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概述
我們在進行車輛可靠性耐久性研究時，需要設法對耐久載荷的強度進行量化評估，偽損傷值是最常用的一種手段。
偽損傷值不考慮具體結構，直接把各種載荷信號都看作廣義應力，以廣義應力為輸入，使用指定的標準SN曲線，再按照與計算真實疲勞損傷相同的方式進行循環計數和損傷累積。
偽損傷值因為計算簡單，且只是信號本身的特性，不涉及具體結構，所以在整車及零部件耐久試驗中獲得了廣泛應用。偽損傷值的最大侷限性在於其忽略了信號的頻域特性，對載荷強度只能粗略評估，無法體現載荷作用於不同固有頻率的結構時的差別。
疲勞損傷譜（Fatigue DamageSpectrum，簡稱FDS）也是載荷信號本身的一種特性。疲勞損傷譜描述了載荷信號作用於單自由度振動系統所造成的疲勞損傷值與單自由度系統固有頻率之間的關聯。因為它考慮了頻率的影響，與偽損傷值相比，能更準確的反應載荷信號對實際結構的破壞能力。
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疲勞損傷譜的計算流程
疲勞損傷譜的計算流程簡述如下：
- 將載荷信號施加於圖1所示的一系列線性單自由度質量-彈簧系統，分別計算出各單自由度系統相對於支座的位移的時間歷程z(t)。
- 單自由度系統的應力與相對位移z(t)成正比，所以我們可得到應力的時間歷程σ(t)=Kz(t)。
- 對應力時間歷程σ(t)進行峰谷值編輯和雨流計數，提取出應力循環。
- 使用標準SN曲線，根據Miner線性損傷累計準則，計算出每個單自由度系統的疲勞損傷值。
- 最後以單自由度系統的疲勞損傷值D為橫軸，以單自由度系統的固有頻率f0=ω0/2π為縱軸，繪製成一條曲線D(f0) ，該曲線就是載荷信號的疲勞損傷譜。
單自由度系統的阻尼特性會影響其應力響應值，所以計算疲勞損傷譜之前需要指定阻尼參數，通常指定阻尼比ξ=C/2√Km，也可指定品質因子Q=1/2ξ。
圖1 用於計算疲勞損傷譜的單自由度振動系統
計算疲勞損傷譜所用的SN曲線不是某種材料的實際曲線，而是簡化的標準曲線，通常使用雙對數座標系下的斜直線，如圖2。
圖2 計算疲勞損傷譜所用的標準SN曲線
圖2展示的循環壽命N和應力幅值S之間的關係，可用下式表示。
其中b和SC分別為圖2中SN曲線的斜率倒數和截距（即SN曲線延長線與Y軸的交點）。斜率倒數b的數值一般要求在-1到-10之間，其中常用數值有-3、-4、-5、-7等。截距SC的數值設定則無嚴格規定。
總之，計算信號的疲勞損傷譜，需要設定四個常數，即阻尼比ξ、SN曲線的斜率倒數b、SN曲線的截距SC、系統應力與相對位移之比K。
其中ξ和b的取值將影響疲勞損傷譜曲線的形狀，設定時必須格外慎重，應儘量符合實際情況。而SC和K的取值改變只會導致疲勞損傷譜曲線沿Y軸縮小或者放大，曲線形狀並不會變化。
大多數情況下，我們並不關心某個信號的疲勞損傷譜絕對數值，而只關心不同信號疲勞損傷譜之間的對比。對於多個載荷信號，只要採用相同的SC和K，無論具體取值如何，它們的疲勞損傷譜的比例關係保持不變。所以我們不需過於糾結SC和K如何設定。可將K的數值和SC的取值都設定為1.0以簡化計算，也可參照計算偽損傷值時的做法，將SC設置為系統應力σ(t)最大幅值的5倍，即
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正弦載荷信號的疲勞損傷譜
下面我們以正弦載荷信號為例，來介紹疲勞損傷譜的具體計算過程。
圖3 承受正弦加速度載荷的單自由度系統
如圖3，固有頻率為f0（圓頻率ω0=2πf0），阻尼比為ξ的線性單自由度系統，支座施加正弦加速度載荷a(t)=Asin(2πft)，載荷持續時間為T。顯然，單自由度度系統中質量m的相對位移z(t)也是正弦變化，z(t)的幅值為
根據Miner線性損傷累積準則，正弦載荷作用T時間後，系統的損傷值為
其中n=fT為載荷循環次數，S為應力幅值。
