06.04 基本圖形分析法:教你如何利用重要線段解等腰三角形(三)

【分析方法導引】

當幾何問題中出現了等腰三角形中的下列三種條件之一:頂角的角平分線;底邊上的高;底邊的中點或出現了一線端(將其看作是某三角形的一條邊)上的高、中線或所對角的角平分線中的兩條重合在一起時,就可以想到要應用等腰三角形中重要線段的基本圖形進行證明。這時總共可出現六種可能情況,就按每一種情況分別討論完成基本圖形的添加。就下來就可以根據基本圖形的四個基本性質所具有的兩兩等價性質完成分析。即在這四個基本性質中,只要有兩個成立,就必定可以推得另外兩個成立。在分析中一般的情況是,四個性質中有一個是要證明的結論,有一個是已經給出的條件,從而要證明結論成立,就應轉而證明另外兩個性質中的一個,只要其中的一個性質獲證,那就可以根據兩兩等價性推得結論成立。由於在上述分析過程中要在兩個性質中選擇證明一個,所以必然也就出現了分析上的兩種可能性。

例5 如圖3-100,已知:XY是⊙O外一直線,OA⊥XY,垂足是A,過A作⊙O的割線交⊙O於B、C,過B、C分別作⊙O的切線交XY於D、E。求證:AD=AE。

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圖3-100

分析:由結論AD=AE和條件OA⊥DE,就出現了邊DE上的高和中線重合的關係,從而就可應用等腰三角形中重要線段這個基本圖形的性質進行證明。應用或添加的方法是將等腰三角形的腰添上,於是聯結OD、OE(如圖3-101),問題就成為要證明OD=OE或∠DOA=∠EOA。

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圖3-101

若考慮證明OD=OE,則由於條件中還出現BD、CE是⊙O的切線,故要應用切線的性質,但現在圖形中,過切點的半徑尚未作出,所以首先應將半徑添上,於是聯結OB、OC(如圖3-102),可得∠OBD=∠OCE=90°,而OB、OC都是⊙O的半徑,當然相等,所以就出現了由同一點O發出的兩組相等線段,當它們兩兩相交成等角時,就會出現一對旋轉型全等三角形。由於它們兩兩組成△ODB和△OEC,在這兩個三角形中,已經出現了∠OBD=∠OCE=90°,所以這兩個三角形必定全等。而要證明這兩個三角形全等,還需要證明一組對應邊或對應角相等。由於一對旋轉型全等三角形必定同時出現兩個圓內接四邊形,所以可以先考慮證明一組對應角相等。於是由∠OCE=90°和條件中給出的∠OAE=90°,可得O、A、E、C四點共圓(如圖3-103),∠OEC=∠OAC,根據類似的道理,由∠OBD=∠OAD=90°,可得O、D、A、B四點共圓,∠ODB=∠OAB,從而就可以證明∠ODB=∠OEC,分析就可以完成。

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圖3-102

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圖3-103

在證明OD=OE時,也可以作為一個等腰三角形的判定問題,而轉化為證明OD=OE的等價性質∠ODE=∠OED。這樣由條件中出現的兩條切線,就可以應用切線的性質聯結OB、OC後,可得∠OBD=∠OCE=90°,並進一步可得O、A、E、C四點共圓,∠OEA=∠OCA和O、D、A、B四點共圓,∠ODA=∠OBC是等腰△OBC的兩個底角,當然相等,所以∠ODE=∠OED也就可以證明(如圖3-104)。

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圖3-104

若考慮證明∠DOA=∠EOA,則由條件中出現的切線想到要應用切線的性質,於是聯結OB、OC後,可得∠OCE=∠OAE=∠90°,O、A、E、C四點共圓,∠EOA=∠ECA和O、D、A、B四點共圓,∠DOA=∠DBA,這樣問題就轉化成要證∠ECA=∠DBA,由條件EC與⊙O相切於C,CB是過切點的弦,∠ECB是弦切角,而且DB與⊙O相切於B,BC也是過切點的弦,∠DBA的補角也是弦切角,所以∠DBA的對頂角也是弦切角,於是延長DB交EC於F,則∠FBC=∠DBA,而∠FBC和∠FCB是夾同一條弧即弧BC的弦切角,當然相等,分析即可完成(如圖3-105)。

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圖3-105

例6 如圖3-106,已知:AB是⊙O的直徑,CD是弦,且CD⊥AB垂足是E,F是CA的延長線上一點,且AF=AC。求證:CF·CA=AB·DF。

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圖3-106

分析:本題的條件中出現了AB是⊙O的直徑,CD是弦且CD⊥AB,所以就可應用垂徑定理得CE=DE。

又因為條件還出現A是CF的中點,這樣就出現了兩個中點,是多箇中點問題,就可以應用三角形中位線的基本圖形的性質進行證明(如圖3-107),於是就可得AE∥FD。

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圖3-107

再由條件AB是⊙O的直徑,C是半圓上的一點,就可以應用直徑所對的圓周角的基本圖形的性質進行證明,但圖形中這個半圓上的圓周角尚未出現,所以應先將這個圓周角添出,也就是聯結BC,可得∠ACB=90°(如圖3-108)。

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圖3-108

由於我們要證明的結論CF·CA=AB·DF,經過描圖以後,我們可以發現它們兩兩組成△ACB和△FDC,且結論就是它們的對應邊之間的比例關係,所以問題可轉化為證明這兩個三角形形相似。由我們已經證明的性質AB∥FD,可得∠CAB=∠DFC,∠CDF=∠CEA=90°,所以∠ACB=∠FDC=90°,從而就可以證明△ACB∽△FDC,分析就可以完成。

例7 如圖3-109,已知:△ABC中,∠C=90°,以AC為直徑的⊙O交AB於D,DE∥CA交⊙O於E,EF⊥AC交⊙O於F。求證:AF^2=AD·BD。

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圖3-109

分析:本題條件中出現AC是⊙O的直徑,D是半圓上的點,所以可應用直徑所對的圓周角的基本圖形的性質進行證明。由於圖形中尚未出現這個圓周角,所以應先將這個圓周角添出,也即聯結CD(如圖3-110),就可得∠CDA=90°。

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圖3-110

由條件∠ACB=90°,這樣就出現了CD是Rt△ABC的斜邊上的高,從而就可以應用直角三角形斜邊上的高的基本圖形的性質進行證明(如圖3-111)。於是應用射影定理可得CD^2=AD·BD,將這一性質與結論進行比較,可得問題就轉化為要證AF=CD。

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圖3-111

由條件AC是⊙O的直徑,EF是弦且EF⊥AC,出現了垂直於弦的直徑,所以就可以應用垂徑定理得弧AF=弧AE,由條件DE∥CA,又可得弧AE=弧CD,所以弧AF就和弧CD相等,也就可以證明AF=CD。


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