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這事實際上是數學界的一次致敬，也是一次對未來一百年內數學領域重大難題的集中攻克目標的總結。

1900年，德國數學家大衛·希爾伯特在巴黎提出的23個歷史性數學難題，經過一百年，約17個難題至少已被部分解答。

2000年，又過了一百年，數學必須向前發展，而解決一些長期無法攻克的難題成了當務之急。為此，美國克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute，CMI）同年5月24日公佈了7個數學難題，解題總獎金700萬美元。

根據克規則，這一系列挑戰不限時間，題解必須發表在國際知名的出版物上，並經過各方驗證，只要通過兩年驗證期和專家小組審核，每解破一題可獲獎金100萬美元。

然而，除了近日火爆的黎曼猜想，目前僅有龐加萊猜想在2003年被俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼證實，可見這七個難題的難度。

龐加萊猜想

在拓撲學的意義上，一個二維球面是緊緻且單連通的。通俗地說，這意味著球面不會無限延伸，並且其上任意一個閉合的圈都可被收緊至一點。龐加萊猜想考慮的是更高維的情況：一個閉的三維空間，若其上的每條閉曲線都可以連續收縮到一個點，那麼拓撲地看，這個空間是否就是球面。它的數學陳述為：一個單連通三維閉流形同胚於三維球面。這一猜想是三維流形的分類問題的核心。1962年，斯蒂芬·斯梅爾證明了龐加萊猜想在五維以上的等價結論，四維的情況則在二十年後被邁克爾·弗裡德曼證明，但數學界始終對三維流形束手無策，而我們所處的宇宙是一個三維流形，更顯現出問題的重要。

龐加萊猜想的官方陳述由約翰·米爾諾寫出。

2003年，俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼在互聯網貼出了完整證明，先後有兩篇文章，但文字簡略且原創性極強，數學界經過近三年才完成校驗。2006年，多組研究者先後發表論文闡釋了佩雷爾曼的成果，並認定其無誤。由於這一貢獻，國際數學家大會決定授予佩雷爾曼菲爾茲獎，但他本人卻拒絕領獎。2010年3月18日，千禧年大獎正式頒發給佩雷爾曼，但他又一次拒絕領獎，也包括克雷數學研究所的百萬獎金。根據俄羅斯國際文傳電訊社的消息，佩雷爾曼認為此獎不公，他相信哥倫比亞大學數學家理查德·哈密頓對這一問題的貢獻絲毫不遜於自己。

P/NP問題

在理論計算機科學中，複雜度類P指所有可由確定型圖靈機在多項式時間內解決的問題，類NP是所有可在多項式時間內驗證解的正確性的問題。這裡所謂“多項式時間”指的是求解算法運行時間至多是輸入規模的多項式函數。粗略地說，P類問題是可以在計算機上快速求解的問題，而對NP問題則可快速確定某個可能的解是否正確。可以看出P類問題也是NP類問題，而兩者是否完全相等便是P/NP問題，即是否所有NP類問題都是P類問題，擁有多項式時間的求解算法。P/NP不單是一個抽象的數學難題；若得以解決，它在運籌學和密碼學等應用領域也將有重大影響，此外還被認為具有特別的哲學意義。

2001年一項針對100名數學和計算機科學家的調查結果是其中61人相信P≠NP，2012年調查者重複了這一問卷，結果是84%的受訪人相信P≠NP，在可能的解決方法上，他們給出了組合數論、邏輯學和代數幾何等答案。在研究方面，對P/NP問題的重大進展來自於1970年代斯蒂芬·庫克和列奧尼德·列文的成果，他們證明存在這樣一類問題，若能對任意一個NP問題找到多項式時間的求解算法，那麼所有NP問題都是多項式時間可解的。他們將此類命題命名為NP-完全問題。而對P/NP難題最近一次引起大量討論的嘗試來自於惠普實驗室的印度科學家維奈·迪奧萊裡卡（Vinay Deolalikar），2010年8月他在網上貼出了一篇長達100頁的論文，宣稱證明了P≠NP，在計算機科學和數學界的一番討論和校閱中，尼爾·伊莫爾曼等人發現了論文中的致命錯誤。

P/NP問題的官方陳述由斯蒂芬·庫克寫出。

霍奇猜想

數學的一大分支代數幾何的中心研究對象是代數簇，簡言之它是由代數方程產生的代數對象，是幾何對象的推廣，人們所熟知的任何幾何對象（如圓）都是一個代數簇，但並非所有代數簇都是幾何的、可以直觀描繪的。在此一猜想中，代數幾何學家關心的是非奇異射影代數簇，粗略而言它是一個光滑的多維曲面，由代數方程解定義產生。霍奇猜想所說的是在這種“形狀完美”的代數簇上，本可能不是幾何對象的霍奇閉鏈（Hodge cycle）卻是由一種名為代數閉鏈的幾何對象組成的。其嚴謹的數學表述為：在非奇異復射影代數簇上，任何一個霍奇閉鏈都可以表示為代數閉鏈類的有理線性組合。誠然，霍奇猜想中的數學名詞可說是令人生畏，在七大千年難題中，它也被認為是對非專業人士而言最難理解的一個。然而霍奇猜想的證明將為代數幾何、拓撲學和數學分析三個領域建立一種基本的聯繫，因此具有重大意義。

