撰文 | 阮一峰
有人在Stack Exchange問了一個問題：
"我一直覺得虛數（imaginary number）很難懂。
中學老師說，虛數就是-1的平方根。
可是，什麼數的平方等於-1呢？計算器直接顯示出錯！
直到今天，我也沒有搞懂。誰能解釋，虛數到底是什麼？
它有什麼用？"
帖子的下面，很多人給出了自己的解釋，還推薦了一篇非常棒的文章《虛數的圖解》。我讀後恍然大悟，醍醐灌頂，原來虛數這麼簡單，一點也不奇怪和難懂！
下面，我就用自己的語言，講述我所理解的虛數。
一
什麼是虛數？
首先，假設有一根數軸，上面有兩個反向的點：+1和-1。
這根數軸的正向部分，可以繞原點旋轉。顯然，逆時針旋轉180度，+1就會變成-1。
這相當於兩次逆時針旋轉90度。
因此，我們可以得到下面的關係式：
(+1) * (逆時針旋轉90度) * (逆時針旋轉90度) = (-1)
如果把+1消去，這個式子就變為：
(逆時針旋轉90度)^2 = (-1)
將"逆時針旋轉90度"記為 i ：
i^2 = (-1)
這個式子很眼熟，它就是虛數的定義公式。
所以，我們可以知道，虛數 i 就是逆時針旋轉90度，i 不是一個數，而是一個旋轉量。
二
複數的定義
既然 i 表示旋轉量，我們就可以用 i ，表示任何實數的旋轉狀態。
將實數軸看作橫軸，虛數軸看作縱軸，就構成了一個二維平面。旋轉到某一個角度的任何正實數，必然唯一對應這個平面中的某個點。
只要確定橫座標和縱座標，比如( 1 , i )，就可以確定某個實數的旋轉量（45度）。
數學家用一種特殊的表示方法，表示這個二維座標：用 + 號把橫座標和縱座標連接起來。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。這種表示方法就叫做複數（complex number），其中 1 稱為實數部，i 稱為虛數部。
為什麼要把二維座標表示成這樣呢，下一節告訴你原因。
三
虛數的作用：加法
虛數的引入，大大方便了涉及到旋轉的計算。
比如，物理學需要計算"力的合成"。假定一個力是 3 + i ，另一個力是 1 + 3i ，請問它們的合成力是多少？
根據"平行四邊形法則"，你馬上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
這就是虛數加法的物理意義。
四
虛數的作用：乘法
如果涉及到旋轉角度的改變，處理起來更方便。
比如，一條船的航向是 3 + 4i 。
如果該船的航向，逆時針增加45度，請問新航向是多少？
45度的航向就是 1 + i 。計算新航向，只要把這兩個航向 3 + 4i 與 1 + i 相乘就可以了（原因在下一節解釋）：
( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以，該船的新航向是 -1 + 7i 。
如果航向逆時針增加90度，就更簡單了。因為90度的航向就是 i ，所以新航向等於：
( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
這就是虛數乘法的物理意義：改變旋轉角度。
五
虛數乘法的數學證明
為什麼一個複數改變旋轉角度，只要做乘法就可以了？
下面就是它的數學證明，實際上很簡單。
任何複數 a + bi，都可以改寫成旋轉半徑 r 與橫軸夾角 θ 的形式。
假定現有兩個複數 a + bi 和 c + di，可以將它們改寫如下：
a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )
這兩個複數相乘，( a + bi )( c + di ) 就相當於
r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )
展開後面的乘式，得到
cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )
根據三角函數公式，上面的式子就等於
cos(α+β) + isin(α+β)
所以，
( a + bi )( c + di ) ＝ r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )
這就證明了，兩個複數相乘，就等於旋轉半徑相乘、旋轉角度相加。
本文來源於阮一峰的網絡日誌，戳“http://www.ruanyifeng.com/blog/2012/09/imaginary_number.html”可查看。
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