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數學的第一原理1十1=2。原理相當於幾何公理。我過去在電視裡看到國外一個博士生導師考一個博士生，叫他證明1十1=2，這博士生寫了一黑板，這導師講他證錯了，理由沒講。我認為應該向小學生(小孩)講清，為什麼1十1=2。我認為應該從自然數列1，2，3，一一一和數數兩個概念講清，兩個相同的物體數數，第一、第二，但不能重複數，但可交換次序數，數到第二，就一共有兩個物體，序數詞第二變成基數詞二，所以1十1=2，證畢。大家同意我的證明方法嗎？

國際音標研究王

我是魏健Dr，歡迎廣大朋友對問題進行補充。

魏健Dr

文學家寫《數學原理》！有沒有搞錯？咋可能！獲得了諾貝爾文學獎的作家寫就的，他不僅僅數學、文學、教育、邏輯學，也是哲學家和歷史學家，也擁有反覆坐牢、多次婚姻的傳奇一生。

在中國這種教育環境下很難想象，但人類歷史確實有這樣的神蹟。這個文學家還不是普普通通的文學家，而是獲得過諾貝爾文學獎的文學家，當然這個《數學原理》也不是普普通通的教材，而是 “只要文明還存在， 並且珍視偉大智者的工作， 它就不會被遺忘。”表述中的“它"。

導語

這位大神是誰呢？他就是1872年5月18日出生的伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素(Bertrand Arthur William Russell, 3rdEarl Russell)，出生於一個英國貴族家庭。父母早逝，於是羅素和他的哥哥便與祖父祖母生活在一起。

祖母對羅素在童年和青少年時期的發展有過決定性的影響。她曾用一條箴言告誡羅素：“你不應該追隨眾人去做壞事。”羅素一生都努力遵循這條準則。

也是羅素悖論的哪個羅素。羅素悖論引發了數學的第三次危機，這是因為此悖論所造成的衝突使得集合論並非嚴絲合縫，而集合論則是現代數學的基礎。

羅素悖論的嚴肅品味需要數學符號和推理，我們還是喜歡形象的：有位理髮師發了個廣告，這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，我將為所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉(在數學上，這定義了一個集合)。”

來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是自己不刮臉的人。時間一天一天過去了，有天這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他就抓起了剃刀想給自己刮臉。可是他有想起了自己的廣告：如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。（現代數學的集合論中：一個元素要麼屬於某集合，要麼不屬於某集合）。

文學家寫《數學原理》

擅寫短詩的古希臘詩人卡利馬科斯曾經言道：“一部大書便是一項大罪”。1959年，英國哲學家羅素在《西方的智慧》一書中引用了這句話，並“謙虛”地表示，“以罪而論，這是一部小書”；1982年，印度裔美國科學史學家梅拉在《量子理論的歷史發展》一書中也引述了這句話，且跟羅素一樣“謙虛”，表示以罪而論，他那部也是小書。

其實，梅拉那部書是很大的，6卷9冊5,000多頁，恐怕是有史以來最大的科學史專著，照卡利馬科斯的說法，罪是消不了的。倒是羅素的“謙虛”還稍有些道理，因為《西方的智慧》並不是他最大的書，他有一部大得多的書叫做

這本從1910年到1913年出版的《數學原理》一、二、三卷，是羅素和懷特海的鉅著。兩位數學家用十年的時間，寫成的鉅著。在以後的幾年時間裡賣出了幾百本。羅素說：“據我所知只有6個人通讀了這本書的後面部分，其中三個人是波蘭人，後來（我估計）他們被希特勒殺害了。另外三個是德克薩斯人，後來他們成功地吸收了這本書的精華。”

毫無疑問的是，全世界看過或者說完整的讀懂這部鉅著的人少之又少，但是羅素對世界的影響是毋庸置疑的。計算機之父艾倫·圖靈和馮·諾伊曼對計算機程序的研究都受到了羅素的影響。在某種意義上，說羅素和懷特海是計算機軟件的開山鼻祖，也不為過。

