长乐兮未央
要对无理数有正确的认识。在生活中，我们用的数字——有理数，基本上都是无理数的近似。比如切一斤肉，肯定不是1.000（无穷个0）斤，而是在某个0后面会出现非0数字，而且这个数字后面接什么数字也不可控，即这个数字是不可预测的无理数，画一条1cm长的线段也是同样道理，只是近似的1cm，本质上是不可预测无理数。相比之下，圆周率这种可预测，可计算的无理数已经是很特殊的无理数了。
djksi528
提问的同学首先你要理解数学上的无限是什么意思。
一个圆，假如指定了半径大小，那么这个圆的面积也就确定了。即S=πR²，这个面积计算公式里有圆周率π。我们都知道π是一个不同寻常的数字，它无限不循环，也就是说，你永远算不完圆周率，即使用最先进的超级计算机永远也算不到最后一位。这是圆周率无限的由来，但是同时圆周率又是有界的。
小学生都知道π在3.1415926和3.1415927之间。这个结论最先是由我国古代杰出数学家祖冲之得到的，他使用刘徽创立的割圆术，内外逼近，内接正多边形是下界，外接正多边形是上界。就这样，一直计算到12288边形，终于得到了这个在当时精确无比的数字。
数学上的无限一般指的都是发散，比如调和级数的和就是发散的，虽然看起来每一项都在逐渐减小，但是你指定一个值，这个级数的和总会加到那个值，虽然调和级数的增加速度非常缓慢。
很多人不理解为什么圆的面积明明是确定的，计算圆面积的π却可以是一个无限不循环小数，难道这里不冲突吗？
这里的π只是一个表示圆周率的符号，它和根号2，根号3没有什么区别，你在平时计算中可以保留根号2，根号3，那为什么就不可以保留π呢？根号2和π同样也是无限不循环小数啊。
假如我们需要具体的计算数值呢？那就根据你的精度要求取多少位来，这一点根本不用担心，现在人类已经把圆周率计算到小数点后31.4万亿位了。随便取，不着急！
事实上有人计算过，假如我们把整个太阳系作为一个圆来计算其面积，取π小数点后35位有效数字，就可以把太阳系的面积精度控制在一个质子的大小以内。所以人们日夜不停地计算圆周率，其实不是为了要在实际中用到这么高的精度，主要目的一个是检测硬件性能，另外一个更重要的原因是检验某些算法的执行效率。
徐晓亚然
圆周率是圆的周长与直径的比值，和面积没有关系，这一点需要澄清一下。圆周率顾名思义就是圆的周长与直径的比值而已。圆周率可以用希腊字母π来表示。
这里需要厘清几个概念：
首先，π是个无限不循环小数，而不是无限的
当我们知道直径是多少的时候，我们就可以用直径乘以π，求得周长是多少，同样，当我们知道周长是多少的时候，我们可以用周长除以π，得出直径是多少。这在实际运用中非常方便。我们可以根据精度的需要来取舍π的小数位数。当我们不需要很精确的时候，可以按3来计算，如果需要得很精确，那么就可以保留到3.14或者更多位数。
π是个无限不循环小数，数的大小在3.14至3.15之间。它就是一个实实在在的数字而已，只不过用小数的形式无法完整的把它的全部呈现在我们面前，只能用省略号表示没录的部分。
其次，要弄清楚π是怎么算出来的
大家知道，无理数一般都是由根号开出来的，比如根号2等于1.414……，这就是个无限不循环小数。那么，π是怎么算出来的呢？最初的时候，就是画一个足够大的圆，然后用精度好的尺子测出周长和直径进行计算就行了，但是，这样的话，难免会有误差的，所以我们的祖先们费了很大的劲，也只能精确到小数点后五六位。
再精确的测量都不如直接用数字计算来得精确。怎么通过不用测量就能计算出圆周率的数值呢？