應力幅值與相對位移幅值存在比例關係S=KZm ，所以
根據式(6)，我們可繪製出正弦載荷的疲勞損傷譜，如圖4。單自由度系統的疲勞損傷在共振點達到最大值，此處f0的取值為
圖4 正弦加速度激勵信號的疲勞損傷譜曲線
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隨機信號的疲勞損傷譜
隨機載荷信號可以用時域波形描述，也可以用功率譜密度描述。如圖5
圖5 隨機載荷信號的時域波形描述和頻域PSD描述
時域隨機信號疲勞損傷譜的計算方法與上述正弦信號的計算方法並無本質差別。將時域隨機信號施加於一固有頻率為f0，阻尼比為ξ 的線性單自由度系統，我們可以用瞬態動力學方法計算出系統的相對位移z(t)。
對z(t)進行雨流法計數，計算出每個幅值Zi所對應的循環次數ni。然後利用Miner線性損傷累積準則，計算出單自由度系統的疲勞損傷值
以固有頻率f0為橫軸，疲勞損傷值D為縱軸繪製曲線D(f0)，就是該時域隨機信號的疲勞損傷譜。
耐久性隨機載荷通常持續時間很長，考慮整個時域波形會導致較大的計算量。幸運的是，耐久性隨機載荷通常都是平穩的和各態歷經的，這樣我們只需要截取一個代表性時間段Ts的波形，計算該段載荷所造成的損傷DTs(f0)，然後用下式得到總持續時間Ttotal所對應的損傷D(f0)
對於PSD形式的隨機載荷信號，則可以採用頻域疲勞理論來計算單自由度系統的損傷值D(f0)。
- 首先根據輸入載荷PSD GL(f)，計算出單自由線性系統相對位移的PSDGz(f)，即其中H(f)為線性系統的頻響函數，對於單自由度系統，可以解析得出。
- 因為相對位移與系統應力成比例關係，所以可進一步得到單自由度系統的應力PSD GS(f)
- 得到應力PSD後，可計算出應力PSD的力矩mn、穿零概率期望E[0]、峰值概率期望E[0]和不規則因子γ等數值。
- 根據步驟3得到的數值，使用頻域疲勞失效模型來計算出應力幅值S的概率密度函數p(S)。
- 得到概率密度函數p(S)後，則在時間段T內，應力幅度在S和S+dS之間的循環次數為
- 根據標準SN曲線，應力幅值S所對應的循環次數N=Scb/Sb；根據Miner線性準則，應力幅值為S的每個循環所造成的損傷為Sb/Scb。這樣可以得到所有應力幅值區間下的總損傷值D(f0)
有多種頻域失效模型可供選擇，區別只在於概率密度函數p(S)的計算方法不同。實際操作中，經常使用Lalanne模型來計算耐久性隨機載荷的疲勞損傷譜，如下式
其中函數erf的定義如下：
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結語
疲勞損傷譜的計算過程中只考慮了理想化的單自由度系統，並不涉及到載荷信號實際所作用的結構。換言之，對於某個指定的載荷信號，其疲勞損傷譜就只與我們設定的四個常數有關，與載荷所作用的具體結構和產品無關。
疲勞損傷譜的算法實質上借鑑了衝擊響應譜和偽損傷值的算法。它模仿衝擊響應譜，將載荷施加於一系列單自由度線性系統，然後計算單自由度系統的響應。得到單自由度系統的相對位移後，又模仿偽損傷值算法，利用標準SN曲線和Miner線性準則進行疲勞損傷計算。
疲勞損傷譜描述的是單自由度系統的損傷值隨其固有頻率的變化，能體現載荷信號中不同頻率成分的貢獻。而偽損傷值只是一個單一數值。所以疲勞損傷譜相比偽損傷值能提供更多的信息，對載荷的評價更為精細。
疲勞損傷譜常用於加速度載荷，但實際上它對於力、力矩、位移、速度等載荷同樣適用。偽損傷值是直接分析載荷信號的波形，其結果通常會誇大高頻成分的貢獻，所以很多情況下要對載荷進行低通濾波處理。而疲勞損傷譜並不是直接分析載荷信號，而是對單自由度系統的響應進行計算，能夠比較合理的評估高頻成分的貢獻，無需對信號進行濾波處理。
疲勞損傷譜在國內應用較少，但在國外已用於道路試驗用戶關聯和臺架試驗加速，取得了良好的效果。有關疲勞損傷譜的工程應用，後續將有文章進行討論。
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