當我們覺得某個知識很難理解的時候，首先應該想到的就是，這個知識背後那些最簡單的概念我們有沒有真正弄清楚。
我們要把三角函數徹底搞清楚，記下來並且活學活用，首先就要問：三角函數最簡單的概念是什麼？
顯然，就是sin、cos、tg、ctg 這四個概念。這是三角函數的基本元素。可惜有很多人學了很長時間的三角函數，這四個符號倒是認識了，卻沒有能夠真正理解它們的內涵。
所謂三角函數，簡單來說，就是直角三角形的幾條邊的比例關係。假設有直角△ ABC，∠ C=90°，對應斜邊c，∠ A 和∠ B 分別對應直角邊a 和b。
那麼，sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b, ctgA=b/a。實際上，這四個函數就是為了把直角三角形的比例線段簡單化，為了避免每次都要寫一大堆線段的比例式，而發明出來的。sinA 就代表∠A 所對的直角邊與斜邊的比例，cosA 就代表∠ A 的鄰邊與斜邊的比例，tgA 就代表∠ A 的對邊與鄰邊的比例，ctgA 就代表∠A 的鄰邊與對邊的比例。
把這些最簡單的概念弄清楚了，有很多基礎的三角函數公式就不用記了。比如sin2A+cos2A=1，tgA ctgA=1，cosA tgA= sinA，sinA ctgA= cosA。因為這些全都是直接從這個基本概念推出來的，比如cosAtgA= sinA，sinActgA= cosA 這兩個公式顛來倒去的，很容易把tgA 和ctgA 記混淆，一不小心就會記成sinAtgA=cosA 或
者cosActgA= sinA。但是，只要我們知道這四個基本概念，就知道
永遠都不會記混淆。所以說真正高效的記憶是在徹底理解的基礎上記憶，徹底理解了之後，過個十年八年都忘不掉，更不可能說什麼聽完課就忘、看完書就忘、過一天就忘了等等。
到了高中，三角函數最大的變化其實不是公式變得更多了，而是基礎概念擴大了。也就是三角函數的取值範圍從初中的0 到90 度，變成了任意角，也就是從負無窮到正無窮。但是sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b, ctgA=b/a 這四個基本概念還是沒有變。學好高中的三角函數，最根本的還是在這四個基本概念的基礎上，再認真理解“單位圓”的概念。把這個單位圓弄清楚了之後，整個高中的三角函數公式就迎刃而解，不管它怎麼變來變去都逃不出我們的手掌心。
“標準圓”就是在座標軸上以O 點為圓心，以1 為直徑的圓。從這個圓上任意一點做一條到X 軸的垂線，這條垂線與X 軸還有這個點到圓心的連線，正好組成一個直角三角形。如圖所示，在直角座標系上的四個象限的單位圓上任取一點P（x，y），做PMMO，則
這裡的PO=1，PM=y，所以sinO 的值就是PM 的長度，也就是P 點的縱座標值y。同理，
這裡和初中惟一不同的地方是，初中學習的是0 到90 度，所有的值都是非負數，而這裡不僅有線段的長度，還有向量值，也就是x 和y 可能是負數。在第二象限，y 是正數，而x 是負數，所以在這個象限裡sinO 是正數，而cosO 是負數；在第三象限，x和y 都是負數，所以sinO 和cosO 都是正數；在第四象限，y 是
負數，x 是正數，所以sinO 是負數，而cosO 是正數。
把這個道理徹底梳理清楚之後，高中三角函數的所有角度變化公式就全部都不用記憶了。什麼sin(-θ)=-sinθ，cos(-θ)=cosθ 你就想到是角度沿著X 軸對摺過來了，從第一象限跑到第四象限了，再看第四象限對應的y 肯定是負數，所以sin(-θ)=-sinθ，而x 值還是正數，所以cos(-θ)=cosθ。有了這個東西，剩下那些千變萬化的什麼，sin(θ-π/2)=-sin(π/2)=-cosθ，sin(θ-3π/2)=-cosθ,cos(θ+π)=-cosθ……反正加上一個角度，就是PO 往逆時針方向轉，減去一個角度，就是PO 往順時針方向轉，轉到哪個象限，符號是正
是負馬上就知道了。這樣後面三角函數的週期性也順帶著完全弄明白了。
