000=1111
1111（三進制）=1×3³+1×3²+1×3+1=40（十進制）
因此，如果只用+和－，那麼三進制對應的數字：
111以內可以用1、10、100的組合表示。
1111以內可以用1、10、100、1000的組合表示。
11111以內可以用1、10、100、1000、10000……
111111……
1111111……
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