蘇格蘭數學家威廉·霍奇在1950年公佈猜想後不久，唐納德·斯賓塞和小平邦彥便為其中一種簡單情況做出了證明。近年來的研究方向分為兩支：美國數學家菲利普·格里菲斯等人嘗試將這一猜想化約為霍奇類導出的多元可容正規函數（admissible normal function）的奇點（singularities）存在性問題，克萊爾·瓦贊則力圖在算術簇上證明霍奇猜想。大體而言，霍奇猜想的證明仍然難見突破，它甚至被稱為是一個漫無邊際的猜測，暫時沒有有力證據證據表明霍奇的直覺是正確的。

霍奇猜想的官方陳述由皮埃爾·德利涅寫出。

黎曼猜想

數論分支解析數論的一大研究主題是素數分佈。1740年瑞士數學家歐拉研究瞭如下用希臘字母zeta命名的函數：

用一種與埃拉託斯特尼篩法頗有相通之處的證明法，他證明了對於任意 s>1，

此處 p為全體素數。這一被稱為歐拉乘積公式的等式標誌著解析數論的肇始，它表明ζ函數與素數有著隱約而緊密的關係。19世紀的德國數學家黎曼對這一函數的性質做出了更深入的研究，他證實了通過解析開拓，zeta 函數可以被定義在複數域。由於他是認識到這一點第一人，此函數通常被稱作黎曼ζ函數。在1859年的論文中，黎曼首先觀察到ζ函數在負偶數上有零點，它們被稱作“平凡零點”，在注意到一些規律後，他猜測ζ函數所有非平凡零點的實數部分均為1/2，也即ζ函數非平凡解都位於直線

黎曼猜想是千禧年七大難題和希爾伯特的23個問題唯一一個共同的問題，是150年來一直吸引著數學家的難題，對它的研究極大推動了解析數論的發展。有分析和數值上的證據支持黎曼猜想是正確的。例如，1914年哈代證明了ζ函數有無限多個零點的實部等於1/2，1989年布萊恩·康瑞（Brian Conrey）證明了ζ函數全部零點中有2/5位於臨界線上，2012年這一結果被提升到了41.28%。2004年，數學家通過計算機驗證了ζ函數前1013個零點，沒有找到黎曼猜想反例，但這些離真正證明黎曼猜想仍相去甚遠。

黎曼猜想的官方陳述由恩里科·邦別裡寫出。

楊-米爾斯存在性與質量間隙

在物理學中，楊-米爾斯理論是一種基於非阿貝爾群的量子規範理論。20世紀初，物理學家期待量子理論和經典場論兩種思想可以融合。在這一方向上，最早出現的理論是英國物理學家保羅·狄拉克1927年創立的量子電動力學，簡稱QED，它提供了對電磁現象的量子描述，成為麥克斯韋理論的一個量子版本，能極為精確地解釋電磁場和電磁力。自然而然的，物理學家期待後續的理論能將電磁現象與弱力和強力一道統一起來。1954年楊振寧和羅伯特·米爾斯提出了楊-米爾斯理論，它是對QED的進一步推廣。在此基礎上統一電磁力和強弱相互作用時，物理學家發現這一理論的“無質量性”成為癥結所在。經典楊-米爾斯理論的核心是一組非線性偏微分方程，楊-米爾斯存在性與質量間隙難題旨在證明楊-米爾斯方程組有唯一解，並且該解滿足“質量間隙”這一特徵，其官方表述為：對任意緊緻、單的規範群，四維歐幾里得空間中的量子楊-米爾斯理論存在一個正的質量間隙。質量間隙問題是量子色動力學理解強相互作用的理論關鍵，關乎理論物理學的數學基礎，其解決將意味著一個數學上完整的量子規範場論的產生。

這一問題的解決前景不甚樂觀，愛德華·威滕也直言“（它）對現在而言實在是太難了。”物理學家普遍相信質量間隙的存在，但至今未能找到確鑿的數學和物理學證明。

楊-米爾斯存在性與質量間隙問題的官方陳述由亞瑟·賈菲和愛德華·威滕寫出。

納維-斯托克斯存在性與光滑性

在流體力學中，納維-斯托克斯方程描述了包括空氣和水在內的流體的運動。該方程組早在1821年便由法國工程師克勞德-路易·納維發現了，他通過引入黏度的概念而推廣了17世紀建立的歐拉方程，隨後愛爾蘭數學家喬治·斯托克斯又對其多次完善。長久以來，數學家和物理學家相信對此方程的解能解釋和預測流體行為，但至今我們對它的理解也頗為有限。具體說來，對i=1,2,3，都有如下納維-斯托克斯方程，

