今天給大家分享的是2020年浙江省高考模擬第19題,這道題目涉及的知識是關於立體幾何的內容,很多同學的空間想象能力比較薄弱,一遇到這種題目就會覺得很“頭疼”,同時,這部分的內容也是我們得分的關鍵,所以在平常中還是要多多練習。
【例題】
19.已知直三稜柱ABC﹣A1B1C1的所有稜長都相等,且D,E,F分別為BC,BB1,AA1的中點.
(Ⅰ)求證:平面B1FC∥平面EAD;
(Ⅱ)求證:BC1⊥平面EAD.
【解題分析】:
(I)根據直三稜柱的結構特徵及已知中直三稜柱ABC﹣A1B1C1的所有稜長都相等,結合D,E,F分別為BC,BB1,AA1的中點,根據三角形的中位線定理,容易得到AE∥FB1,DE∥B1C,從而由面面平行的判定定理得到平面B1FC∥平面EAD;
(II)根據直三稜柱的結構特徵及已知中直三稜柱ABC﹣A1B1C1的所有稜長都相等,再結合D,E,F分別為BC,BB1,AA1的中點,我們容易判斷出△ABC是正三角形,進而得到AD⊥BC1,DE⊥BC1,再結合線面垂直的判定定理就可以得到BC1⊥平面EAD.
【詳細解答過程】
證明:(Ⅰ)由已知可得AF∥B1E,AF=B1E,
∴四邊形AFB1E是平行四邊形,
∴AE∥FB1,
∵AE⊄平面B1FC,FB1⊂平面B1FC,
∴AE∥平面B1FC;
又 D,E分別是BC,BB1的中點,
∴DE∥B1C,
∵ED⊄平面B1FC,B1C⊂平面B1FC,
∴ED∥平面B1FC;
∵AE∩DE=E,AE⊂平面EAD,ED⊂平面EAD,
∴平面B1FC∥平面EAD.
(Ⅱ)∵三稜柱ABC﹣A1B1C1是直三稜柱,
∴C1C⊥面ABC,又∵AD⊂面ABC,
∴C1C⊥AD.
又∵直三稜柱ABC﹣A1B1C1的所有稜長都相等,D是BC邊中點,
∴△ABC是正三角形,∴BC⊥AD,
而C1C∩BC=C,CC1⊂面BCC1B1,BC⊂面BCC1B1,
∴AD⊥面BCC1B1,
故 AD⊥BC1.
∵四邊形BCC1B1是菱形,
∴BC1⊥B1C,
而DE∥B1C,故 DE⊥BC1,
由AD∩DE=D,AD⊂面EAD,ED⊂面EAD,
得 BC1⊥面EAD.
【總結】這道題主要考查的知識點是平面與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,其中(I)的關鍵是證得AE∥FB1,DE∥B1C,對於(II)的關鍵是證得AD⊥BC1,DE⊥BC1.
今天的分享就到此結束了,這道題目難度不大,希望各位同學好好消化,轉化為自己的東西,加油。
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