前言：數學，是科學之母，是用來定義宇宙同世界的語言，數學和人類文明的進步息息相關。
希臘數學的發展是從公元前7世紀開始起步，雖然比起美索不達米亞，尤其是巴比倫數學遲了好多個世紀，但希臘人站在前人肩上，好快就後來者居上並且超過巴比倫人的成就。
數學的英文“計算”字根也來自古希臘文μάθημα(課程)，而到了希臘化時代，數學的發展更加可以用爆炸性的進步來形容，並誕生出歐幾里德、阿基米德以及阿波羅尼奧斯等影響後世極其深遠的數學家。
歐幾里德與《幾何原本》在數學上的成就及其影響
希臘化時代的第一個偉大數學家是大名鼎鼎的歐幾里德，也即是《幾何原本》的作者。
《幾何原本》在兩千多年來一直在被廣為使用，歐幾里德為被稱幾何之父。
歐幾里德的生卒年份不詳，但大約生於公元前4世紀並終於公元前3世紀，他進行學術研究及創作的主要地點是在埃及的亞歷山大城。
根據歷史文獻記載，數學的發展是得到托勒密政府的官方支持，歐幾里德曾經向托勒密一世私人授課，當被問到學習幾何學的要訣之時，歐幾里德曾回答托勒密“世上沒有通往幾何學的皇室大道”，意思就是學習幾何學並沒有捷徑。
歐幾里德的著作覆蓋幾何及數論，過程中利用嚴謹的邏輯為證，為整個歐幾里德幾何奠下基礎。
《幾何原本》全書共15卷，書中論述幾何基礎，包括基本定義及公理等，如何以點、線建構出直線構成的幾何圖形，也有論述幾何代數、圓、多邊形、比例及相似十二面體的建構等，在此後的2000多年直到現今都成為中學課程數學，尤其是幾何入門的基礎。
與此同時，《幾何原本》中詳細研究質數、最大公因數、最小公倍數、平方數、立方數、幾何級數、無理數等議題，為數論的發展奠下根基，其影響之廣泛深遠，恕小巖難以在此一短篇介紹文章中通通涵括。但小巖會介紹一個歐幾里德的數論成果，就是公元前4世紀未利用反證法證明質數的數量的無限。
歐幾里德先假設有r個質數(即p1=2, p2=3, ...如此類推直至pr)，以及P=p1*p2*...*pr + 1，而P除p1至pr任何一個質數都會餘1，顯示P是一個p1至pr以外的質數，這樣就和最初的假設，即質數只有有限數量的r個相悖，從而證明質數的數量應該是無限。
事實上，《幾何原本》中使用的極限思想，最終將為後來阿基米德所使用的窮舉法，甚至多個世紀之後微積分打下了數學基礎。
歐幾里德《幾何原本》最早的紙莎草抄本，約公元100 年
《幾何原本》於成書後的1900年，在明朝末年公元1607年被西方傳教士利馬竇以及徐光啟翻譯成中文傳入中國，成為西學東漸的一件里程碑式事件。
徐光啟和利馬竇翻譯的《幾何原本》
其實，利馬竇及徐光啟僅翻譯前6卷，後9卷則要等到19世紀中期才完成翻譯。
在數學上繼往開來的一代鬼才阿基米德
歐幾里德仍然在世的時候，希臘化世界又出了一位極其重要的數學家阿基米德。
阿基米德是一位傑出的數學家、物理學家、天文學家以及工程師，是古典時代的一代鬼才。他出生於約公元前287年的希臘化殖民地西西里島的敘拉古，父親是天文學家，家族同敘拉古王室可能有關係，後來往埃及的亞歷山大城學習並進行教研工作，晚年時回到敘拉古。
阿基米德除了發現浮力這個舉世聞名的物理學成就之外，阿基米德的數學成果同樣卓越，他的《方法論》在此後的好長時間內都是後世修習數學的標準教科書之一。
阿基米德利用窮舉法處理拋物線求積、各種立體的表面積及體積的求解，成功求出拋物線下闊1個單位的面積為1/3個單位平方，即方程y=x^2從0到1的定積分(1^3/3-0^3/3=1/3)。
阿基米德也在《數沙者》中發明了利用指數表達極大數目的方法。
阿基米德所提出的最大數為[(10^8)^(10^8)]^(10^8)，這個數字比同時期其他文明所發明的任何大數還要大。
事實上如果將這個數字寫出，所需的空間將超過已知宇宙的大小，阿基米德以這種記數法推算填滿整個宇宙所使用的沙粒數量。此外阿基米德還利用圓內外兩個96邊多邊形的方法，求得圓周率下限和上限為3.1408及3.14285之間。
