作者簡介：丘成桐，美國哈佛大學數學與物理學教授，美國科學院院士，中國科學院外籍院士，菲爾茲獎、克拉福德獎、沃爾夫獎、馬塞爾·格羅斯曼獎得主。發展了強有力的偏微分方程技巧，使得微分幾何學產生了深刻的變革，解決了卡拉比（Calabi）猜想、正質量猜想等眾多難題，影響遍及理論物理和幾乎所有核心數學分支。
本文刊登於《數理人文》雜誌（微信訂閱號：math_hmat）與《數學與人文》叢書（第 21 輯：數學百草園，2017 年，原文題為“回首哈佛數學 150 年”），未經許可，不得轉載。
最近我與我的朋友 Steve Nadis 寫了一本關於哈佛大學數學系歷史的書，由哈佛大學出版社出版。
中文版將由高等教育出版社出版
這個寫作計劃開始時，我還是哈佛大學數學系主任。我對於這個系偉大先驅者的人生頗感好奇。因為其中有些人藉著他個人的研究，甚或透過他們的學生，改變了整個世界數學發展的路徑。
如果其他地方的人，能懂得欣賞這些數學家如何做研究，如何建立起這個優秀的學系，而且在這個過程裡，還協助建立了哈佛大學的地位，我認為這會是很棒的事。更何況，這些偉大哈佛數學家的個人軼事，讀來也饒有興味。
我喜歡閱讀數學史，認為好數學家需要知道數學的重要概念如何演進。這些概念的演進充滿了生命力，就像從初生嬰兒慢慢長大成人的過程，這段路可能很戲劇化，而且充滿了興奮與刺激。一旦我們瞭解數學發展的根源，就更能理解當今數學的發展。我相信，哈佛大學數學系從一個三流學系成長為世界級領導中心的過程，提供了很值得參考的個案，或許可以給許多想建立世界級數學系的大學作為借鑑。我非常感謝我的合著者 Nadis，他做了十分廣泛的研究，並採訪了許多哈佛的教師與校友。
一、數學系的曙光：Peirce
我們的書是從 1825 年說起，當時 16 歲的 Benjamin Peirce 剛進哈佛。當他 1829 年獲得哈佛學士學位時，並沒有機會在美國研究數學，因為當時的美國還沒有學校設置博士班。Peirce 因為經濟因素無法前往歐洲深造，結果他先在預科學校（preparatory school）教了兩年書，然後在 1831 年回到哈佛當導師（tutor）。此後一直到 1880 年去世為止，他一直留在哈佛。
去世為止，他一直留在哈佛。
Benjamin Peirce | 來源：Encyclopaedia Britannica
Peirce 是第一位堅持數學家應該做原創性數學研究的美國數學家，也就是說，數學家應該要證明新定理，解決那些尚無人能解的問題。當時，不論在哈佛或美國其他高等教育機構，這樣的態度絕非主流。
Peirce 在 23 歲時，出版了一項關於完美數（perfect number）的證明，其中如果一個正整數的所有因子和（包括 1 在內）等於該數本身，就稱為完美數，例如 6 和 28。當時所有已知的完美數都是偶數，而 Peirce 證明了如果存在奇完美數，它必定至少有四個質因子。直到 56 年之後，英國數學家 James Sylvester 和法國數學家 Cl. Servais 才能夠證出相同的結果，但他們不曉得，Peirce 早在半個世紀前就完成了這項證明。
然而，當時的哈佛校長 Josiah Quincy 卻催促 Peirce 去編寫教科書，Peirce 質問哈佛校方，是否真要他從事“如此耗費時間，內容如此基本，對於渴望在科學上達成更高成就的人完全沒有價值”的工作。當時做原創數學研究的概念實在太過奇特，在美國幾乎是前所未聞，而且也幾乎沒有人有資格去嘗試。
多年之後，Peirce 才在哈佛校長 Thomas Hill 那裡，找到志同道合的盟友。Hill 說：“我們最好的教授整天被繁重的教學與備課責任所禁錮，以至於根本沒有時間與精力去進行個人研究，提升科學與知識。”
Peirce 花了大量時間在天文學研究上，並在 1839 年哈佛學院天文臺的建立過程中扮演關鍵的角色，他對“1843 年大彗星”以及當時新發現的海王星軌道，都做了精密的計算。James Maxwell 和 Lord Kelvin 都對 Peirce 的成就有高度評價。在 61 歲時，Peirce 以線性結合代數（linear associative algebra）為主題，寫了一篇很長的論文，被視為美國人在純數學中的第一個重要貢獻。
1848 年，Peirce 與他的傑出朋友們，包括 Alexander Bache、Louis Aggassiz 與 Joseph Henry，一起建立了美國科學促進會（American Association for the Advanced of Sciences）。他們也協助擘建了美國國家科學院（National Academy of Sciences），其中 Peirce 正是最活躍的成員。當 1880 年 Peirce 去世時，《哈佛磚紅報》表示“上週 Peirce 教授的過世，意味著本校失去了最閃耀的科學明星，甚至最卓越的教授”。基於他對數學系的貢獻，哈佛數學系仍稱呼新進教師為 Peirce 講師。
Peirce 的時代，正是哈佛大學數學系由教學開始轉往研究的時代。事實上，1869 年就職的 Charles Eliot 校長——他也是數學與化學教授——成立了哈佛的數學研究所，並由 William Byerly 在 1873 年成為第一位數學博士。
二、轉變成研究導向的學系
