长乐兮未央
用高等数学微积分一下子就能明白其为何是无限值，无限接近真实值。简单说，一个圆被分割成无数个容易计算的小方形拼成，计算小方形面积之和就能知道圆面积，但因为无论小方形多么小，距离圆形边缘始终有缝细，这就导致始终有误差。小方形越小，误差越小，这种方法计算圆面积只能是无限接近真实值，且永远不会是圆面积的真实值。我们课本上很多数学和物理公式都是从微积分原始公式经过多次推导演算后得出的近似值结果的简化公式（圆周率就是演算过程中的产物）。所以，对某些公式费解的时候，看看微积分原始公式时就会很直观的明白其原理。
shenzhengaogao
提问的同学首先你要理解数学上的无限是什么意思。
一个圆，假如指定了半径大小，那么这个圆的面积也就确定了。即S=πR²，这个面积计算公式里有圆周率π。我们都知道π是一个不同寻常的数字，它无限不循环，也就是说，你永远算不完圆周率，即使用最先进的超级计算机永远也算不到最后一位。这是圆周率无限的由来，但是同时圆周率又是有界的。
小学生都知道π在3.1415926和3.1415927之间。这个结论最先是由我国古代杰出数学家祖冲之得到的，他使用刘徽创立的割圆术，内外逼近，内接正多边形是下界，外接正多边形是上界。就这样，一直计算到12288边形，终于得到了这个在当时精确无比的数字。
数学上的无限一般指的都是发散，比如调和级数的和就是发散的，虽然看起来每一项都在逐渐减小，但是你指定一个值，这个级数的和总会加到那个值，虽然调和级数的增加速度非常缓慢。
很多人不理解为什么圆的面积明明是确定的，计算圆面积的π却可以是一个无限不循环小数，难道这里不冲突吗？
这里的π只是一个表示圆周率的符号，它和根号2，根号3没有什么区别，你在平时计算中可以保留根号2，根号3，那为什么就不可以保留π呢？根号2和π同样也是无限不循环小数啊。
假如我们需要具体的计算数值呢？那就根据你的精度要求取多少位来，这一点根本不用担心，现在人类已经把圆周率计算到小数点后31.4万亿位了。随便取，不着急！
事实上有人计算过，假如我们把整个太阳系作为一个圆来计算其面积，取π小数点后35位有效数字，就可以把太阳系的面积精度控制在一个质子的大小以内。所以人们日夜不停地计算圆周率，其实不是为了要在实际中用到这么高的精度，主要目的一个是检测硬件性能，另外一个更重要的原因是检验某些算法的执行效率。
徐晓亚然
圆形简单、对称、精致。但是我们到底要怎样去度量它呢？就这个问题而言，其实质是我们要怎样去度量弯曲的形状。
关于圆形，我们需要注意的第一件事情是，圆上的任意一点距离圆心的距离都相等。毕竟，只有这样它才能够成为一个圆。圆上的任意一点距离圆心的距离，我们称之为圆的半径。由于所有的圆其形状都相同，因此只有半径能够使一个圆区别于另外一个圆。圆的周长，我们称之为圆周（circumference，拉丁语“随身携带”的意思）。我想，对于圆而言，最自然的度量便是其面积和圆周。
让我们从做一些近似开始吧。如果我们在圆上放置一定数目的等距离的点，然后连接各点，由此我们就会得到一个正多边形。
这个正多边形的面积和周长的值比圆的相应值要小一些，但这两对值相当接近。如果我们放置更多的点，则可以使这两对值更加接近。假定我们所使用的点的数目很大，比方说为n。于是，我们就得到一个正 n边形，且其面积和周长与圆的真实面积和周长非常接近。关键的一点是，随着正 n边形边数的增多，正n边形也会越来越近似于圆。那么，此正多边形的面积又是多少呢？让我们将它切分成 n个相同的三角形吧。
这样，每个三角形的底边长度就等于正多边形的边长，令其为 s。而三角形的高度则是从圆心到正多边形边的距离，我们称该高度为 h。因此，每个三角形的面积为1/2hs，而正多边形的面积则为1/2hsn。注意到 sn正好是正多边形的周长，因此我们可以得出如下等式：
其中的 p为正多边形的周长。就这样，使用周长和圆心到边长的距离，我们将正多边形的面积精确地表示了出来。
然而，随着边数 n无限地增大，情况又会怎样呢？显然，正多边形的周长 p将会和圆的周长 C越来越接近，而高度 h也将会逼近圆的半径r。这说明正多边形的面积必然会逼近1/2rC，而同时正多边形的面积也一直在逼近圆的真实面积 A。那么，唯一的结论只可能是，这两个数值必然相等，即
这表明，圆的面积刚好等于半径与圆周的乘积的一半。
一种思考该结论的好方法是，设想将圆周展开成一条直线，则该直线和圆的半径刚好形成一个直角三角形。
我们所得出的公式表明，圆形所占据的面积刚好和这个直角三角形的面积相等。