在此問題上數學家們已取得了部分成果。1934年，讓·勒雷證明了方程弱解的存在性，該解滿足方程均值，在每一點上則不一定。另外，給定初始條件，總能找到一個正數 T，使方程在[0,T的時間段上可解，這一正數也被稱為“爆裂時間”（blowup time）；只是一般而言由於實在太小，這些解未必有用。陶哲軒在2014年2月發表了一項關於三維納維-斯托克斯方程均值版本的爆裂時間的新成果。

納維-斯托克斯存在性與光滑性問題的官方陳述由查爾斯·費夫曼寫出。

貝赫和斯維訥通-戴爾猜想

在數論和代數幾何中，由形如

的等式定義、且沒有奇點的曲線被稱為橢圓曲線。橢圓曲線是數論研究的重要領域，例如安德魯·懷爾斯對費馬大定理的證明的關鍵便是橢圓曲線。它在密碼學和數據傳輸上也均有應用。在此一問題上，數學家關心給定一橢圓曲線，其有多少個有理解，即有多少組有理數對(x,y)

有大量的數值依據表明猜想的正確[61]。而在1994年前該猜想是否有意義都不甚明確，當時的數學家並不知道是否存在一個合適的 L(C,s)
函數，使得對所有的 s
都有一個答數，這一猜想直到1994年才作為谷山－志村定理一個特殊形式被解決。近年來此問題進展不多，特別是對於橢圓曲線秩大於1的情況，數學家所知甚少。

貝赫和斯維訥通-戴爾猜想的官方陳述由安德魯·懷爾斯寫出。

寒星墜月

答：分別是：“P=NP？”，霍奇猜想，龐加萊猜想，黎曼猜想，楊-米爾斯規範場存在性和質量間隔假設，納維-斯托克斯方程解的存在性與光滑性，貝赫和斯維訥通-戴爾猜想。

這七道千禧大獎難題，傳承於希爾伯特的23道數學難題；在1900年，大數學家希爾伯特，為數學指明研究方向，提出了著名的23道數學難題。

100年過去後，這23道數學難題中的絕大部分已經被解決，而且在數學上，又出現了新的難題。

於是在2000年，美國克雷數學研究所，公佈了七道數學難題，併為每道數學難題的解決者，提供100萬美元的獎勵資金。

截至2018年9月，這七道難題中，只有龐加萊猜想被徹底解決。

七道難題的簡明內容如下：

一、P=NP?

NP完全問題：所有的非確定性問題，是否都可以在多項式時間裡得到求解？

該問題在計算機算法當中有著重要地位，比如我們用計算機算法去分解一個大數，會比已知這個大數的因子去驗證結果所耗費的時間多很多，而且隨著數的增大，分解大數需要耗費的平均時間呈幾何級數增加。