十年一劍，賠本賺吆喝的哲學家出版圖書，兩位大師各賠本50英鎊。雖然看得懂的人很少，但現實世界不本來也應該是這樣的嗎？

如同愛因斯坦發表的相對論，也不是能馬上引起共鳴和轟動的。對於相對論，懷特海和羅素已經非常幸運，至少書一出版，就得到了大量的讚譽，雖然叫好不叫座，但是誰又能希望大眾能把數學當成休閒娛樂讀物呢？

在數學方面，羅素在《數學原理》第Ⅱ卷中花了大量的篇幅提出了“關係算術理論”．他先定義了兩個關係P，Q的“相似”的概念，即有P領域對Q領域的那麼一個相互關係產生者，凡是兩項有P關係，它們的相關者就有Q關係，反之亦然．接著，他用相似關係定義了“關係數”的概念，即一個P關係的關係數就是那些在次序上和P相類似的關係的類．

在數理邏輯方面，羅素還發展了弗雷格和皮亞諾的工作，在《數學原理》中建立了一個完全的命題演算和謂詞演算系統；發展並給出了一個完全的關係邏輯系統；以及提出了摹狀詞理論．關係，無論是對邏輯還是對數學，都是一個重要而基本的概念．　在邏輯方面，羅素還強調應將命題與命題函項區別開來，將蘊涵與推理區別開來．以前人們認為邏輯是關於推理的理論，他則認為邏輯是關於推理合法性的理論，即關於蘊涵的理論．

“一部大書便是一項大罪”，“用10年的工作賺負50英鎊”

羅素年輕時雄心勃勃，二十出頭就立下宏願，要寫兩個系列的“大書”：一個涵蓋所有的科學領域；另一個涵蓋所有的社會學領域。他並且暢想：一個系列將從抽象出發，逐漸嚮應用靠攏，另一個系列則從應用出發，逐漸向抽象靠攏，最終交融成一個巨無霸系列。羅素後來確實算得上著作等身，但年輕時的這個宏願實在是遠遠超出了任何個人的能力，終其一生也未能實現，而只在某些局部領域中取得過局部成果。如果要在其中找出一個努力得最系統的，那恐怕是數學。

1897年，25歲的羅素撰寫了一本關於幾何的書：《論幾何的基礎》，隨後又開始構思一本有關數學基礎的書：《數學的原理》。這本中譯名僅一字之差，英文名也有些相近的書是《數學原理》的前身。彷彿在預示《數學原理》將要讓羅素受“罪”，《數學的原理》一起頭就不順利，幾次努力都止於片斷。這一局面直到1900年8月羅素在巴黎國際哲學大會上遇見意大利數學家皮亞諾才有了被他稱為“智力生活轉折點”的改變。

皮亞諾是研究數學基礎的先驅人物之一，在思維方式乃至所採用的數學符號等方面都對羅素有著巨大影響。受此影響，《數學的原理》的寫作大為“提速”。那年的最後三個月，羅素幾乎以每天10頁的速度推進著，年內就完成了數十萬字的文稿。在那段被他稱為“智力蜜月”的時期裡，他不僅寫作神速，而且每天都比前一天多領悟到一些東西。

但好景不長，“智力蜜月”隨著新世紀的到來很快就終結了：1901年春天，羅素髮現了著名的羅素悖論。這個以他名字命名的悖論如今已是羅素頭上的一道光環，當時卻著實讓人消受不起，對撰寫中的《數學的原理》，乃至對整個數學基礎研究都造成了衝擊。羅素在劍橋大學三一學院時的老師、著名哲學家懷特海在得知這一悖論後，引了勃朗寧詩歌《迷途的領袖》中的一句“愉快自信的清晨永不再來”作為“贈言”寄給了羅素。

羅素悖論使本已接近完成的《數學的原理》的出版推遲了兩年左右，但即便如此也未能解決羅素悖論。這一點讓羅素深感沮喪，在給一位朋友的信中稱《數學的原理》為“一本愚蠢的書”，甚至表示一想到為這樣一本書花費了那麼多時間就感到羞愧。不過那時候，真正的“大書”《數學原理》的撰寫早已展開（1900年底左右就啟動了），徹底解決羅素悖論的任務被順理成章地轉移到了《數學原理》上。