哈佛大學數學系在 Peirce 過世之後，經歷了一段“倒退期”，根據 Julian Coolidge 的說法：“…… 科學活動是一落千丈。”需要多年之後才能破繭重生。不過到了 20 世紀初，William Fogg Osgood 和 Maxime Bôcher 已經將哈佛建立成分析學領域的熠熠新星，分析學是數學的一支，包括微積分在內。他們將數學研究轉變成數學系的核心任務，而不再是像 Peirce 這樣特立獨行之士的嗜好。面對其他大學的強大競爭，哈佛大學數學系儼然成為當時美國最好的數學系。
W. F. Osgood（左），Maxime Bôcher（右）| 來源：Wikipedia
1876 年，美國第一個研究型大學約翰霍普金斯大學正式成立。一年後，他們聘請英國著名數學家 Sylvester 來領導一個以研究為導向的數學系。依照歐洲模式，約翰霍普金斯大學堅持教師和學生的研究應儘可能在重要的期刊上發表。事實上，Sylvester 與 William Story、Simon Newcomb、Charles Peirce 等人創辦了美國第一個重要的數學研究期刊 American Journal of Mathematics，其目標在於出版原創數學研究。儘管 1883 年 Sylvester 離開約翰霍普金斯，前往牛津大學任教，但他關於訓練研究生與研究的想法被轉移到其他大學，如哈佛、普林斯頓、耶魯等。當時最受矚目的是芝加哥大學數學系，由 Eliakim H. Moore 擔任系主任。1885 年，Moore 在耶魯獲得博士學位，併到德國訪問一年。Moore 訓練出幾位重要的數學家：George D. Birkhoff、Leonard E. Dickson 和 Oswald Veblen。這些學生對哈佛、芝加哥、普林斯頓產生深刻的影響。許多人相信 Moore 是“主要的驅動力，最後將美國從數學荒原轉變成數學領域的領導者”（引自 Karen Parshall 的專著）。約翰霍普金斯和芝加哥都強調，他們的教授不但做研究，並且也教育學生要做相同的事，這樣的態度導致美國數學界在 20 世紀初的明顯提升。
由於兩位年輕教授 Osgood 和 Bôcher 的出現，哈佛數學系很快提高了它的國際聲譽。在 1903 年前 80 位美國數學家的排名裡，Osgood 和 Bôcher 排在前四名，另兩位是 Moore 和 George William Hill（他曾與 B. Peirce 在麻州劍橋的航海年鑑局（Nautical Almanac Office）中共事）。有趣的是，當 Osgood 和 Bôcher 還是大學部的學生時，都曾經到哥廷根去跟 Felix Klein 學習，時間分別是兩年與三年。Klein 對美國數學的發展有很深的影響。他的學生 Frank Nelson Cole 就是 Osgood 和 Bôcher 的哈佛導師。（特別的是，Klein 有六位學生，包括 Osgood 和 Bôcher，都曾經擔任美國數學學會的主席。）
Osgood 在德國埃爾朗根大學，由 Max Noether 指導得到博士學位，並且做了函數論方面的重要研究，其中包括證明 Riemann 映射定理。Bôcher 的論文則是跟 Klein 做的，他在那裡研究勢論（potential theory），後來並解釋 Fourier 級數中的 Gibbs 現象。Bôcher 培育了許多學生，並且在 1908 年到 1914 年擔任 Annals of Mathematics 的主編。他同時也是 Transactions of the American Mathematical Society 的創刊人，並且在 Moore 之後，擔任該刊的第二任主編達五年。Bôcher 和 Osgood 留下了足以自豪的成就：他們為美國數學界打下了分析領域的堅實基礎。經由他們的努力，哈佛數學系不僅成為美國最好的數學系之一，即使與歐洲最佳的數學系相比，也毫不遜色。
三、Birkhoff 的崛起
George David Birkhoff 的大學是在哈佛唸的，在此期間他深受 Bôcher 的影響。接著他到芝加哥大學，在 Moore 的指導下取得博士學位。哈佛在 1910 年時為他提供教職，但他回絕了，選擇去普林斯頓。兩年後，他改變心意，於 1912 年回到哈佛任教。
G. D. Birkhoff | 來源：Wikipedia
Birkhoff 代表了下一代、完全在美國受教育的學者。他的數學才能聞名全世界，證明了即使不去歐洲，也可以得到世界級的數學教育。他和其他一些由美國大學栽培的優秀數學家，都充分具備了將來領導學術領域和數學系所的能力。美國本土的數學根基已在形成，從而完成了 Peirce 生前未能實現的夢想。Birkhoff 以及他同時代的數學家，將會證明重要的定理，做出許多卓越的貢獻。
Birkhoff 的重大成就數不勝數，首先是他關於有限制條件三體問題的著名研究。這是 Henri Poincaré 在 1912 年去世前想解決的問題，結果 Birkhoff 在 Poincaré 去世後三個月內解決了這個問題，不過，Birkhoff 告訴他的學生 Marshall Stone，做這個問題，讓他的體重減輕了 30 磅。這個證明成為將分析學的存在性證明連接到拓撲不動點定理的首例。
