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知識要點

1.本單元的主要內容是不等式和它的基本性質，不等式的解集，一元一次不等式和它的解法，一元一次不等式組合它的解法。

2.重點難點

重點：一元一次不等式（組）的解法。

難點：對不等式的解集和不等式組的解集的理解以及不等式基本性質3的運用。

熱點：與不等式（組）有關的計算，結合方程、實際生活等的綜合應用題是熱點題型，考試以填空、選擇、解答題形式為主，其中不等式的應用問題常以綜合題型出現。

知識結構

基本要求

1.正確理解不等式和一元一次不等式的概念，掌握不等式的基本性質，理解他們與等式基本性質的異同點。

2.瞭解不等式的解和解集的概念，理解它們與方程的解的區別，會正確地在數軸上表示不等式的解集。

3.弄清不等式的解與解集概念的區別於聯繫。

4.會用不等式的基本性質將不等式變形，並會用他們解一元一次不等式。

5.瞭解一元一次不等式組及其解集的概念，理解一元一次不等式組與一元一次不等式的區別和聯繫。

6.熟練掌握一元一次不等式組的解法，會用數軸確定一元一次不等式組的解集。

7.會用不等式和不等式組解決有關不等式關係的簡單實際問題，提高應用數學知識解實際問題的能力。

8.會把一些問題轉化為不等式來解決。如討論含有字母系數的方程的根的情況，可以轉化為不等式的問題。

數學思想

這個單元的內容學習體現了兩種數學思想：一是類比思想，二是數形結合思想。不等式與方程的對比體現了類比思想；把不等式（組）的解集表示在數軸上體現了數形結合思想。利用數軸把抽象的“數”用直觀的“形”來表示。

應注意的問題

1.不等式的解與解集的區別：

不等式的解集指的是不等式的所有解，而不是指不等式的一個解，而不等式的解一般指不等式的某一個解。

例如 x=2003 是不等式 x+1＜2005的解，但 x=2003 不是不等式 x+1＜2005的解集，x＜2004 才是不等式 x+1＜2005 的解集。

2.在運用不等式的基本性質將不等式變形時，特別要注意將不等式兩邊乘（除）以同一個負數時，不等號需反向；同乘以0時不等號變為等號。若遇到將不等式兩邊同乘（除）以一個含字母的代數式時，應注意這個代數式不能為零。

3.由於不等式（組）的整數解是其解集中所含的整數，故求一個不等式（組）的整數解，必須先求其解集。

4.一元一次不等式組的解集是這個不等式組中各個不等式的解集的公共部分。如果一個一元一次不等式組中的各個不等式的解集沒有公共部分，則這個一元一次不等式組無解。

5.由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集可用下面兩種方法確定其四種情況（設a＜b）。

典型例題

一、運用不等式的性質解題

分析：該題與數軸相結合，難點是既要從數軸上看出a、b、c 三數的大小和性質，還要考慮運用不等式的三條基本性質。

二、熟練掌握不等式（組）的解法

三、確定不等式（組）的整數解

點評：本題考查的是求一元一次不等式的整數解，難點是不僅要求整數解而且要求整數解的和，同學們往往審題不清，導致錯誤。

1.不等式（組）中參數（待定字母）的值或取值範圍的確定。

不等式（組）中參數（待定字母）的值或取值範圍的確定是靈活性較強的一類題，為快速、準確地解決這類問題，現介紹幾種常用的方法。

（1）結合不等式的性質直接求解

2.運用不等式（組）確定方程（組）中參數（待定字母）的值或取值範圍。

五、運用不等式解決與實際生活密切相關的問題

例9 某工廠生產某種產品，每件產品的出廠價為1萬元。其原材料成本（含設備損耗等）為0.55萬元，同時在生產過程中平均每生產一件產品有1噸的廢渣產生。為達到國家環保要求，需要對廢渣進行脫硫、脫氮等處理，現有兩種方案可供選擇：

方案一：由於工廠對廢渣直接進行處理，每處理1噸廢渣所用的原料費為0.05萬元，並且每月設備維護及損耗費為20萬元。

方案二：工廠將廢渣集中到廢渣處理廠統一處理，每處理1噸廢渣需付0.1萬元的處理費。

若你是工廠的負責人，如何根據月生產量選擇處理方案，即可達到環保要求又最經濟合算。

解：設工廠每月生產 x 件產品，方案一的月利潤為 x - 0.55x - 0.05x - 20（即0.4x - 20）萬元；方案二的月利潤為 x - 0.55x - 0.1x （即0.35x）萬元。

（ⅰ）當0.4x - 20 ＞ 0.35x 時，解得 x ＞ 400 。

（ⅱ）當0.4x - 20 = 0.35x 時，解得 x = 400。

（ⅲ）當0.4x - 20 ＜ 0.35x 時，解得 x ＜ 400。

由上述計算結果知：

當每月的生產量大於400件時，選擇方案一所獲得的利潤較大；

當每月的生產量等於400件時，兩種方案所獲得的利潤一樣大；

當每月的生產量小於400件時，選擇方案二所獲得的利潤較大。

六、不等式（組）與相關內容的綜合題

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