也即是說：我們求一個數學問題的解，遠比去驗證一個數學問題的解，難度大很多。

所有這類問題，都可轉化為同一類邏輯運算問題。於是人們猜想，對於這類問題，是否存在確定的算法，使得我們可以在多項式時間內，求得問題的解？

目前，該難題的最好成果，是上世紀七十年代，數學家證明了NP問題中任意一個存在多項式時間算法，那麼所有的NP問題都可以在多項式時間內求解。

目前，學術界對NP完全問題的看法，大多數人更相信P≠NP！

二、霍奇猜想

代數幾何問題，猜想內容：在非奇異復射影代數簇上, 任一霍奇類是代數閉鏈類的有理線性組合。

三、龐加萊猜想

龐加萊猜想屬於拓撲學問題，猜想內容：任何一個單連通且封閉的三維流形，一定同胚於一個三維的球面。

該猜想通俗地說：就是任何沒有破洞的封閉三維物體，都拓撲等價於三維球面；即我們可以不扯斷、也不折疊，然後只通過收縮把前者變成三維球面。

該猜想的內容，在我們主觀上看來，基本就是理所當然的，但是數學不能有理所當然，數學需要藉助已知公理和定理，通過嚴謹的推理完成證明才行。

該猜想是法國數學家龐加萊在1904年提出的，提出之後龐加萊也試圖進行證明，並一度認為自己證明了這個猜想，不過在後來的檢查中發現了錯誤。

龐加萊猜想的內容是基於三維的。

在1961年，美國數學家斯蒂芬·斯梅爾，完成了五維及五維以上的龐加萊猜想證明，也因此獲得1966年的菲爾茲獎。

在1983年，美國數學家邁克爾·哈特利·弗裡德曼，完成了四維龐加萊猜想的證明，也因此獲得1986年的菲爾茲獎。

但是對於三維的龐加萊猜想，卻久久不能攻克。

直到2002年11月~2003年7月，俄國數學家格里戈裡·佩雷爾曼，公佈了三份證明論文，宣稱證明了龐加萊猜想。

接下來的兩年裡，其他審核的數學家一致認同佩雷爾曼完成了龐加萊猜想的證明；於是，這個困擾數學家近100年的猜想，徹底被解決了。

但佩雷爾曼是一個不看重功名的人，美國克雷數學研究所要求證明千禧難題的人，必須發表在在正規學術期刊上才能得到認可，但是佩雷爾曼的論文，是發佈在一個不正規的論壇上的。

這讓美國克雷數學研究所傷透了腦筋，最後美國克雷數學研究所還是認同了佩雷爾曼的證明，但佩雷爾曼卻拒絕領取那100萬美金，並對勸說他的朋友說：“如果我的證明是對的，我不需要那樣的方式來認同！”

對龐加萊猜想的證明，讓佩雷爾曼名聲大噪，他甚至還拒絕了號稱數學界諾獎的菲爾茲獎（2006年），還拒絕所有媒體的採訪，連英國BBC紀錄片（數學故事）的採訪也被拒絕在外。

關於龐加萊猜想的證明，國際上普遍認同是佩雷爾曼首次給出了完整證明。在當初，關於龐加萊猜想的完整證明，國內還掀起過一波爭議，爭議內容和國內幾位知名數學家有關。

四、黎曼猜想

猜想內容：黎曼zeta函數的所有非平凡零點，都在複平面中的直線x=1/2上。

黎曼猜想是德國大數學家黎曼，在1859年的論文《論小於給定數的素數個數》中提出來的，該猜想是解決素數分佈的關鍵，素數是一切自然數的基礎，而大數分解密切關係著人類網絡信息安全。

目前，以有數千篇數學論文，以黎曼假設為前提，倘若黎曼假設錯誤，意味著這些論文全部將為之陪葬，所以，數學界對黎曼猜想的證明迫在眉睫。

近幾年來，物理學家還發現黎曼猜想和量子力學有著密切的聯繫，這一發現極大增加了科學家對黎曼猜想的興趣。

可以確定地說，七個千禧問題中，黎曼猜想是最耀眼的一個，近幾年來也時常有人宣稱證明了黎曼猜想，但是並沒有得到學術界的認可。

就在上個月末，菲爾茲獎和阿貝爾獎的雙料得主atiyah，宣稱證明了黎曼猜想，並在9月24日公佈了證明過程，但目前學術界還沒有權威人士對此事件做出評論。

五、楊-米爾斯規範場存在性和質量間隔假設

假設內容：任意緊緻簡單的規範群，在四維歐氏空間中的量子楊-米爾斯理論，存在一個正的質量間隙。

在半個世界前，物理學家楊振寧和米爾斯，發現基本粒子物理和數學之間的密切聯繫，楊-米爾斯方程也在諸多高能實驗中得到了驗證。

楊-米爾斯方程是一個偏微分方程，“質量間隙假設”是楊-米爾斯理論中提出的一個性質，該假設一直沒有在數學上得到一個令人滿意的解釋。

六、N-S方程解的存在性與光滑性

內容：納維-斯托克斯方程解的存在性和光滑性。

納維-斯托克斯方程是一組極其複雜的偏微分方程，原始形式在1827年被Navier提出，後在1845年由Stokes提出最終的形式。

該方程描述了粘性不可壓縮流體的運動方式，在物理學和工程學上有著極其重要的意義，如果該問題得到解決，那麼對工程流體學有著極大的促進作用。

納維-斯托克斯方程的求解非常困難，現階段，我們只能對一些限制性N-S方程進行求解，或者在某些情況下，用計算機求得數值解。

至於N-S方程的通解是否存在，目前無人知曉。

七、貝赫和斯維訥通-戴爾猜想

猜想內容：對有理數域上的任一橢圓曲線,，其L函數在1的化零階等於此曲線上有理點構成的Abel群的秩。

該猜想的內容，旨在於解決數論和代數幾何中，不定方程解的問題。

比如不定方程：y^2=3x^2+4x+7，其有理數解的分佈問題。

貝赫和斯維訥通-戴爾猜想認為：當方程解是一個阿貝爾簇的點時，有理數點群的大小，與蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態有關。

特別地，該猜想還認為，如果z(1)=0，那麼存在無限多個有理數解；若z(1)≠0，那麼只存在有限多個有理數解。

以上，就是七個千禧數學難題的簡單描述，目前只有龐加萊猜想被解決。

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