麻省理工學院的知名數學家 Norbert Wiener，把 Birkhoff 比喻為“出現在哈佛數學蒼穹上的璀璨明星。…… 更獨特的是，Birkhoff 的研究全是在美國完成，並未受益於任何國外的訓練”。Birkhoff 標誌了美國數學成熟期的起點。他直到 1926 年才造訪歐洲，當時距他開始在哈佛教書已有 14 年。
附帶一提，Wiener 在 1913 年從哈佛大學得到博士學位，正是 Birkhoff 回到哈佛的第二年。Wiener 是一位年輕的天才，改變了概率和信息論的面貌。但他極不善於待人接物，無法和系裡每個人相處融洽。他轉到麻省理工或許對數學界是最好的結果，因為在那裡他能夠更自由地鑽研應用數學，並且對工程科學的基礎做出巨大貢獻。
Birkhoff 的眾多成就使得他成為 20 世紀最偉大的數學家之一。他在廣義動力系統的工作為他贏得了首屆 Bôcher 獎。1927 年，Birkhoff 出版了經典著作《動力系統》（Dynamical Systems）。它把動力系統的架構遠遠擴展到星球軌道的課題之外。該書包含了許多創見，不過並未包含他在這個主題上最重要的貢獻：遍歷性定理（ergodic theorem）。Wiener 稱讚 Birkhoff 的遍歷性定理是一項精心力作；“遍歷性假設的正確表述及其定理的證明，是美國數學界、乃至全球數學界，近來的最重要成就之一，這兩者都是由 Birkhoff 完成的”。這個卓越的定理可以上溯到 Maxwell 和 Ludwig Boltzmann 試圖建構氣體動力論的努力。
Birkhoff 是第一位數學家，把變分學的極大極小論證，用在與球面拓撲等價的曲面上，得出不平凡的簡單封閉測地線。這可以視為是威力強大的 Morse 理論的起點。創造這個理論的 Marston Morse 正是 Birkhoff 的學生。Birkhoff 對廣義相對論也有重要貢獻，他證明了一個（和黑洞有關的）定理，說明愛因斯坦方程只有一個球對稱的解。他還提供瞭解決四色問題的重要工具，這個數學命題在 60 年後的 1976 年才由 Kenneth Appel 和 Wolfgang Haken 解出。
除了數學成就之外，Birkhoff 還指導了 46 名博士生，迄今為止，出自他門下的數學家已超過 7300 名。他有四名學生日後成為美國數學會的主席：Stone、Joseph Walsh、Charles Morrey 和 Morse。他的學生又再栽培出許多優秀數學家。例如，Walsh 在取得博士學位後留在哈佛，帶出了 31 名學生，其中包括 Lynn Loomis 和 Joseph Doob。Birkhoff 有三位門生——Morse、Hassler Whitney 和 Stone——獲得國家科學獎章。他的其他許多學生都有卓越的數學貢獻，並且在哈佛或是美國的其他系所成為領導人。
四、分析、代數與拓撲的相遇：Morse、Whitney 和 Mac Lane
Marston Morse 是 Birkhoff 的博士生，他的論文題目是關於如何建立分析與拓撲的關聯，這是一個已由 Riemann、Poincaré 和 Birkhoff 奠立的傳統問題。Morse 特別感興趣的是函數達到極大值、極小值或某種平穩值的（臨界）點。這屬於古典變分學的一部分，其歷史可以回溯至 Euler，乃至 Fermat。Birkhoff 已用它來證明與球面同胚的閉曲面上的封閉測地線的存在性定理。但 Morse 更進一步把臨界點的存在性鏈接到該函數定義空間的拓撲性質。他的方法在現代拓撲學有深刻的用途，因此被稱為 Morse 理論。在 Morse 及其追隨者 Raoul Bott、Stephen Smale 等人手中，Morse 理論成為研究微分拓撲的基本工具。一些重要的方法，像 Smale 發展出來的柄把空間分解（handle-body decomposition），是根據 Morse 理論而來的。Smale 是 Bott 的學生。四維以上的 Poincaré 猜想即是用 Morse 理論解決的。
Marston Morse | 來源：IAS
Hassler Whitney 也是 Birkhoff 的學生，他發展了把流形浸入歐氏空間的理論。流形上的向量叢，即是由此研究衍生的課題。特別是，Whitney 引入了向量叢的 Stiefel-Whitney 類。這種示性類的想法，又被 Pontryagin 和陳省身進一步發展。
示性類和纖維叢的理論協助奠立了現代幾何和拓撲的礎石。它是規範場論的基礎，規範場論是用於描述所有粒子基本作用力的理論。在發展示性類理論的過程中，Whitney 也引入了上同調理論，這是現代拓撲和代數的基本觀念。（James W. Alexander 獨立發明了上同調的觀念。）
Hassler Whitney | 來源：Wikipedia
我任職於普林斯頓高等研究院時遇見 Whitney，他那時顯得相當孤單。他跟我說，他是我在柏克利的老師 Morrey 的好友。Morrey 也是 Birkhoff 的學生，他是偏微分方程現代非線性理論的創始人。Morrey 的一項知名成果是 1949 年時解決 Plateau 問題——他證明三維空間中的任何閉曲線，如果符合適當條件，就會是某肥皂膜的邊界。受到 Plateau 問題的啟發，Morrey 向 Whitney 請教：可以浸入平面的閉曲線該如何分類？Whitney 告訴我，他把 Morrey 的問題當成挑戰。Whitney 的方法又在 Smale 手中得到進一步發展。這個理論的最廣義形式現在被 Mikhail Gromov 稱為 h 原理，據他所云，這個理論具有廣泛的用途。
