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函數的本質是集合和集合之間的一種關係。
對於任意元素 x, y，用 (x, y)={{x}, {x, y}} 表示它們組成的序對（{x, y} 是無序對）。
對於任意兩個集合 X，Y，定義卡氏積：
X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }
稱 任何一個 卡氏積的子集 f ⊆ X × Y 為 X 到 Y 的一個二元關係。
如果 關係 f 滿足：對於任意 X 中的元素 x，在 Y 中最多隻有一元素 y 和 x 有關係，即，
(x, y₁) ∈ f ∧ (x, y₂) ∈ f ⇒ y₁ = y₂
則稱 f 為 函數關係，記為 f : X → Y，X 和 Y 分別被稱為 原陪域 和 陪域。
對於任意 A ⊆ X，稱所有 Y 中和 A 的元素有關係的元素組成的集合為 A 的像集，記為 f(A)，有，
f(A) = { y ∈ Y | ∃ x ∈ X, (x, y) ∈ f }
對於任意 B ⊆ Y，稱所有 X 中和 B 的元素有關係的元素組成的集合為 A 的 原像集，記為 f⁻¹(B)，有，
f⁻¹(B) = { x ∈ X | ∃ y ∈ Y, (x, y) ∈ f }
特別當 A = {x} 是單點集時，{y} = f({x}) 簡寫為 y = f(x)，稱，y是x的像，x是y的一個原像。
令，dom f = f⁻¹(Y)，ran f = f(X)，分別成為 定義域 和 值域。
對於 函數關係 f: X → Y ，如果 dom f = X，則稱 f 為映射。
對於 映射 f: X → Y，
如果 ran f = Y，稱 f 是 滿射 或 到上的；
如果 對於任意 y ∈ ran f，y 的原像集 f⁻¹(y) 都是單點集，即，|f⁻¹(y)| = 1，則稱 f 是 單射 或 一一的；
既是單射又是滿射，稱 f 為 雙射、一一對應、一一到上的。
一般地，如果 映射 f : X → Y 的陪域 Y 是數域，則稱 f 為函數，再 根據 原陪域X 的不同（以下，A 是一般集合，R是實數域，C是複數域，K 是數域，V 和 W 是向量空間，L 和 P 是函數空間）：
稱 f: A → R 為集函數；
稱 f: R → R 為 實函數；
稱 f: C → C 為 複函數；
稱 f: V → K 為 多元函數；
稱 f: L → K 為 泛函數；
特別地：
稱 f: V → W 為 向量函數；
稱 f: L → P 為 算子；
我們經常說的函數特指實函數。
另外，稱自身到自身的映射 T : X → X，為變換，為雙射的變換稱為置換。
有些函數除了用序對的集合定義外還可以表示成解析式的形式，稱為函數的解析式表達。
常用的 初等函數，有（a, b, c 都是常數）：
常函數：y = c；
線性函數： z = ax + by；
冪函數：y = xᵃ；
指數函數：y = aˣ；
對數函數：y = ln x，y = logₐ x；
三角函數：y = sin x, y = cos x, y = tan x, ...；
反三角函數：y = arcsin x, ...；
雙曲函數：y = sinh x, y = cosh x, ...;
常用的 超越函數, 有：
伽瑪函數：
- 貝塔函數：
一些特殊函數：
指示函數（也稱 特徵函數）：
單位脈衝函數：
單位階躍函數：
如果函數的解析式寫為 f(x, y) = 0 的形式，則稱為 隱函數。
如果，函數y = f(x) 是雙射，x = f⁻¹(y) 依然是函數，稱為反函數。
對於實函數 f, g 可以定義 函數的四則運算：
(f + g)(x) = f(x) + g(x)、 (f - g)(x) = f(x) - g(x)、(fg)(x) = f(x)g(x)、(f/g)(x) = f(x)/g(x)
對於 函數 f: X → Y、g: Y → Z，可以定義函數複合運算 g ∘ f : X → Z，(g ∘ f )(x) = g(f(x))
實函數還具有如下性質：有界性、單調性、奇偶性、週期性、極限、連續性、一致連續性。
最後，函數被廣泛的使用在數學的各個領域，扮演者重要角色，也揹負不同的本質特性，例如：
《集合論》中的 等價；
《線性代數》中的 （多）線性映射；
《抽象代數》中的 同態和同構；
《拓撲學》中的 拓撲同胚和同輪；
《範疇論》中的 態射、自然變換、函子；
