吹泡泡
极小曲面的概念来自我们都熟悉的事物。
吹肥皂泡时，首先要将圆形塑料框浸入肥皂水中。然后，在你实际吹泡泡之前，在塑料环中形成的薄膜就具有最简单的形状：它是完全平坦的，没有任何颠簸或凸起。这种平坦的形状使表面张力最小化（自然喜欢节俭），并且还使面积最小化。如果肥皂膜有凸起和颠簸，则其表面积将更大。在数学中，极小曲面是指平均曲率为零的曲面。举例来说，满足某些约束条件的面积最小的曲面。 肥皂泡的极薄的表面薄膜称为皂液膜（准确地说是膜的数学理想化）是面积最小化表面的实例。框架的形状（圆形，三角形或更扭曲的形状）决定了最终面积最小化表面的形状，这是满足周边空气条件和肥皂泡吹制器形状的表面积最小的表面。
寻找极小曲面
但是，除了平面之外，还有哪些其他极小曲面？这是一个有趣的问题。在18世纪末，即使在诸如莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）和约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）之类的数学家将注意力转移到该主题上之后，也只知道了另外两个极小曲面：
一个是悬链面(catenoid)，这是一种特殊的曲面，是微分几何中很重要的一种曲面，它是旋转极小曲面。
该肥皂膜代表一块链状体。实际的悬链面没有边界，并且无限地向顶部和底部延伸。
另一个是螺旋面（helicoid），它看起来有点像是一个无限的螺旋形楼梯，带有一个更像斜坡而不是台阶的螺旋。在19和20世纪，极小曲面理论研究兴起，而紧随其后的“黄金时代”带来的是停滞。今天，要找到更多并正确理解它们的理论还远远不够。
该肥皂膜代表一片螺旋状。实际的螺旋面是无界的，并且可以无限地在所有方向上延伸。
然而，尽管进展缓慢，对极小曲面的探索开辟了肥沃的数学土壤。
贝克-卡恩（Becker-Kahn）说:“通常不向学术数学之外的人传达的一件事是，提出任何人类数学家都无法解决的问题是多么容易。”“更罕见的情况是有足够多的问题，而这些问题都恰到好处。这是一个领域开始获得蒸汽，这似乎发生在最小的表面。当人们第一次创造这个词的时候，他们问了一些非常天真的问题，结果发现这些问题比他们原来知道的数学主题要深刻得多。”
极小曲面
经过250多年的历史，极小曲面仍为数学研究提供了丰硕的基础。今年早些时候，数学家凯伦·乌伦贝克（Karen Uhlenbeck）因其在极小曲面理论上取得了重大进步的工作而被授予阿贝尔奖，这是数学领域的最高荣誉之一。
追求极小
乌伦贝克（Uhlenbeck）于1966年取得变化学博士学位，并在1970年代遇到她的合作者乔纳森·萨克斯（Jonathan Sacks）后她将注意力转移到极小曲面。乌伦贝克在2018年接受艾伦·杰克逊（Allyn Jackson）采访时说：“我对极小曲面的了解不多，但我们讨论了它们并共同为之努力。'' “他带来了关于极小曲面主题的知识，而我带来了主要思想。”
定义极小曲面（比面积更容易处理）的一种方法是所谓的能量。正如两点之间的路径长度可以用微积分描述一样，表面的能量也可以。任务是找到一个使自身形成能将能量最小化的形状。但这一理论总是会因为出现那些能无限集中能量的点而遭到破坏。乌伦贝克的洞见是，将这些点进行“
放大”，她发现，实际上发生的是从曲面上会分离出一个新的泡泡。当要处理的只有路径时，问题相对简单。因为不同的路径会汇聚，彼此越来越近，直到最终收敛到极限路径上。
聚合在一条红色路径的蓝色路径的例证。您可以想象，越来越多的蓝色路径越来越接近红色路径。
能量的概念与这种收敛紧密地联系在一起：如果在从A到B的平滑路径集合中，每条路径的能量都小于某个边界，那么你就可以确定在这个集合中包含一系列路径，它们会收敛到A、B两点之间的一条连续的极限路径。 由于首要问题是从连接A、B两点的无限多条路径中找到最短路径，所以这种紧性（因为存在极限所以称为紧性）结果很重要。
但是，当涉及到表面时，能量还不足以提供类似的结果。问题在于你可以使用多种方法来描述曲面。举个简单的例子，想象一下一个看起来像变形球体的表面。例如马铃薯或漏气的足球。要绕过这种不稳定的表面，可以从圆形球体上构建一个映射：圆形球体上的每个点都与变形球体上的点相关联。这正是我们用一个球形地球仪上的地图来表示并非完美球形的地球时所做的事。但是关于球面上的哪一个点与曲面上的哪一个点对应可以有许多不同的选择，所以映射也有许多种不同的选择。
如果马铃薯上的每个点x都与球体上的某个点相关联，则球面就可以作为马铃薯表面的一个映射。但是，如何关联点有很多不同的选择，因此有很多不同的映射。
不止于肥皂泡
极小曲面的数学研究具有深远的意义，乌伦贝克与萨克斯在这方面的贡献为后来许多的重大进展奠定了基础。
唐纳森（ Donaldson）说：“他们在最小的表面上的工作已成为四十年来巨大的进一步发展的基础。”
令人惊讶的是，这样的发展涉及的物理领域已经超出了肥皂膜的范围：试图为所有事物创建一种理论，该理论不仅描述了我们可以看到的现象，而且还以我们从未经历过的非常小和非常大的规模来解释世界。
凯伦·乌伦贝克（Karen Uhlenbeck）是第一位获得阿贝尔奖的女性。
正如乌伦贝克（Uhlenbeck）指出的那样：“没有人从小就玩量子效应的”，所以这里涉及的概念并不像肥皂那样直观。但是极小曲面的理论与所谓的规范理论所描述的量子物理学之间，存在数学上的相似之处。正如乌伦贝克（ Uhlenbeck ）所说：“这是一个强有力的数学事实，直觉和技术可以在（极小曲面理论和规范理论）之间来回传递。”
极小曲面
乌伦贝克在接受杰克逊（Jackson）采访时说：“我对数学中涉及到许多不同方面并看到它们之间的联系的观点确实很着迷 。” “我将对学习更多的知识感兴趣，这些知识不只是核心数学，而是与其他领域相关的数学。”
乌伦贝克深信，数学中有很多不同的方面，她非常希望能看到这些不同方面之间的联系。
极小曲面在建筑上的运用
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