Saunders Mac Lane 不是哈佛的畢業生，他是在哥廷根受 Hermann Weyl 指導的學生。在 William Caspar Graustein 當哈佛系主任時，Mac Lane 接受了 Peirce 講師的教職。他在哈佛直到 1947 年，然後轉到芝加哥大學。他和 Samuel Eilenberg 合作，把拓撲和代數這兩門重要的數學分支融合成一門兩者緊密結合的新學問；他們一起發展出同調理論的公設化研究理念；建構了在同倫理論計算中非常重要的 Eilenberg-Mac Lane 空間。這些想法也引發了代數和群論的重大發展。
Saunders Mac Lane | 來源：UChicago News
五、複分析與幾何
芬蘭人 Lars Ahlfors 1907 年出生於赫爾辛基，他是第一個在哈佛數學系獲得終身教職的歐洲數學家。當加入哈佛時，他已經是第一流的國際明星。他在 1936 年，與麻省理工的 Jesse Douglas 共同獲得第一屆菲爾茲獎。Ahlfors 後來還獲得沃爾夫獎。
Lars Ahlfors | Bill Graustein 攝
1935 年，在 Constantin Caratheodory 的大力推薦之下，Graustein 提供給他為期三年的客座講師職。他最後在 1946 年加入數學系，1977 年退休。Ahlfors 是繼 19 世紀德國數學家 Riemann 之後，又一個複分析領域（特別是從幾何角度來探討）的偉大開拓者。
Ahlfors 是芬蘭大數學家 Rolf Nevanlinna 的弟子，後者帶他認識了 Denjoy 猜想，這是一個關於複平面上全純函數漸近行為的著名猜想。Ahlfors 在 1930 年解決這個問題。約略同時，瑞典數學家 Arne Beurling 在巴拿馬獵鱷魚時，也獨立提出他的證明。（Beurling 在 1948 年至 1949 年任教於哈佛，然後去了普林斯頓高等研究院。）Ahlfors 還曾提到：“我不知道德國數學家 Grötzsch 已經發表了數篇和我想法類似的論文。”Beurling 成為他畢生的摯友和競爭者，而 Ahlfors 也把 Herbert Grötzsch 的一些想法運用到準保角（quasi-conformal）映射的研究上。
Ahlfors 創立並且觸及複分析的每一面，大部分是從幾何的角度。他在證明 Denjoy 猜想時，已經研究了保角映射中長度和麵積的扭曲。他廣泛地發展這些幾何想法，然後將成果總結成一篇名為《覆蓋空間的主定理》（Zur Theorie der Überlagerungsflächen）的論文，於 1935 年發表在 Acta Mathematica。這篇論文為他在次年贏得菲爾茲獎。關於這面獎牌有個逸聞：1944 年，當 Ahlfors 需要籌集從瑞典到瑞士的旅費時，他把獎牌送進了當鋪（後來經由幾位瑞典友人的協助，獎牌被贖了回來）。在 1939 年至 1940 年芬蘭冬季戰爭期間，他花了大量時間躲在防空掩體裡，撰寫一篇名為《半純曲線論》（The theory of meromorphic curves）的專題論文，該文以非常幾何的方式，把 Nevanlinna 的理論推廣到多維空間中的復曲線。
我的老師陳省身，在 Ahlfors 這篇論文發表 40 年後，曾予以透徹研究。事實上，Ahlfors 透過 Riemann 面的幾何，給出了 Schwarz 引理的完美詮釋。它展示出負曲率如何有助於控制全純映射的行為。Ahlfors 的這項原理激發了近 50 年來高維複分析的發展。
Ahlfors 在極值長度（extremal length）、準保角映射、Riemann 面模空間、Klein 群等主題的研究，開啟了現代複分析的新地平線。
六、大戰餘波：Gleason、Mackey 以及 Hilbert 空間
第二次世界大戰時，由於教師參軍或自願投入研發支持同盟國，哈佛數學系的規模大幅縮減。例如 Stone 擔任美國數學學會的戰爭政策委員會主席；Walsh 應召入伍進入海軍；Coolidge 在 70 歲的高齡還從退休重返教職，替正在保衛國家的教授同僚教微積分。
Mac Lane 則領導以哥倫比亞大學為大本營的應用數學家們，專門研究戰爭相關的問題。成員包括哈佛的拓撲學家 Whitney；擔任 Peirce 講師的 Irving Kaplansky，他原來是 Mac Lane 的博士生；另外還有哈佛講師 George Mackey，他是 Stone 以前的學生。
Garrett Birkhoff（G. D. Birkhoff 的兒子）和 Loomis 以及麻省理工學院的 Norman Levinson 合作，預測空中發射魚雷的水底軌跡。他也和 Morse 與 John von Neumann 加入一個委員會，分析如何促進防空炮彈的效用，以及射穿坦克裝甲的問題。戰後，Garrett Birkhoff 開始探索混合純數學與應用數學的數學問題。G. D. Birkhoff 則為哈佛的 Howard Aiken 尋找資金，建造當時世界上最大、威力最強的計算器——哈佛馬克 1 號，用來做射擊彈道的計算，後來也為曼哈頓計劃做計算。
