沁嶼
無限循環小學0.99999．．．．與1嚴格相等
這個問題並不能用初等數學的方法來理解，我下面舉幾個常見的初等方法
無懈可擊，對不對？但是我要說的是這三種方法只能幫助你直觀理解，但並不能把它們當成１＝0.999.....的嚴格證明．為什麼呢？因為0.99999....是無限循環小數，這的表示已經超出了我們認知的初等數學的範疇了；若類似的用以上這些方法，還可以簡單的證明出0.959....=0.96，這樣就陷入尷尬了，全部不成立了，整個數學都要崩塌了．怎麼辦？
我們並不能用初等數學的方法合理解釋它，首先要理解從有理數構造實數的方法出發，這時我們更加深刻的認識無理數，而不僅僅停留在我們的認知表面：
引入：設兩個非空有理數集合A和B，A並Ｂ為全體有理數，對任意的Ａ中的數a,和Ｂ中的數b,滿足a
Ａ和Ｂ可能的情況中有一種：Ａ中沒有最大數，Ｂ中沒有最小數，此時Ａ／Ｂ中沒有確定任何有理數，即Ａ和Ｂ中存在一個＂空隙＂，這些空隙就表示無理數，於是我們重新對無理數下一個嚴格的定義：Ａ／Ｂ是有理數的一個分割，若Ａ中沒有最大數，Ｂ中沒有最小數，則稱分割Ａ／Ｂ確定了一個無理數c,c大於Ａ中任何有理數，小於Ｂ中任何有理數；
於是我們根據上面得到實數的嚴格定義：由全體有理數，以及有理數的分割所確定的全體無理數，構成的集合構成實數集．
通過對以上的有理數無理數實數的定義之後，我們就可以對0.999....=1進行嚴格證明了
設x=0.9999...,作兩個有理數集的分割
根據前面的定義可以知道，Ａ／Ｂ確定了實數t=0.999....，分割Ｃ／Ｄ確定了實數1
為證明t=1,我們只需要證明這兩個分割是相同的，即證明Ａ＝Ｃ就可以了．
綜上所述，我們證明到Ａ／Ｂ和Ｃ／Ｄ是相同的分割，因此0.999．．．．＝１
我是學霸數學，專注於數學，歡迎關注！
學霸數學
1與0.99...嚴格相等。
首先來看一下最常見錯誤就是1-0.99...＝0.00...1的，這裡注意錯誤的原因是一個無限小數的加減法居然得出的是一個確定的有限小數，這顯然是錯誤的。正確的結果應該是0.000...，這裡是不可能出現1的，因為出現1的前提是0.99...中9的個數是有限的。
第二種常見錯誤是，有人說初等證明不嚴謹，必須用到極限思想，事實上，初等證明足以。網上證明的方法很多，這裡我只說一個證法，好像之前沒人提到過，就是大家是否還記得，如何用分數去表示一個無限循環小數。其實很簡單，公式為0.abcabc..＝abc/999，比如0.789789...＝789/999，0.8989...＝89/99，所以0.9999...＝9/9＝1。
這個問題，雖然簡單，但證法多樣，從最簡單的小數性質，到高深的極限思想，從初等代數證明，到數形結合證明，結果殊途同歸，更加體現了數學大廈的堅實地基。
btyc87
1=0.999……。在初等數學裡，任何證明都是錯誤的。
有種證明方法叫做循環證明，由A證明B，B再證明A。我們看看循環小數的真實含義就知道所有的證明都是循環證明。
1/9=0.1111……，顯然1/9得出來的小數是無限小數，是寫不完的，但只有把0.111……寫完了才等於1/9。所以循環小數的真正含義是把無限循環和寫完劃等號，或者把無限循環之外沒寫完的的無限循環當做零，也就是無窮小等於零。
舉例來說明，一條線段長度為1，第一次取下0.1，依次繼續取下0.01，0.001……，不斷取下去，取下來的總長就是0.111……，無限取下去，總長度會無限接近1/9。等於1/9的情況是把無限次取線段的過程取完了。
我們更進一步分析0.111……=1/9有兩種含義。第一種是無限之外還有無限，1的循環永遠完不了，過程取完的含義是把無限之外的無限當做零忽略。第二種是無限次之後，取線段的過程真的完了，即在無限次數之後取下無窮小的線段實際上是零，含義還是無窮小等於零。
即然循環小數的出現就是默認無窮小等於零，那麼0.999……肯定等於1。真正要證明的是一些分數為什麼可以寫成循環小數，如0.111……=1/9。用文字描述就是如何證明無限循環表示寫完了所有位數，或者證明無限循環之外的部分等於零。
飛魚科普
就測量而言：0.9=1-(1e-1)≈1，精度為e-1；0.99=1-(1e-2)≈1，精度為e-2；0.999...9=1-(1e-∞)，絕對精度不存在，1≠0.999...9，失之毫釐，差之千里。