《數學原理》的作者陣容比《數學的原理》擴大了一倍：在羅素的動員下，懷特海成為了合作者。懷特海對數學基礎也有濃厚的興趣，曾於1898年撰寫過一本標題為《泛代數》的著作，且有續寫的想法。羅素自己的最初打算則是將《數學原理》寫成《數學的原理》的第二卷。不過，這兩位想寫“續集”的作者“強強聯合”的結果，是各自拋棄了“前集”，寫出了一套篇幅和深度都遠超“前集”的獨立著作。

合作之初，羅素和懷特海對工作進展有一個很樂觀的估計，認為一年左右即可完成，但羅素悖論的出現將這一估計掃進了垃圾箱，《數學原理》的實際耗時約為十年，比當初的預計高了一個數量級

除了遭遇像羅素悖論那樣技術性的“攔路虎”外，撰寫《數學原理》的十年間羅素在生活上也頗受了幾樁“罪”。

第一樁跟個人興趣有關，起因於懷特海夫人伊夫林·懷特海，而且發生得很突然。懷特海夫人年輕時經常被類似心絞痛的病痛所折磨，1901年上半年的某一天，羅素親眼目睹了懷特海夫人遭受劇烈病痛折磨的情形。那情形對羅素產生了極深的影響，他從懷特海夫人孤立無助的痛苦中，深切意識到了每個人的靈魂都處在難以忍受的孤獨之中。

第二樁跟家庭有關，且同樣發生得很突然，羅素的妻子愛麗絲一度以自殺為威脅的抗爭下，拖了約20年才最終離婚。

第三樁則跟合作者懷特海有關。據羅素在自傳中披露，外人眼裡冷靜明智的懷特海其實常常陷入非理性的衝動，比如一方面對缺錢深懷恐懼，一方面又花錢無度；有時候連續多日不吭一聲，有時候又嘟嘟噥噥對自己橫加貶低，使懷特海夫人飽受驚嚇，甚至擔心他會崩潰或發瘋。為了幫助懷特海一家及維持在《數學原理》上的合作，自己有時也還要借錢度日的羅素小心翼翼地補貼著懷特海的家用，且還必須瞞著懷特海，以免傷他自尊心。

個人、家庭、合作者，這幾乎涵蓋羅素整個世界的三大因素的共同煎熬，加上論題本身的艱鉅，以及羅素悖論的“攔路”，使羅素撰寫《數學原理》的過程由艱苦變為痛苦。

那些年，羅素常到牛津附近一座跨越鐵路的橋上去看火車，在情緒悲觀時，看著一列列火車駛過，他有時會生出可怕的念頭：也許明天干脆臥軌了結此生。不過這時候，使他悲觀厭世的《數學原理》卻又變成了讓他活下去的動力，因為每當黎明來臨，他又會重新燃起希望：活下去，“也許某一天能完成《數學原理》”。

1906年之後，《數學原理》所遇到的技術瓶頸開始被突破，寫作得以加速。那時候，懷特海因教書工作的羈絆無法花足夠的時間在《數學原理》上，羅素開始以每天10-12小時，每年8個月左右的時間投入寫作。但煩惱並未就此遠離，隨著手稿數量的增多，他又陷入了近乎杞人憂天的擔憂之中，害怕手稿會因房子失火而被毀。

整整十年，痛苦、焦慮、悲觀、擔憂終於都被熬過。1910年，《數學原理》的初稿完成。在給朋友的信中，羅素很不吉利地把當時的心情形容為：一個因照顧重病患而筋疲力盡的人，看到可惡的病患終於死去時的那種如釋重負的感覺。

大書出版了，大錢賠掉了，但羅素把大書的完成比喻為重病患的死去並不恰當，書之於作者其實更像孩子之於父母，書的出版好比孩子的降生，未必是一個能讓父母如釋重負的時刻。事實上，羅素因這部大書而受“大罪”的歷史並未就此終結。