馬克 1 號被拆解後，一部分用作哈佛 Science Center 的永久展示 | YS 攝
Stanislaw Ulam 在 1936 年至 1940 年成為哈佛學會（Harvard Society of Fellows）的年輕學者與數學系講師。他後來加入曼哈頓計劃負責繁複的數值計算，幫助設計出第一顆原子彈。Ulam 後來發明蒙特卡羅法，以統計方法來解決數學問題。他也是發展氫彈的關鍵人物。物理學家 Edward Teller 曾經這樣評價 Ulam：在真正危急的時候，數學家仍然勝出，只要他真的很好的話。
Andrew Gleason 是耶魯的大學生，1942 年畢業之後旋即加入位於華盛頓特區的海軍密碼分析小組。他曾協助破解日軍的密碼，偉大的計算科學家 Turing 盛讚他的傑出工作。1946 年 Gleason 離開海軍，先成為哈佛學院的年輕教師，後來成為數學系的教授直到退休。一直到 1990 年為止，他都是政府情報體系的顧問。他引入了許多分析密碼的重要數學技術，結合了他的編碼理論研究與龐大的純數學課題研究。
Gleason 非常著迷於 Ramsey 理論，這是一門和數東西、尋找秩序有關的理論，可以從似乎無秩序的結構中找出有組織的子結構。他和 Robert Greenwood 算出 R(4,4) 等於 18，也就是說你必須找到 18 個人，才能確保其中至少有 4 個人完全不認識對方，或是彼此都認識。
不過 Gleason 最知名的工作是 Hilbert 第五問題。這個問題屬於 1900 年 Hilbert 在巴黎國際數學家大會所提出的 23 個問題。第五問題是局部歐氏群是否必然是李群。許多偉大的拓撲學家都曾經試圖解決這個問題，但卻都失敗。Gleason 為這個問題做出最關鍵的貢獻，最後才由高等研究院的 Deane Montgomery 與紐約城市大學皇后學院的 Leo Zippin 聯合解決。
G. Mackey（左），A. Gleason（右）| 來源：The Harvard Gazette
Gleason 並沒有博士學位，他自認 Mackey 是他的恩師。Mackey 是現代群表現論的鑄造者，他也在量子物理基礎上有重要貢獻。Mackey 對他的指導教授 Stone 與 von Neumann 所構築的理論很感興趣，這項理論試圖解釋 Heisenberg 的測不準原理，也就是一個粒子的位置測量精確度與其動量測量精確度成反比。Mackey 可以將 Stone-von Neumann 的理論擺置在一個廣義的數學脈絡中。Andre Weil 隨後注意到 Mackey 理論中的特例，和數論中的一些深刻理論很有關係。
Mackey 對於 Max Born 法則很感興趣，亦即在某時某地找到一物的概率密度等於其波函數絕對值的平方。von Neumann 與 Mackey 想要從第一原理出發，說明以單位向量表示狀態是數學上可證明的。由於von Neumann 用的一些公設約束性太大，Mackey 想要移除它們。Mackay 重新將這個問題用精準的數學形式來呈現，寫成一個猜想。Gleason 被這個猜想所激勵，投入研究並最後證明它。
Mackey 的表現論著重於酉表示（unitary representation），他以導出表示（induced representation）為基礎，發展了所謂的“Mackey 機器”。這個理論在包括量子物理與數論的幾項主題的發展上有很深刻的影響。
七、歐洲人：Zariski、Brauer 與 Bott
第二次世界大戰之後，有好幾位一流歐洲數學家加入哈佛數學系。除了 Ahlfors（1946）之外，還有 Oscar Zariski（1947）、Richard Brauer（1952）和 Raoul Bott（1959）。每一位都對這個系以及他們的專長領域造成巨大的影響，這些領域分別是代數幾何、群論和拓撲。
Oscar Zariski | 來源：MFO
Zariski 是第一位在哈佛數學系拿到終身教職的猶太人，他在數學上的宏大沖擊和宗教信仰並無關係（事實上他自認是無神論者）。Zariski 和 Weil 重新整理了代數幾何，將它置於比從前更堅實、也更代數的基礎之上，他們塑造了代數幾何領域的日後發展，為未來幾十年的進步奠下基石。
1899 年 Zariski 生於俄國的科布爾，1918 年就讀於基輔大學。他在當時的俄國革命中受傷，離開俄國到羅馬薩皮恩札大學讀書，當時這裡是研究代數幾何的世界中心，教師陣容中有三位偉大的代數幾何學家：Guido Castelnuovo、Federigo Enriques 與 Francesco Severi。他們就是意大利古典代數幾何的象徵與本尊。代數幾何是一個以各種方式結合代數與幾何的領域，運用代數技巧來解決幾何問題。
Zariski 在羅馬待了三年，並深深受到意大利幾何學家的影響。不過 Castelnuovo 卻告訴他：“你雖然在這裡和我們一起，卻不是我們的一員。”Castelnuovo 此言並非斥責，而是一種敦厚的善意，因為 Castelnuovo 曾告訴 Zariski，意大利學派的方法已經窮竭所有可能，走到盡頭，不適合再往前發展。後來 Zariski 發現意大利學派的代數幾何“基礎搖晃不安”。他需要修正 Severi 的證明，但 Severi 卻說：“我們貴族是不做證明的，證明是你們庶民的事。”Zariski 將代數幾何基礎的重建視為己任，並在抵達美國之後才完成。