阿基米德的著作好多已經遺失，但成書於公元10世紀拜占庭，阿基米德手抄本在20世紀的發現為史學界打開了一扇窗，利用現代的多光譜的影像分析，曾經被擦掉覆寫的阿基米德手抄本羊皮書吐出它隱藏10個世紀的秘密，這一發現令歷史學家瞭解到阿基米德在數學理論上的成就比之前想象的走得更遠。
阿基米德羊皮書手抄本
書中內容顯示阿基米德使用無限切片法求出立體的體積，並和近2000年後的微積分達到了相同的結果。因此在微積分的發展中，或許阿基米德是走在最前沿、最早有這個概念的人，其成果遠遠超過了他所處的時代。
公元前212年，第二次布匿戰爭中敘拉古遭到羅馬軍隊攻城，雖然軍力懸殊但阿基米德發明的守城器械扭力弩炮及「阿基米德之爪」拖延了羅馬軍兩年，直到城破後阿基米德被羅馬人派兵搜捕，當時他被羅馬士兵打擾時正在研究的數學畫圖法中的圓圈，他反斥責羅馬士兵“別打擾我的圓圈”，結果被怒火遮眼的羅馬士兵用劍殺死，終年75歲。
描述阿基米德之死的油畫《別打擾我的圓圈》
阿基米德死後羅馬負責圍城戰的統帥馬克盧斯也因他的死感到惋惜萬分，認為世界損失了一位偉大的數學家。
阿基米德最終被葬在敘拉古阿格里真託之門附近，墓碑上刻著一個圓柱體內一個相同半徑的球體，以及證明球面的表面積是圓柱體表面積的2/3，可能這個是阿基米德生前最引以為傲的成就。
阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》對數學界的偉大貢獻
最後一位希臘化時代偉大數學家是阿波羅尼奧斯(公元前262年至前190年)，他出生於愛琴海東岸的愛奧尼亞，但畢生幾乎都在埃及亞歷山大城度過並完成他堪稱萬世經典的《圓錐曲線論》。
《圓錐曲線論》全書共八卷，當中只有前七卷流傳開來，圓錐曲線在後來的天文學、物理學和光學得到廣泛應用，小巖只學過關於圓錐曲線的皮毛知識。
阿波羅尼奧斯提出利用一個平面切割一個圓錐體，可以得到圓形、橢圓、拋物線以及雙曲線，他提出了d圖形的名字，阿波羅尼奧斯是其中一個最早深入研究d幾何圖形特點的數學家。
《圓錐曲線論》前4卷主要總結前人已經知道的成果，後3捲包含大量原創性的成果，包括研究交點、定點的法線(即跟平面成垂直既三維向量)並由此決定曲率中心，找出曲線的漸屈線等等。
在希臘化時代，圓錐曲線已經在天文同光學的發展中被廣泛應用。雖然當時人們仍沒有質疑行星運行軌跡應為橢圓形而不是圓形，但在那個年代，天文學家已經有利用圓錐曲線解釋行星的運行以及將焦點理論應用在拋物面鏡子之中。
圓錐曲線
到了1800多年後，《圓錐曲線論》也成為了開普勒、牛頓、哈雷他們研究彗星以及行星運行軌跡和週期的數學基礎。此外，公元前2世紀的喜帕恰斯第一次將《圓錐曲線論》引進三角函數，被稱之為三角函數之父。
結語：在希臘化時代之後的羅馬時代，雖然亞歷山大圖書館沒有能夠，從新的統治者處得到托勒密政府般的財政支持和重視而逐漸式微，但亞歷山大城到了這個年代仍然培養了無數優秀的數學家，例如最早發現負數平方根問題的希羅、代數之父丟番圖、球面三角學之父門納勞斯等等。
亞歷山大城的學術成就，希臘化時代的科學精神，一直延續到古典時代晚期才告一段落。
希臘化時代的數學發展和古希臘有些許差別，希臘化時代的數學研究受到托勒密王國國家鼎力支持，並對學術研究的領域表現出極大的包容。
說到這裡，可能大家不知道除了在相對保守的中世紀之外，連古希臘都不一定會包容顛覆性的學術成就。
例如公元前約500年的古希臘數學家希帕索斯發現2的平方根為無理數，即不可以兩個整數的比例寫出，結果引發第一次數學危機。
希帕索斯的下場是被畢達哥拉斯學派的門人推落大海淹死，顯示出古希臘時代新的學說及理論仍然會面對舊有學術界的排斥及打壓。
但希臘化時代的眾多理論推陳出新，在埃及亞歷山大港這個學術中心，統治者以及學術界對新的理論和研究方向顯示出古代世界罕見的寬容，也因此為西方數學其中一個黃金時代創造了條件。而在上述的討論中，我們也都可以看到希臘化時代數學成果如何深遠影響古代、近代甚至現代科學。希臘化時代的成果，它的應用至今仍隨處可見。
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