这里，有一种很重要的方法。仅仅通过做一些近似，我们就不经意地得出了圆的面积的精确表示。关键的一点是，我们并不只是做了几个精确程度很高的近似，而是做了无穷多个近似。我们构造了一个精确程度越来越高的无穷近似序列，这无穷多个近似已经足以让我们看出其中的模式并得到它们的极限。换句话说，我们可以从一个有模式的无穷近似序列中得知真理。因此，将这视为迄今为止人类所产生的最伟大的想法，是有一定道理。
这种奇妙的方法，我们一般称之为穷竭法，它是由古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，柏拉图的一位学生）于公元前 370年左右发明的。它让我们可以通过构造无穷的直线近似序列来度量弯曲的形状。运用穷竭法构造无穷近似序列的诀窍是，所构造出的无穷序列必须具有某种模式——一个无穷的随机数序列并不能告诉我们什么有价值的信息。因此，只有一个无穷的序列是不够的，我们还必须能够发现其中的模式从而理解该序列。
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现在，我们已经用圆周将圆的面积表示了出来。但圆周是否也可以度量呢？对正方形而言，用相对于边长的比例来度量周长是很自然的，即四周的长度与一条边长的比值。同样，对于圆，我们也可以采用这样的方法。通过圆心的直线与圆的两个交点之间的距离，我们称之为圆的直径（显然直径正好是半径的两倍）。因此，对圆来说，类似的度量将会是圆周与直径的比值，即圆周率。由于所有的圆其形状都相同，
因此，对每一个圆来说，该比值都是相等的。通常，我们使用希腊字母 pi 或 π来表示该比值。π对于圆的意义，正与4对于正方形的意义相同。
要对π的取值做一些近似并不是很困难。例如，假定我们在圆中放入一个内接正六边形。
此正六边形的周长正好是圆的直径的三倍。由于圆周比此正六边形的周长要长一些，因此，我们得出π的取值要比 3大一些。如果使用边数更多的正多边形，那么我们将会得到精确程度更高的近似值。阿基米德（生活于公元前 250年左右）就曾使用正 96边形，得出了π≈22/7。许多人都有这样的错觉，以为这是一个严格的等式，但实际上它并不是。π的真实取值要稍微小一点，一个相对精确的近似值是π≈3.1416，一个更精确的近似值π≈355/113，这个近似值由五世纪时的中国古代数学家祖冲之给出。
但是， π的精确取值到底是多少呢？很遗憾，关于该取值的消息相当糟糕。由于 π是无理数（该性质由兰伯特于 1768年证明），因此，我们不可能将它表示为两个整数的比值。特别是，想要将直径和圆周都表示为同一个计量单位的整数倍，则是绝对不可能的。
实际上，我们面临的情况要比处理正方形的对角线时所遇到的情况更糟。虽然√2也是无理数，但我们至少可以这样表述它，即“其平方为2的数”。换句话说，我们可以使用整数的算术来表达√2所满足的关系式，即它是这样的一个数 x，满足 x² = 2。我们虽然也不知道√2的取值到底是多少，但我们知道它的性质。
结果表明，π有着不同的情况。它不仅不能够用分数表示，事实上，它也不能满足任何的代数关系。π有什么用呢？除了表示圆周率之外，其实它并没有什么别的作用。π就是π。像π这样的数，我们称之为超越数（transcendental，拉丁语“超出”的意思）。超越数（它们的数目有很多）根本就超出了代数所具有的表达能力。林德曼于 1882年证明了 π是一个超越数。这真的很神奇，我们居然还能够知道像超越数这样的数。
然而，另一方面，数学家们也发现了不少π的其他表示方法。比如莱布尼茨于 1674年发现了如下的公式：
这里的想法是，随着公式右边相加项数的增多，其相加之和也会越来越接近公式左边的数值。因此， π可以表示为无穷项之和。该公式至少向我们提供了 π的纯数值表示，而且在哲学上它也非常的有趣。更重要的是，这样的表示就是我们所能得出的全部。
圆周和直径的比值是 π。然而，对于这样的比值，我们却无能为力。我们所能做的，只能是将它加入从而扩展我们的语言。
特别地，半径为 1的圆，其直径为 2，因此其圆周为 2π。该圆的面积是半径与圆周乘积的一半，亦即正好是π。将该圆按比例 r放大，由此我们得到一个半径为 r的圆，其圆周和面积可由下列公式得出：
C=2πr
A=πr²
上述第一个公式实际上并无实质内容，它只不过是π的定义的重新表述。第二个公式才真正地有深刻的内容，它和我们在前一节中所得的结果等价，即圆的面积等于其半径与圆周乘积的一半。