Castelnuovo 和 Severi 鼓勵 Zariski 去進行 Solomon Lefschetz 新穎的拓撲研究，他接受這項建議，並在 Lefschetz 的協助下找到工作，1927 年成為約翰霍普金斯的研究員，一年之後就升任副教授。Zariski 在約翰霍普金斯任職大約 20 年後，成為哈佛的一員。
在這期間，Zariski 決定從嶄新的角度探索代數幾何，1935 年，他出版《代數曲面》，在二維曲面上實踐他的新觀點。事實上，Zariski 重建了代數幾何的基礎，而他所使用的語言是現代的交換代數，這是他 1934 年至 1935 年在普林斯頓高等研究院，從 Emmy Noether 那裡學到的。
在 1937 年，Zariski 曾說：“我的研究特性經歷了劇烈的改變，不論是使用的方法或是問題的敘述方式，其特徵都越發代數取向。”但是他也補充說：“純粹形式的代數或形式數學並非我天生的性向，我和真實的生活也有非常多的接觸，那就是幾何學，幾何才是真實的生活。”
關於這個新的代數取向，Zariski 的博士生廣中平佑（Heisuke Hironaka）說，一旦證明是以代數為基礎，嚴格性就是自然的結果，這也幫助數學家處理那些無法眼見的高維度形體。這個想法對 Weil 和 Zariski 發展以任意體為基礎之幾何也極為重要，也就是說他們所處理的代數空間並不只限於實數或複數座標。其中最奇特的是有限體的代數簇（variety），事後證明這對現代數論非常重要。
1940 年，在 Birkhoff 的大力推薦下，哈佛準備提供 Zariski 終身教職，填補剛退休的 Coolidge 與 1941 年初去世的 Graustein 所留下的空缺。於是，該年 Zariski 到哈佛訪問一年。不幸的是，由於日本轟炸珍珠港，大學當局凍結了教職，Zariski 只能回約翰霍普金斯大學擔任繁重的教學職務。不過在這期間，Zariski 證明了他知名的“主定理”以及連通性定理。根據他的博士生 David Mumford 所言，他運用代數中的基本概念，並萃取了幾何的內涵。這正是 Zariski 長久努力為代數幾何奠基研究的一環。整體而言，Zariski 成功撐起代數幾何基礎的成就，也許比他證明的任一個別定理都更重要。
Zariski 在 1947 年終於成為哈佛教席的一員，他讓哈佛在接下來的 30 年中，成為代數幾何的世界中心，就像幾十年前的羅馬大學一樣。Zariski 將頂尖的學者帶進哈佛，他推動關鍵的教席任命，邀請明星級的訪問學者，如Jean Pierre Serre與Alexender Grothendieck，並且以他研究的高度與個人魅力，吸引了一批優秀的研究生。
Zariski 在 20 世紀 40 年代的重要數學成就，是關於代數曲線與代數曲面奇點的消解（resolution），這導致數十年後，1964 年廣中平佑所有維度奇點消解的偉大定理，他的另一位學生 Shreeram Abhyankar 在 1956 年解決了有限體代數流形（不超過二維）的消解問題，約十年後，Abhyankar 又解決了三維的情況。
除了廣中平佑與 Abhyankar 之外，Zariski 所訓練的傑出學生還有 Mumford 與 Michael Artin，Zariski 學生的整體成就改變了整個代數幾何的主題。今天關於代數幾何最核心的部分，大多得歸功於這一群數學家。
Richard Brauer 與太太 Ilse | 來源：MFO
Richard Brauer 在他職業生涯的中期來到哈佛，當時他的整體成就已經令人印象深刻，但是此後他還有更多的成果。他是 Issai Schur 在柏林大學的學生，博士論文的主題是群表現。1933 年，他離開德國，在高等研究院待了一段時間，1934 年至 1935 年成為大數學家 Weyl 的助理，隨後在經歷多倫多大學與密歇根大學的教職後，加入哈佛的教席。在多倫多時，Brauer 投入有限群及其群表現的研究，在這個主題裡，他獲得許多優異的成就，並結合成一個宏大的理論：有限單群的分類，這是所有有限群的基礎。他在 1955 年的論文《偶數階的群》中提出一個分類單群的策略，後來被稱為“Brauer綱領”。
Walter Feit 說，正是 Brauer 踏出關鍵的第一步，才讓他們有可能證明出知名的 Feit-Thompson 定理：“所有奇數階有限群都是可解的”。John G. Thompson 因為這個定理獲得菲爾茲獎。
1972年，Zariski 的另一個學生 Daniel Gorenstein 提出一個 16 步驟的綱領，試圖證明所有有限單群若不隸屬於 18 族群，就只屬於例外的 26 種“異散群”（sporadic groups）。這個綱領的最後一塊，是一篇長達 1200 頁的論文，作者是加州理工學院的 Michael Aschbacher 與伊利諾伊大學芝加哥校區的 Stephen Smith。
Raoul Bott | 來源：MFO