原来，人们是用内切正多边形的周长来代替圆的周长来计算的。当内切正多边形是六边形的时候，周长与直径的比值为3，当变成正12边形的时候，这个比值就变成3.2左右了。因为在计算的时候用到斜边直角边的关系，就有了开平方，那么无理数也就出来了。
第三，圆周可以看成是一个正的无穷边形，因此π的计算永远不会停止
其实，任何一个整数都可以转化成一个无限循环小数，比如1=0.9999……。同样，圆也可以看成一个正的无穷边形，这样，π的值就可以无限的计算下去啦。
爱河北人
一个直径是一米的圆，它的周长是3.14无限下去。但是它的长度永远不会超过3.15。就像一个直角边是一米的等腰直角三角形。它的斜边是1.414无限下去,但是它的长度永远不会超过1.415.所以傻叉们千万不要再意淫圆周率了。如果你想意淫圆周率，麻烦不要把根号2给漏了。因为根号2也能满足你同样意淫想像。如果你还想不通，我只能奉劝你去学一学收敛这样的概念。这样的概念其实高中课本里面就有。
崔杰8476
不太清楚问题中的“无限”和“有限”到底想表达什么意思。圆的面积和半径当然不会是无限（大）的，而是有限的，圆周率也不是无限的，它就是Π，约等于3.14，还没有3.15大，怎么是无限的呢？
那么，只有一点，问题中的“无限”应该是向表达“无限不循环”，而“有限”指的是“循环”。
对于圆周率Π，不少人有一种误解，认为“无限不循环就不是确定的数”，这是一种误解。事实上圆周率Π（包括任何其他无理数）与有理数都是确定的数，在这点没任何区别，无理数只是无法用小数准确地写出来，并不代表就不是确定的数。
比如说，在数轴上，我们就能很轻松地画出Π厘米，根号2厘米长度的线段，但是你永远无法用尺子去测量到底是不是Π厘米，因为无论如何都没有精确到无限位数的尺子。
如果圆的半径是有理数，那么圆的周长就是无理数，面积也是无理数。如果圆的半径是无理数，比如1/Π，那么圆的周长就是无理数。也就是说，圆的半径周长面积不可能都是有理数或无理数。
最重要的一点，一定要明白，不能因为无限不循环就认为不是固定的数，Π就是Π，非常固定，正如1就是1一样，区别只有一点：无限不循环和循环（无限循环）。
再举一个简单的例子就明白了，1/3你也无法用小数准确表述出来，它等于0.333无限循环下去，你永远写不完，正如你也永远无法用小数把Π写完是同样的道理，这都不妨碍它们是固定的准确的数！
宇宙探索
作者之所以提出这个问题，时把无穷和无限这两个概念搞混了。题目严格来说，应该这样表达：圆的面积绝对不会是“无穷大”的，圆的半径也绝对不会是“无穷大”的，那圆周率到底是不是有限的？这样说才对，而且这么已经修正，相信答案已经呼之欲出：
答：圆周率是一个有限大小的数字，但是小数个数却是无穷的。
无穷和无限
无穷和无限可以认为是形容词，一般形容大和小。比如说无穷大， 那就是说这个数字大的不能再大了。在数学上，无穷可以用符号∞表示，无穷大+∞，无穷小用-∞。无限形容的名词就比较多了，一般说的是个数，表示个数很多，多的无法统计。所以，我们可以说圆周率的位数无限，而不能说圆周率无限，因为圆周率π就一个。
圆周率<strong>
<strong>圆周率是圆形周长和直径的比值，是一个常数。虽然圆周率数字是常数，但是它的位数确实无限的，是一个无理数，我们无法直接写出完整的π。很多人不太理解，为何一个数有限大小，但是我们却写不尽。但其实数学上有很多这样的数，比如√2，√3等等，都是这样的树，我们可以在数轴上找到代表它们的点，但就是无法写出它们。为何会这样？就是因为数字是连续的。