羅素和懷特海的這部大書顧名思義，是研究數學基礎的。這類研究有幾個主要流派，比如以德國數學家希爾伯特為代表的形式主義、以荷蘭數學家布勞威爾為代表的直覺主義，等等。羅素這部《數學原理》也屬於一個著名流派，叫做邏輯主義，主張數學可以約化為邏輯。《數學原理》不是邏輯主義的奠基之作，卻是它的高峰。在《數學原理》中，數學大廈的一部分被從邏輯出發直接構築了出來。羅素和懷特海對此深感自豪，在向皇家學會申請贊助的信裡，特別強調了這部書的精確性、推理的縝密性以及內容的完備性。

在本世紀中，羅素是數學基礎研究中邏輯主義學派的傑出領導者，是著名的數理邏輯學家，同時又是著名的哲學家和社會活動家，並在79歲高齡獲得了諾貝爾文學獎（在1950年，諾貝爾文學獎就爆了個大冷門！從嚴格意義上來說，這個獲獎者算不上文學工作者，反而是因數學家、哲學家、邏輯學家的身份被熟知），但所有這些都是為世人公認的名副其實。

儘管沒有一本小說或詩集，由於其在作品和社會活動中折射出的人道主義和理想主義之光，羅素榮獲此獎。儘管沒有準確的統計數據，但羅素的著作及其讀者群體在二十世紀的西方知識界應該是名列前茅的，再加上他參與倡導的一系列重大的社會政治事件，無疑使他成為二十世紀西方最著名、最有影響的學者之一。

感悟與反思

羅素對教育理論的發展有極為重要的貢獻。他指出：“教育應該培養求真理的願望，而不是相信某種特殊的信條就是真理。”他主張的教育方法，應“減少很快的講授而多事於討論，給學生以更多的機會使他們受到鼓勵來發表自己的意見，更多地嘗試使教育的內容能使學生感到一些興趣”。

曾經走過的路，再次出現也應該有很多不同的感受。與大師為伍是筆者個人的夢想，多年來夢想當一名作家，陰差陽錯筆者從事數學教學，筆者夙願寫一本龐大古今縱橫數學思想方法理論綜述及豐富案例，但始終在寫寫停停，今天遇到這個問題，回想到羅素寫書經歷，給了我很大的觸動，筆者相信幸運女神也許不能對我們有所偏愛，但是如果我們能走在大師走過的路上，心有所悟，那也一樣可以做到像大師們一樣始終保持：對知識的渴追求、對人生的憐憫、對愛的渴求。

人生的成功有很多評估的維度，做好自己，走好自己的路。希望你一覺醒來正好看到！

參考文獻：

1.陳奎孚，文學家寫《數學原理》；

2.盧昌海，羅素的“大罪”

中學數學深度研究

一，數學用來測量。測量必有誤差。誤差涉及精度。精度需要“近似”與“逼近”。

二，近似，是概率統計的核心，例如，算術平均數、幾何平均數、均方差、離散性、散點分佈、正態分佈......都是近似手段。

三，逼近，是數學分析的核心。例如，代數、解析幾何、微積分、複變函數、線性代數、泛函、微分幾何、拓撲學、群論、李群(李代數)。

四，疊代，是數學計算的主線。疊加，即用“加法”解決加減乘除、乘方開方、複數運算。代換，是用近似代替真實，用幾何圖形代替真實圖景，用線性分解非線性，用低維分解高維。

物理新視野

全書分3卷，由劍橋大學出版社出版，第 1卷於1910年、第2卷於1912年、第3卷於1913年先後出版。1925年出第1卷的第2版,增加了第2版導論和A、B、C3個附錄,共65頁。作者在導論中指出,新版不擬改動第 1版原文。導論提出的重要改動是：取消了可化歸性公理後對數學歸納法所發生的影響。1927年出了第2和第3卷的第 2版。《數學原理》是數理邏輯發展史上的一個重要里程碑，它全面地、系統地總結了自G.W.萊布尼茨以來在數理邏輯研究方面所取得的重大成果，奠定了20世紀數理邏輯發展的基礎。這部著作的主要目的是想要說明整個純粹數學是從邏輯的前提推導出來的，並嘗試只使用邏輯概念定義數學概念，同時儘量找出邏輯本身的所有原理。