1923 年，Raoul Bott 生於布達佩斯，他畢業於加拿大麥基爾大學，並在 Richard J. Duffin 的指導下，在卡內基美崙大學應用數學研究所就讀。他和 Duffin 解決了電路網理論中一個十分有挑戰性的問題，Weyl 十分欣賞這項研究，邀請 Bott 到普林斯頓高等研究院訪問。在那裡 Bott 結識了 Morse，學習 Morse 的臨界點理論，並將它推廣到臨界點非孤立的情況。
運用這個推廣的 Morse 理論，Bott 進行了計算李群同倫群的卓越研究，還發現令人意外的現象：當 n 很大時， SO(n) 的同倫群竟然出現週期 8 的現象，而 SU(n) 的同倫群則出現週期 2。根據 Michael Atiyah 的說法，Bott 在 1957 年的這篇論文是一枚“炸彈”，現在這個定理稱為“ Bott 週期性定理”。這個發現影響極大，開始了拓撲與幾何一波接一波的發展，尤其是 K 理論的進展，這是關於向量叢的研究，肇始於 Grothendieck、Serre、Atiyah 與 Friedrich Hirzebruch。這是 Bott 在他還是密歇根大學教授時所完成的工作。
在 John Tate 的大力推薦下，Bott 於 1959 年來到哈佛就職，系主任 Zariski 說：“Bott 正是讓他感覺無聊沉悶的系可以再度鮮活起來的最佳人選。”Bott 在哈佛一直待到退休。
Bott 的其他極具影響力的工作包括了 1964 年的 Atiyah-Bott 固定點公式，以及他與 Atiyah 合作的等變上同調理論（equivariant cohomology）。
Bott 對數學群體與數學系的影響遠超出他所發表的論文。他訓練出好幾位傑出的數學家，包括在密歇根時的 Smale，哈佛時的 Daniel Quillen 與 Robert McPherson。
僱用 Ahlfors、Zariski、Brauer、Bott 以及隨之而來的其他數學家，哈佛向大洋另一邊的數學家打開大門，更促進了數學系、數學領域、甚至數學文化的發展。
Bott 說過他感謝“這個國家，以崇高的心靈與慷慨的胸懷接受這麼多來自不同海岸的人，不介意我們的口音與其他差異，讓我們能適才適性，竭盡所能”。
八、結論
今天的哈佛數學系和往日一樣優秀，承續著開系先賢的傳統。在 2009 年的一次晚宴中，Tate 宣稱現在是本系的全盛時期。這句話也許略嫌誇張，但是我必須承認，這個系繼承了讓它在過去 150 年如此偉大的恢弘傳統。
哈佛數學系的規模仍然很小，只有 18 位資深教席。我們依然相信質量是聘任終身教職時最重要的標準，也繼續開放給所有族裔與國籍的傑出數學家，只要他們願意奉獻於研究，並且為哈佛大學訓練出最好的學生。
Birkhoff 於 1912 年來到哈佛，從那時開始，在世界上最優秀的心智領導之下，數學系已經發展了 100 年的高階研究。
回顧這段歷史，再比較其他國家還在奮力發展一流數學研究的大學，我們有下列結論：
1. 20 世紀之交正是美國發展高層科學研究的恰當時機，主要的大學如約翰霍普金斯、耶魯、芝加哥、哈佛都勠力於爭取歐洲最好的學者（例如 Sylvester），並盡全力培育最好的學生（如 Birkhoff、Whitney、Morse）。這些努力也得到大學校長（如 Eliot）與院長（如 Graustein）的大力支持。他們都有極力成為世界上最好大學的遠大願景。
2. 在 19 世紀下半葉，美國的經濟狀況大有改善，其盛勢持續至今。私人捐贈者捐獻大量的金錢給大學，例如 John D. Rockfeller 捐給耶魯與芝加哥，Leland Stanford 則捐贈他所有的錢財建立了斯坦福大學。他們對高等教育的無私態度，舉世無匹。而且這樣的奉獻態度依然保持到今天。
3. 基於大學所提供的良好環境，以及優秀大學彼此之間的良性競爭（相較於某些新發展國家大學的檯面下競爭），教授與學生能奉獻精力於原創性的研究。
我們也能體認到當時研究者研究數學時的強大自信。例如 Birkhoff 在無人指導的情況下，竟然敢孤身嘗試解決 Poincaré 留下來的有限制條件三體問題，顯示了當時數學領導者的自信。
Birkhoff 不覺得他有需要前往德國跟隨大師學習，自己就開展了許多新穎的領域，也栽培了具有同等創造力的學生。他之所以能完成這份艱難的工作，部分得歸功於哈佛能夠匯聚一批天賦優異的學生，哈佛大學部與研究所這些學生的總體貢獻讓哈佛成為名校，他們跟隨大師學習，開闢自己的領域與研究子題。
4. 這些領導人心胸開闊，願意嘗試新穎的研究方向。從 Birkhoff 時期一直到今天，哈佛的教師與學生在變換新研究方向時從來不畏縮。因此開拓了很多新領域：現代拓撲學、動力系統、遍歷論、信息論、非線性偏微分方程、幾何觀點的復變分析、基於代數的代數幾何基礎、群論、數論等，幾乎包括所有對數學具有根本重要性的領域。
5. 數學系的氣氛非常友善，因此許多絕對一流的訪問學者都能與我們的教授和學生進行交流。在這樣的環境中，新理論逐一誕生，並進而刺激年輕學生繼續向前探索。
6. 儘管資深教師的人數很少，但他們都投入大量努力去教導學生。教師和學生愉快地一起工作，他們以哈佛為榮，願意維護哈佛的崇高聲譽。
7. 美國是最大的移民國家，18 世紀前開發東部和南部，獨立戰爭更要聯合法國對付英國在海上的威脅，19 世紀時向西部殖民，充滿冒險開創的作風，影響及於學術界。同時多民族的社會鼔勵良性的學術競爭，開國至今，社會大致上兼容幷蓄，這在其他國家並不多見。