但是现实世界却不一定这样，很多物理量是不连续的。特别是量子世界，比如能量，它就是不连续的，有一个最小的能量值。还有原子的轨道和能级等等，都是不连续的，和数字不一样。
科学探秘频道
无论圆的面积、周长和半径是否无限，圆周率π的小数位都是无限的，这是毫无疑问的。圆周率的大小不取决于圆的大小，圆周率是一个恒定的常数，只是这个常数不是有理数，而是无理数。圆周率的大小是有限的，只是小数位是无限的。
从数学上可以证明，对于任意一个圆，它的周长与直径之比以及面积与半径平方之比都是相等的常数，它就是圆周率。进一步证明表明，圆周率还是一个无限不循环的小数，它的小数位是永远也算不尽的。目前，人类用超级计算机把π的小数位算到了31.4万亿位。但纵使超级计算机的计算能力再怎么强大，也是无法算尽圆周率。
由于圆周率是无理数，那么，圆的面积、周长和半径之中都有可能是无理数。例如，如果一个圆的半径为1，那么，它的周长和面积的大小分别为2π和π。在这种情况下，半径为有理数，周长和面积都为无理数。
再假设圆的半径为1/π，那么，它的周长和面积的大小分别为2和1/π。在这种情况下，半径为无理数，周长为有理数，面积为无理数。
如果圆的半径为1/√π，那么，它的周长和面积的大小分别为2√π和1。在这种情况下，半径为无理数，周长为无理数，面积为有理数。
总之，由于圆周率是无限不循环的小数，这就使得圆的面积、周长和半径不可能都是有理数。但不管怎样，圆都是确定的，半径、周长和面积都有确切的数值，只是这个数可能拥有无穷无尽的小数位。
另外，只有在nπ进制下，欧氏几何中的圆周率才会是一个有理数。而在其他进制下，尤其是人们常用的二进制、八进制等整数进制下，圆周率都是无理数。这种情况放在宇宙中的任何地方都是成立的，我们这个宇宙就是有这样的规律。
如果在非平直的时空中，圆周率则不是常数，其大小会随着曲率而变化。在曲率为正的球体上，圆的周长与直径之比会大于π，并且这个数值会随着曲率的增加而减小。而在曲率为负的双曲面体上，圆的周长与直径之比会小于π。
火星一号
题主的意思大概是，由于圆的面积和半径不可能是无限循环的，所以π的值也不可能是无限循环的，而应该是一个有理数。
首先题主可能认为圆内的面积应该是一个有理数定值，不可能是无理数，然而没有任何定理规定圆的面积必须是一个有理数，实际上只要圆的半径是一个有理数，那么面积就必然是一个无理数，因为π乘以任何有理数的平方，都必然是无理数。
其次题主应该是犯了经验主义的错误，认为我们用尺子去测量，必然不可能把半径或周长量出无理数来，所以就想当然地认为圆面积不可能是无理数，参照我上一条的说法，这显然是错的。
和经验主义相反的是，只有半径为与π相关联的无理数x/根号π，圆的面积才可能是一个有理数，也就是说我们可以堂而皇之地宣称，这个圆的面积是25平方厘米，65平方米等等。所以我们永远无法用圆规实际画出一个面积正好等于某个有理数的圆，很显然，你圆规画出的圆，半径应该是一个有理数值，所以圆面积必然就是一个无理数。
好吧，绕得有点晕，实际只要记住一点，除了半径等于x/根号π的圆，所有圆的面积都是无理数；除了半径等于x/π的圆，所有圆的周长都是无理数。
刚刚想到的，不知道归纳穷尽没有，欢迎指正，谢谢。
徐德文科学频道
圆周率表示圆和多边形的关系。一个圆可以表示为多少边形，就是圆周率。
那究竟一个圆可以表示为有多少个边呢？答案一定是无限个边，所以圆周率是无限不循环的。
在实际应用当中，圆周率的精确程度可以理解为我们用圆周率计算的圆形面积精确程度。
匠人工坊
1是有限的，3也是有限的，1/3竟然不是有限的，这是不是一样的道理。