《數學原理》第1卷除導論外，分為兩個部分。導論共有 3章，主要闡明初始概念；分析了悖論，並提出瞭解決悖論的方法──邏輯類型論；提出了摹狀詞理論等。第1、2部分著重論述了數理邏輯的基本理論和方法，建立了一個完全的命題演算和謂詞演算，而且還提出關於類和關係的形式理論，並在此基礎上開始討論基數和序數的算術理論。第 2卷詳盡討論基數和序數算術理論，此外還提出序列理論。第3卷繼續討論序列,最後以度量理論結束。《數學原理》從邏輯演算出發，在邏輯公理之外增加了以後引起爭論的三條公理，即無窮性公理、乘法公理和可化歸性公理，同時還推出了集合論和一部分數學。

大叔不二

說實話從我個人認識角度，數學領域最服牛頓，物理也是，他是鼻祖級大神，怪不得有人評價他說，上帝說人類沒有光明，便派牛頓去吧。就數學方面，牛頓的微積分創立如神一般，看似逼近0卻產生非常準確的值，這腦洞不是一般的大。我始終認為數學方面沒人能與牛頓比較，其他人不過是補充或發展，物理方面也是開山鼻祖

看na條狗

數學的原理！哈哈當數學具有了微積分以後，當數學有了更深度的發展以後，人們開始認識到，數學具有法的展示！是一種理念過程中的法，這些法通過一定的形式何以於現實存在對應，甚至通過光電技術成像，成像為存在。這就是意識和存在的一種工具“法”。

數學在中國的過去叫算術！哈哈😊在簸箕裡表達、演示、統計事物發生變化的“沙盤運作”。凡事書“術”，都具有道行展示。

說數學，就是有關數的一切法的發現以及發現運用的歷史系存在，以及存在的經典表達！反應為人類意識以及意識規律的節約以及意識飛躍。

數學模式體現於現實存在，體現於現代化的電路以及機械原理的存在。這就是數模轉換了！那麼說數模轉換在人類現實生活中的意義何在！人的構造中有沒有類似的機能智慧存在啊！也就說數學原理在人的心性以及社會實踐中有無對應的存在。誠然數學的任何存在在人類的生活實踐中都有全面的對應。也可以這麼說，數學是人類生活實踐的結果，這些結果大大的改善了人們意識世界，作用於世界的能力和理性認識世界的方法。數學是方法論，是關於數字這個系統的概念性以及規律性的發現和運用。提起數學你會想起，代數，你會想起幾何和三角函數，以及許多具有特質的函數。

蝸牛不知道高等數學的存在，但是人家可以產生螺線的貝殼。九孔鮑魚，甚至可以在單一的貝殼上有規律的分佈空洞。你會發現許多生物結構的對稱。你會發現許多生物細胞骨骼的機械原理和數學模型有所類似，觀看袋鼠，你會想起彈簧腿，肌肉💪韌帶骨骼組成了人們運動關節的性能，這些性能和物理學的部分組織結構類似，人類在長期的生活實踐中，發現了應力均勻，以及科學改造身心的物理優化存在。有人說人類的身體結構是美學，是物理學，化學階段性美好的結晶。從人類身體構造看世界，製造機器叫做仿生學，甚至是機械設計的活教材，人類的每一個骨骼、肌肉的功能以及運動都可以展示為機械的運動。

人類的意識，人類的意識就是AD轉換了！直接用意識的量轉換為，人們個體的內在的，思想存在的量，這些量存在於物質和思想的轉換。

有事了！就說道這裡！

數學是人類意識方法的具體表現，數學的基本原理也就是自然法則的理解和運用。

聖劍17

不同時期、不同地區的數學家對於數學原理的看法不盡相同，以下是我所知道的，供題主和各位網友參考：

早在蘇美爾和古埃及時期，人們就學會了算術，後來又因為農作、建築、曆法等的需要 出現了 幾何。算術是基礎，幾何建立在算術之上。直到古希臘前期，大家普遍認為，數學就是對自然數（不包括0）的運用。畢達哥拉斯的 《比例論》，將 萬物皆數 推向極致。但，很快 西帕索斯 就發現了 √2 這個不可公度量，史稱第一次數學危機。後來歐多克斯用 幾何量 代替自然數，修復了 《比例論》，但這導致幾何代替算術成為了數學基礎，古希臘數學家也將注意力轉向了幾何，他們最終的研究成果被 歐幾里得 整理在 《幾何原本》中。