讓哈佛數學系如此傑出的也許還有其他原因，但我相信以上是最關鍵的因素。
以上討論哈佛大學數學系的發展，從中也可以看到哈佛是如何發展科學的。事實上，我們在這裡也看到美國科學的發展的一個重要部分。
現在談談 64 年【編注：本文作於 2013 年】來新中國數學發展的走向：它的成功和過失，希望有利於以後的發展。
新中國成立初期，最重要的事情乃是華羅庚放棄美國優厚的待遇，回國服務。他的學問遠勝於當時留在中國的數學同仁，他拳拳於領導中國數學走向世界一流的水平，由於熱情洋溢，被有心人說是熱衷功名。他帶領一群年輕有為的學者，努力於解析數論、代數和多複變函數多個學科的研究，雖然不斷受到多方阻撓，他還是排除困難，領導中國數學走出了好幾個重要的新方向，使中國數學在世界數學中佔了一定的地位。除了華先生和他的學生王元、陸啟鏗、萬哲先、龔昇、潘承洞、陳景潤等人外，還有陳建功、熊慶來、蘇步青、許寶騄、吳文俊、吳新謀、馮康、嚴志達、廖山濤、谷超豪、夏道行、楊樂、張廣厚、王光寅等人，他們有些留日，有些留蘇，有些留英法，有些留美，後面三位和華氏子弟都是由本國培養出來的傑出年輕人，開創了“文革”以前一段興旺的時期。總的說來，他們已經逐漸向世界水平邁進，但由於長期的孤立，沒有接觸到歐美在 20 世紀後葉發展出來的重要數學學科。
華先生的學問確實一流，但是和哈佛的 Birkhoff 比較，開創性還是有些欠缺，其學生和上述諸人學問也遜色於 Birkhoff 的幾位天才橫溢的學生。畢竟 Marston Morse、H. Whitney、C. Morrey 和 M. Stone 等人都是一代大師，開創了 20 世紀多個重要學科，成為現代數學和物理學的基礎。在 20 世紀 30 年代一個小鎮就產生了這麼多重要的人才，可以說是歷史奇蹟！可怪的是，同時間在哈佛的中國留學生（如姜立夫等人）回國後對數學研究竟無貢獻可言。這可能與中國長久未接觸西方文化，和在學術界過分以政治掛帥有關，但是話說回來，這些學者畢竟也花了不少工夫去培訓後生，產生了陳省身、華羅庚、周煒良等中國最傑出的數學學者。
值得憂慮的是，事隔多年，新中國成立直到如今，這些學術界的政治問題比以前更為嚴重，很多學識淺薄的學者發表了一些膚淺文章後，就開始操縱學術界，趾高氣揚地指揮比他有深度得多的學者，到處宣傳自己和同路人，其實他們連學問好壞都沒有能力去分辨，一些領導人卻往往被這種人矇騙，使同行有學問的學者受辱，學術研究因此停滯不前。
這些學者，趁華先生和陳先生去世，就有系統地把持中國數學。事實上，他們對最先進的本行學問都還沒有搞懂。如何去領導同行？這種二流學者做領導的現象在哈佛 20 世紀的歷史上未曾出現過。不知這種腐敗不良的現象何時才可以改變過來。
改革開放後，大批中國青年留學，有能力的還不少，但與哈佛大學 80 年來培養的傑出學生水平距離尚遠，我讀美國史，發現美國從開國到 20 世紀中葉，即使在積弱的時候，很多美國人也不拋棄自己的理想，不追求虛偽的面子，卻堅持追求真正的結果，寧為玉碎不為瓦全，希望我們的留學生能將這種良好風氣帶回中國。
不幸的是，我在中國數學界看到很多相反的現象，很多年輕學子只願意做一些小問題，卻去巴結逢迎有權勢的學者，甚至有人去抄襲而不知恥！這些情況，在數學界，令人難以置信。在哈佛，無論教授和學生，都以研究為最高目標，100 年來哈佛的師生髮展了好幾個新的基本而重要的數學學科，反觀中國，到目前為止，尚未了解的學科甚多，更遑論開拓新的理論。
但是中國的國力比先前大得多，中央領導又希望科技早日趕上世界水平。上面所述，可以看作是：他山之石，可以攻玉，本文無意指責一些學者，但一個國家如果不知自己的缺點，而不知改正的話，恐怕很難成功地發展良好的學問。當年打擊土豪劣紳，完成土地改革，今日恐怕也須在學術界做同樣的事情，才能完成學術改革。如果成功的話，我相信中國的數學很快能夠與哈佛大學的水平相提並論！
中國學術腐敗的現象很多起源於體制問題：院士選舉和院士霸權固然是高等科研障礙的始作俑者，但是高校為了爭取院士和千人計劃等往往採用不正當甚至不合法的手段，使得傑出人才不能展其所長，同時高校領導的任命往往與政治掛鉤，即使最有名的大學的黨委書記也可以完全沒有學識，不但沒有念過研究院，連起碼的本科學識都不見得能夠掌握，這種人如何去領導和任命一流的研究人員，結果是吹捧二三流教授而不自知！
因此，很多名校任命了一大幫高薪而在國外領全薪的所謂名教授，因為這些第一把手看不起在中國培養出來的年輕人，這些事情在哈佛大學是不能想象的。除了正式休假的時間，除非有極其特別的理由，得到董事會批准，教授們要留校，至於終身教授的任命，是整個大學最重要的環節，以學問為最重要的考慮因素，經過有學問的學者重重審閱，才決定聘請！這是哈佛數學系 100 年來經久不衰的主要原因！
延伸閱讀
1. 丘成桐：哈佛大學三十年
2. 楊樂：改革開放前夕和初期我國對外數學交流瑣憶
3. 舊文重讀 | 丘成桐：中國基礎科學發展
4. 丘成桐：數學和基本科學在應用科學中的重要性
5. 丘成桐：數學史與數學教育
6. 丘成桐：中國的高等教育
7. 丘成桐：文化與創新
8. 丘成桐、劉克峰、楊樂、季理真主編，《數學與人文》叢書，已出版 28 輯。
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