數學故事之：清代數學知識從何而來

“五四”以來，人們心目中的舊式中國讀書人，就是范進、孔乙己一類漫畫化了的冬烘先生，狹隘、猥瑣、可憐，除了能死記硬背四書五經的文句和會寫一筆尚屬過得去的正楷外，一無所能。至於說到數學知識，他們更似乎是一無所知。然而我近來從一些明清野史小說中發現，在新式學堂出現以前，中國讀書人的數學知識似乎頗為豐富。如乾隆年間的一部長篇小說《野叟曝言》，對十八世紀讀書人家庭的數學知識有細緻的描寫。從書中可見，當時江浙一些士人家庭中(主人公文素臣是蘇州人，劉璇姑未嫁時住在杭州)，對數學的興趣頗為濃厚，甚至連夫妻之間亦以討論數學為樂。他們的數學知識頗為全面深入，不僅知道加、減、乘、除、平方、立方算法，而且也瞭解黃、白、赤道，地平、經緯各圖，弧度交角之理，勾股、三角法、割圓之法。不僅在士人(文素臣)家中數學書籍(算書)及運算工具(規矩、儀器、算盤)頗為齊備，而且連“賣糕餅以營生”的市井小家碧玉(劉璇姑)閨房裡，也有一部《法算》。

《野叟曝言》中所反映出來的那些比較高深的數學知識(特別是那些與西洋數學有關的知識)，到底是從何而來？為什麼這些知識會傳播到一般知識分子之中？

明清時期中國數學進步的一個重要組成部分，是西洋數學的引進和吸收。西洋數學自明後期傳入中國後，很快即為中國學界所接受。在傳入的數學中，影響最大的是幾何學。《幾何原本》是中國第一部數學翻譯著作，絕大部分數學名詞都是首創，其中許多至今仍在沿用。徐光啟認為對它“不必疑”“不必改”，“舉世無一人不當學”。

入清之後，西洋數學更受到朝野的重視。清初學者薛鳳祚、方中通等從傳教士穆尼閣學習西洋科學，編成《歷學會通》和《數度衍》等，其中數學內容有《比例對數表》《比例四線新表》和《三角算法》，介紹了英國數學家納皮爾和布里格斯發明增修的對數以及球面三角、半角公式、半弧公式、德氏比例式、納氏比例式等。

當然，在推動中國學界接受西洋數學方面影響最大的，還是康熙帝。他除了親自學習天文數學外，還命梅瑴成任蒙養齋彙編官，會同陳厚耀、何國宗、明安圖、楊道聲等編纂天文算法書，完成《律歷淵源》一百卷，以康熙“御定”的名義於1723年出版。其中《數理精蘊》分上下兩編，上編包括《幾何原本》《算法原本》，均譯自法文著作；下編包括算術、代數、平面幾何、平面三角、立體幾何等初等數學，附有素數表、對數表和三角函數表。由於它是一部比較全面的初等數學百科全書，並有康熙“御定”的名義，因此對當時學界和社會有一定影響。

到了乾嘉時期，中國傳統學術達到頂峰。而乾嘉學派的治學方法，與近代西方的科學方法頗有相似之處，以致丁文江說：“許多中國人，不知道科學方法和近三百年經學大師治學方法是一樣的。”胡適也推崇清代經學大師，稱為合於西方科學方法。乾嘉學派的興起，有的學者乾脆就認為是受到西方科學的影響。而在當時的西方科學中，數學是最重要的領域之一。乾嘉學派中的許多學者，都對數學有濃厚的興趣。

受考據學的影響，乾嘉乃至道光時期中國學者在對先前引進的西洋數學進行進一步消化的同時，也出現了一個研究傳統數學的高潮。焦循、汪萊、李銳、李善蘭等人，都有重要貢獻。其中李善蘭在《垛積比類》(約1859年)中得到三角自乘垛求和公式，現在稱之為“李善蘭恆等式”。

清代數學家對西方數學做了大量的會通工作，並取得許多獨創性的成果。嘉慶四年(1799年)，阮元與李銳等編寫了一部天文數學家傳記《疇人傳》，收入了從黃帝時到這一年的已故天文學家和數學家270餘人(其中有數學著作傳世的不足50人)，和明末以來介紹西方天文數學的傳教士41人。這種將中西數學家合在一起寫的方法，表現了明清傳入的西洋數學，已經與中國的傳統數學融為一體，成為乾嘉學術不可分割的部分。由此來看，我們對於《野叟曝言》所反映出來的18世紀中國讀書人，雖然與傳教士沒有交往，但對許多源自西洋的數學知識知之頗多的情況，也就不會感到詫異了。