同樣是古希臘，因哲學的需要，亞里士多德《形而上學》引入了 形式邏輯。當然這時 邏輯 和 數學 還沒直接關係。

同一時期的中國數學家，同樣也對數學進行了 大量研究，成果記錄在 《周髀算經》《九章算術》《孫子算經》等 著作中。和古希臘數學追求 理論證明 不同 中國數學 講究的是 計算應用，即，數學的本質就是 計算。

隨著時間的推移，中國數學 陰陽（正負） 的思想 傳到了 古印度，古印度數學家又加入了 空（零）的概念，從而發明了現在的 阿拉伯數字，並將數字擴充到整個實數。

阿拉伯人，花剌子模 結合古希臘和古印度算術，引入未知數，創立的 代數，並確立了代數的研究對象之一 方程。

時間到了文藝復興時期。阿拉伯數學的傳入歐洲，激活了歐洲人研究數學熱情。笛卡爾利用 座標系 第一次將代數和幾何關聯起來，建立的解析幾何，開啟了數學的分析時代。牛頓和萊布尼茲 各自在 解析幾何 之上 通過 無窮小量 建立的微積分。但，無窮小量 有時候是 零，有時候不是 零，這遭到了當時數學家的質疑，這就是第二次數學危機。柯西等人創造了 極限 的概念，彌補了 無窮小量 的缺陷， 第二次數學危機完美度過。

同時，萊布尼茲還在亞里士多德的基礎上提出創造邏輯語言，以代替自然語言，解決自然語言表述不準確的缺陷。

時間進入18世紀，數學開始大爆發。

數學家發現了歐幾里得空間，從而 數學 從研究 一個個具體的點、函數，轉而研究 所有點、函數 組成的 空間。後來隨著 空間的 研究 出現了 拓撲。

與數學在分析方向的 迅猛發展不同，無理數還沒有完全解決，代數又在解一元高次方程上遇到了困難：數學家發現 5 次方程 就是找不到 求根公式。天才數學家 伽羅瓦 敏銳的發現：求根公式是由 常數 和 運算 組成的，因此要研究清楚解方程問題，必須將 它們一切研究，於是開創了對 代數系統 的研究方向，從而最終完美的解決了該問題。

代數的另一方向上，康托爾 創立了 集合論 並結合 皮亞諾的 算術公理，將 數字 用 集合表示，同時 戴德金 利用 分割的 方法，從 有理數集 構成除了 實數集（包括無理數），完美的解決了 第一次數學危機。他們的共同努力，使得 集合 代替 數字 和 幾何量 成為了 數學基礎。這一切都看似很完美，但還是出了問題：集合論 可以通過概念的外延 和 內涵 兩個手段定義 集合，羅素髮現 用 內涵定義的 集合 有悖論，“理髮師聲稱只給那些不自己刮鬍子的人刮鬍子，那麼，理髮師 給自己刮鬍子嗎？”，史稱第三次數學危機。後經數學家研究，發現 不能直接引入 內涵 作為公理，而是要用一組公理代替它，這就是 數學 公理化 的開始。碰巧的是，經過二個世紀的努力，萊布尼茲的邏輯語言，終於被哲學家們創造出來了，邏輯語言馬上就 和 公理化 相結合，這時的 邏輯 成為了 數學的基礎。不過，早在一個世紀前，布爾 就發明了 用 布爾代數 來描述 邏輯，後來被髮展為 格論，所有說：格論 和 形式邏輯 互為基礎。但有格論有一個缺陷是： 無法定義 模態邏輯 的 模態詞。

隨著 公理化 的進程，大家發現 為了證明新的定理 有時候要 不斷增加新公理，那麼，有沒有一套固定不變的公理，可以推導 出所有 算術定理呢？哥德爾給出了否則的答案：一個算術系統的公理集合，在 沒有悖論 和 可以推導出所有算術定理 之間只能二選一。