然後就是三角函數和與差的公式，這個也是從單位圓出來的，無非就是單位圓上兩個點的距離而已。這個推導課本上都有，看起來推導過程比較長，但只要自己動手在草稿紙上畫一下，整個過程就一目瞭然了。三角函數和與差的公式很複雜，不僅有sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，還有tg（α+β）和ctg（α+β）的公式。這些公式顛來倒去的，死記硬背足以把人背出數學恐懼症。如果我們不用“徹底理解+ 把握規律”的方法來記憶，永遠也別想學好三角函數。
其實，我們只需要記住sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ這一個公式就行了，剩下的全都可以根據我們的基本概念想出來。因為我們已經把標準圓記在腦子裡面了，無論什麼角度變化，只要大腦裡面好像出現一個鬧鐘一樣：加上一個角，指針就逆時針旋轉；減去一個角，指針就順時針旋轉。有了這個東西，怎麼變都不會糊塗。
所以，sin（α-β）= sin［α+（-β）］= sinαcos(-β)+ cosαsin(-β)，這裡多了個符號，是減，所以要把指針向順時針方向轉動，轉到第四象限，y 是負數，x 是正數，sin 值變成負，cos 值還是正值， 所以
sin（α-β）= sin［α+（-β）］= sinαcos(-β)+cosαsin(-β)= sinαcosβ- cosαsinβ。這就出來了，不管是符號還是sin 和cos 的順序，都絕不會記錯。
同理， c o s （ α + β ） = - s i n （ α + β + π / 2 ） =-sinαcos(β+π/2)- cosαsin(β+π/2)，這裡是加上π/2，指針要逆時針轉動，sin 要變成cos，根據我們的單位圓，我們又可以得出
cos（ α+β）的公式了。同樣，cos（ α-β）= cos［ α+（-β）］，我們又可以很容易地知道
cos（ α-β）的公式了。至於tg（ α+β），tg（α-β），ctg（α+β），ctg（α-β），
我們只要知道最基礎的四個概念：sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b, ctgA=b/a，就足夠了。
tg（α+β）= sin（α+β）/ cos（α+β），tg（α-β）= sin（α-β）/ cos（α-β）……
以此類推，看起來無比複雜的兩角和與差的公式就很清楚地排列在腦海裡面，而且過很長很長的時間，也不會記錯一個符號，不會記錯一個順序。這樣的記憶效果，又豈是任何一種投機取巧的方法所能夠比擬的？！
至於三角函數的二倍角公式，那就更簡單了。既然已經知道sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ，那麼sin2α= sin（α+α）=sinαcosα+ cosαsinα=2 sinαcosα。後面的cos2α、tg2α、ctg2α 公式也就可以繼續按照單位圓概念及這四個基本概念輕而易舉地就想出來了，根本不需要刻意地去記憶它們。所以說來說去，整個初中高中的三角函數那麼複雜，其實記住兩個東西就行了：第一，sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b,ctgA=b/a；第二，單位圓的圖形變化。
實際上，有誰記不住嗎？任何人都記得住這兩個東西，但是，為什麼那麼多人把初高中的三角函數學視為畏途呢？很多人就是在複雜的公式中轉暈了頭，而忘記了那些最基本的概念和知識之間最基本的聯繫。所以，如果我們在學習一個看似很複雜的知識時覺得頭痛，我們記憶一些看似很複雜的公式時覺得背完就忘，那麼，請立即回到最基礎的地方，去理解和尋找規律吧。這才是高效記憶的惟一法門。
“正確的 學習方法，可以把普通人變成天才；錯誤的學習方法，可以把天才變成白痴。”記住我這句話。
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