然而，值得注意的是，我们所说的四面八方，其实质是在四象限直角坐系中再以二分点做一个直角坐标系，这样，可以依直角坐标系的圆点以1为单位画一个圆，以圆的半经与真角坐标系的重合点作一正方形，这样形成了第一个内圆外方。如此反复，就形成了无数的内圆外方和外方内圆，但这个内圆外方的比率是多少，有多少人可以回答出来呢，这将是比本文还要长的一个话题。
但在真实的世界中并不是这个祥子，九大行星围绕太阳转，地球上发射卫星围绕地球转。其行动轨迹却是椭圆，他又是一个怎样的话题呢。
经常用了
不太清楚问题中的“无限”和“有限”到底想表达什么意思。圆的面积和半径当然不会是无限（大）的，而是有限的，圆周率也不是无限的，它就是Π，约等于3.14，还没有3.15大，怎么是无限的呢？
那么，只有一点，问题中的“无限”应该是向表达“无限不循环”，而“有限”指的是“循环”。
对于圆周率Π，不少人有一种误解，认为“无限不循环就不是确定的数”，这是一种误解。事实上圆周率Π（包括任何其他无理数）与有理数都是确定的数，在这点没任何区别，无理数只是无法用小数准确地写出来，并不代表就不是确定的数。
比如说，在数轴上，我们就能很轻松地画出Π厘米，根号2厘米长度的线段，但是你永远无法用尺子去测量到底是不是Π厘米，因为无论如何都没有精确到无限位数的尺子。
如果圆的半径是有理数，那么圆的周长就是无理数，面积也是无理数。如果圆的半径是无理数，比如1/Π，那么圆的周长就是无理数。也就是说，圆的半径周长面积不可能都是有理数或无理数。
最重要的一点，一定要明白，不能因为无限不循环就认为不是固定的数，Π就是Π，非常固定，正如1就是1一样，区别只有一点：无限不循环和循环（无限循环）。
再举一个简单的例子就明白了，1/3你也无法用小数准确表述出来，它等于0.333无限循环下去，你永远写不完，正如你也永远无法用小数把Π写完是同样的道理，这都不妨碍它们是固定的准确的数！
宇宙探索
无论圆的面积、周长和半径是否无限，圆周率π的小数位都是无限的，这是毫无疑问的。圆周率的大小不取决于圆的大小，圆周率是一个恒定的常数，只是这个常数不是有理数，而是无理数。圆周率的大小是有限的，只是小数位是无限的。
从数学上可以证明，对于任意一个圆，它的周长与直径之比以及面积与半径平方之比都是相等的常数，它就是圆周率。进一步证明表明，圆周率还是一个无限不循环的小数，它的小数位是永远也算不尽的。目前，人类用超级计算机把π的小数位算到了31.4万亿位。但纵使超级计算机的计算能力再怎么强大，也是无法算尽圆周率。
由于圆周率是无理数，那么，圆的面积、周长和半径之中都有可能是无理数。例如，如果一个圆的半径为1，那么，它的周长和面积的大小分别为2π和π。在这种情况下，半径为有理数，周长和面积都为无理数。
再假设圆的半径为1/π，那么，它的周长和面积的大小分别为2和1/π。在这种情况下，半径为无理数，周长为有理数，面积为无理数。
如果圆的半径为1/√π，那么，它的周长和面积的大小分别为2√π和1。在这种情况下，半径为无理数，周长为无理数，面积为有理数。
总之，由于圆周率是无限不循环的小数，这就使得圆的面积、周长和半径不可能都是有理数。但不管怎样，圆都是确定的，半径、周长和面积都有确切的数值，只是这个数可能拥有无穷无尽的小数位。
另外，只有在nπ进制下，欧氏几何中的圆周率才会是一个有理数。而在其他进制下，尤其是人们常用的二进制、八进制等整数进制下，圆周率都是无理数。这种情况放在宇宙中的任何地方都是成立的，我们这个宇宙就是有这样的规律。
如果在非平直的时空中，圆周率则不是常数，其大小会随着曲率而变化。在曲率为正的球体上，圆的周长与直径之比会大于π，并且这个数值会随着曲率的增加而减小。而在曲率为负的双曲面体上，圆的周长与直径之比会小于π。
火星一号
1是有限的，3也是有限的，1/3竟然不是有限的，这是不是一样的道理。
此用户极其懒
圆的直径与周长本没有关系，是人类硬扯上的关系，所以不能有一个最终确切的数值
防民之o甚于川天翼731
说圆周率大于三小于四当然没错，但这太粗率了，应当细一点就是大于3·14而小于3·15，或者再精确一点是在3·1415926至3·1415927之间。现在用超级电脑已把兀值计算到小数点后面十亿多位。
天山149544117
看了一下，一个概念不清的设问，竞引来了很多冗长费劲的回答。
一句话就行了：
无限、无限大、无限循环不一样！！！
太白山人大龙
如果证明π被证明是有限的，那就是说明这个宇宙不存在曲线，圆只不过是n多线段组成，所有物理定理将被重新定义