在幾何方面。高斯在解析幾何的基礎上，結合微積分 創立的 古典微分幾何。之後黎曼在其老師高斯的 曲面論 基礎上 結合 拓撲學，將 用一個座標可表示的 歐氏空間，擴展為 用多個座標同時來表示的 流形，從而開啟了 現代微分幾何的大門。另一方面，彭加萊 在 拓撲空間 中 找到了：基本群 和 同調群，兩個代數結構，開啟了 代數幾何 的研究之路。

時間進入了20世紀。羅素的 《數學原理》的出版，將“邏輯和集和 是數學基礎”，這一觀點夯實。不管是 空間 還是 代數系統，在 布爾巴基 學派 看來都是 結構，《數學原本》將 “數學是對 結構 的研究” 這一觀點 發展到極致。但，彭加萊 卻認為 數學 是 自由直覺，是人的本能。

"數學是計算" 這個來自中國數學的看法，一種在默默發展，中國人先後發明了 算籌 和 算盤，帕斯卡 也 研製出了 滾輪式加法器。丘奇在 遞歸論 的基礎上 發明了 λ-演算 開啟了 計算證明 之路，而其 學生 圖靈 發明了 圖靈機 它比 λ-演算 更簡單，但卻是等價的。 證明就是計算，如果 圖靈機 可以停機，就意味著，所有的證明 都可以在有限時空內 得證，這就是 停機問題。後來 馮諾依曼 在 圖靈機的 基礎上建立的 馮諾依曼體系結構 從而 計算機 誕生。計算機 就是 "數學是計算" 這一思想 的 佐證 和 最終 產物。

還有一種數學思想，一直被人忽略，那就是出身 賭博的 概率，由於一直找不到研究手段，而發展緩慢，後來結合微積分算術有了長足進步，但根基不牢靠，直到 柯爾莫果洛夫 將 用於 補足 黎曼積分 的 測度論 引入，概率論才真正 長大。 之後，大家發現 社會科學、經濟學、AI 中的 事情 往往 符合 統計規律 ，於是 統計學 得到了 長足 發展 和 應用。概率的思想，甚至將微積分推向一個新領域 隨機微積分。

隨著 數學結構的研究，數學家發現 很多 結構 和 它們 之間 的映射 都是 相似，於是又將它們放在一起 稱為 範疇 進行研究。隨著 對 範疇 的研究，發現 它其實是一種 基於圖的形式語言，並且發現 格論不能 定義 模態詞 的問題 可以用 範疇中的 伴隨 來解決。於是 大家 就在設想 是否 範疇 可 代替 集合與邏輯 成為 數學的基礎，這件事目前還在研究中...

格羅滕迪克作為範疇的發明人之一，將其用於 代數幾何，創造了概形，並將代數幾何推向了數學的巔峰。（這部分我目前還看不太懂，所有隻能說這些了）。

李發現實數即是 空間 又是 代數系統，於是將 空間的推廣—流形 和 代數系統—群 結合一起研究 這就是 李群。

對基本群的進一步研究，出現了 群表示論 和 復疊空間，對 同調群的 研究，出現了 同調論 和 交換代數。

最後，還記得那個 最古老的算術 嗎？克羅內克名言：“上帝創造了自然數，而剩下的一切都是人創造的。”，數學家一直沒有放棄對它的研究，並發展出了 數論，在這方面 數學 的 本質 就是 素數。

歷史上，很多數學家都寫過 類似 《...原理》、《...原本》 這樣的書，數學太過複雜了，目前還沒有大統一的理論。

數學還在前行，還會有新的思想，新的原理 ...

（本人數學水平有限，出錯難免，歡迎題主和各位老師批評指正！）

思考思考的動物

其實就是一個思維的轉變，把一些事情進行了一個量化的過程！不要糾結其複雜性！

小琳兒哥

數學原理，其實就是萬物存續和相互之間作用的原理或結果或過程或變化。

關鍵字: 數學 導師 原理