就數學而言：0.999...=1-(1e-∞)=1。即1≡0.99...9，這隻能存在於數學世界，現實世界不存在。
就物理而言：數學可以純真到100%，物理不可逼真到99.999...%。
就哲學而言：1代表純真，0.99...9代表逼真。不存在絕對真理，只存在相對真理。
就藝術而言，1代表真是，0.99...9代表神似。真是反而不是，不似反而神似。
就軍事而言，1代表真形，0.99...9代表逼真。假的要與真的一樣，真的要與假的一樣。
物理新視野
1不等於0.999999……大於0.999999……這個概念是對的，陰法口訣最後一句是，九九歸一豔陽天，陰陽過循環。左規則循環中的1它是1個整體複合數，在判斷、指令、單雙向運算中，1可能代表很多數，例，下列18個9位規則循環，所對應的18分數之合為9，求18個9位規則循環所對應的分數。18個規則循環依次為，0.024691358……0.135802469……0.246913580……0.358024691……0.469135802……0.580246913……0.691358024……0.802469135……0.913580246……0.086419753……0.197530864……0.308641975……0.419753086……0.530864197……0.641975308……0.753086419……0.864197530……0.975308641……，第一步，怎樣求18個分子和18個分母，第二步再求18個分數之合為9。解此題就要應用陰法口角，很明顯，九九歸一的口角里1等於9。規則循環所對應的分數合1是一個整體，它可以代表任何數。規則循環0.567……0.675……0.756……所對應的分數合為2，那麼2等於0.1998……麼。所以說1不等於0.999999……這個概念是對的。
何傳人
沒有任何爭論，數學上。
但形式上的確不同，就是哲學意義上的問題了！
還有，物理學上也有問題，比如你以固定速度1m/s要達到1m處，按物理學計算需要1s，可是就要先到0.9m處，用時0.9s，再前進0.09m，又用0.09s，你是如何實現1s到達的？
林根數學
不請自來，很榮幸為你解答這個問題。
看到這個問題，我也不想說一大堆的數學理論，就以概率論為例。（嚴格意義上，1於0.999循環是相等的）為了防止還有答友進來"教訓"我，補充一下。
我只想做個小小的假設。（概率為例）
如果你買一張彩票的中獎概率是0.9999999……，那麼，無論0.999……循環到無數位，可你依然有著那麼幾萬萬分之一的概率無法中獎。
如果這個概率是1呢？
那麼，無論如何，你這張彩票都會中獎。
所以誰大誰小呢？不同情況，結果不同。
過去的那些人
我來簡單粗暴的回答這一個問題，易於小學5、6年級以上的學生理解。
我們知道：所有的有限小數都可以化成分數的形式。不過無限循環小數更是容易。例如：
0.11111…=1/9
0.22222…=2/9
0.33333…=3/9
……
0.88888…=8/9
【重點來了！】
0.99999…=9/9=1
家庭教育智慧
1－0.999.......=無窮小。所以這個問題實際上是在問無窮小等不等於0。套用第三個方法來說，也就是無窮小和0之間，存不存在一個數，大於0，而小於無窮小，即，無窮小有沒有大小。那麼我們看，lim(1/x)/(1/x^2)=無窮大，1/x^2是比1/x高階的無窮小，即處於0和1/x的極限之間的一個無窮小量。因此，無窮小不等於0，0.9999......也不等於1。
sky2wind
這沒什麼好爭論的 這只是1的兩種不同的表示法而已，如果0.999999...這種寫法是允許的話。
其實，對於這個問題，我們只需要問一個問題，開區間[0, 1) 有沒有最大數？
結論是沒有。用反正，假設χ是這個區間最大的數，那麼（1-χ）/2 +χ 顯然比χ大，但是也顯然比1小，所以χ不是該區間內最大的數，與原假設矛盾。所以該區間沒有最大的數。
0.9999...我們一般意義上會認為你是準備寫上這麼一個數，它是大於任意小於1的數，事實上你也可以證明。但是前面我們已經證明大於任意小於1的數的數，不可能在開區間[0，1)內，所以0.9999...如果它是數的話，那它至少是1。
